polycopié MAT311 2013

ANALYSE R´ EELLE ET COMPLEXE
Fran¸cois Golse, Yves Laszlo, Frank Pacard
et
Claude Viterbo

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Avertissement
Dans ce cours, nous aborderons des sujets math´ematiques importants et assez intimement
li´es : la th´eorie de la mesure et de l’int´egration de Lebesgue ; la transformation de Fourier ;
la th´eorie des espaces de Hilbert et une introduction aux m´ethodes variationnelles. Nous
aborderons ´egalement la th´eorie des fonctions holomorphes (fonctions d’une variable complexe
qui sont d´erivables au sens complexe ). Ce cours vise `a fournir aux ´el`eves un socle de
comp´etences solide en analyse fonctionnelle, ce qui leur ouvrira l’acc`es `a plusieurs domaines
scientifiques : math´ematiques fondamentales, math´ematiques appliqu´ees, m´ecanique, physique
th´eorique, . . . L’objectif est de donner les bases des th´eories qui permettront, d’un point de
vue pratique, d’aborder avec les armes n´ecessaires les cours de deuxi`eme et de troisi`eme ann´ee
dispens´es `a l’´ Ecole polytechnique, mais aussi de suivre avec profit ceux de premi`ere ann´ee.
Guid´es par la multiplicit´e des points de vue, nous avons essay´e de montrer la puissance et,
esp´erons-le, l’harmonie des constructions. Nous donnerons de nombreux exemples d’applica-
tions des r´esultats d´emontr´es dans ce cours, notamment des exemples issus d’autres disciplines
scientifiques.
La premi`ere partie de ce cours permettra de mettre en perspective la th´eorie de la mesure
et de l’int´egration de H. Lebesgue et la th´eorie des probabilit´es d´evelopp´ee par A. Kolmogorov.
Nous verrons que ces deux branches des math´ematiques sont en fait deux facettes d’une mˆeme
th´eorie qui sert ´egalement de fondement `a la th´eorie de la mesure g´eom´etrique d´evelopp´ee par
H. Federer. Parmi les applications spectaculaires de la th´eorie de la mesure, nous verrons le
th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e qui est un des r´esultats fondamentaux de la th´eorie des
syst`emes dynamiques.
Nous illustrerons les r´esultats concernant la transformation de Fourier par l’´etude du
probl`eme de la diffraction d’une onde ou encore par l’´etude des probl`emes d’´echantillonnage
en th´eorie du signal (th´eor`eme de Nyquist-Shannon).
La deuxi`eme partie de ce cours permettra de mettre en ´evidence les liens profonds qui
unissent la th´eorie des espaces de Hilbert, l’analyse de Fourier et la m´ecanique quantique.
Les r´esultats d´emontr´es dans cette deuxi`eme partir du cours seront illustr´es par plusieurs
exemples issus de la physique. Citons l’analyse du spectre de l’op´erateur de Sturm-Liouville,
l’´etude des orbitales atomiques de l’atome d’hydrog`ene ou bien l’in´egalit´e de Heisenberg qui
figurent parmi les r´esultats les plus importants de la m´ecanique quantique.
Les espaces de fonctions construits `a partir les espaces de Lebesgue et de Sobolev, qui seront
d´efinis dans ce cours, sont omnipr´esents en analyse, notamment dans la r´esolution de probl`emes
variationnels et celle des ´equations aux d´eriv´ees partielles. ` A titre d’illustration de ces th´eories
nous pr´esenterons une applications `a la recherche de minimum pour des fonctionnelles d´efinies
sur des espaces de fonctions. Les techniques que nous d´evelopperons trouvent de nombreuses
applications en m´ecanique (principe de moindre action en m´ecanique classique et principe du
minimum en m´ecanique des milieux continus), et nous ´etudierons ´egalement l’existence de
g´eod´esiques sur des surfaces.
La derni`ere partie de ce cours est consacr´ee `a l’´etude des fonctions holomorphes qui
jouissent de propri´et´es tout `a fait ´etonnantes. Ces fonctions apparaissent dans plusieurs do-
maines des math´ematiques, de la physique ou de la m´ecanique. Citons par exemple leur utili-
sation dans l’´etude des ´ecoulements de fluides incompressibles (transformation de Joukovsky)
ou bien dans la mod´elisation des films de savon (surfaces minimales) mais elles ont surtout

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des applications importantes en arithm´etique (par exemple pour la d´efinition et l’´etude de la
fonction ζde Riemann) et en g´eom´etrie (par exemple en g´eom´etrie K¨ahl´erienne).
Nous avons cherch´e `a ´eviter la technicit´e autant que faire se peut, ce qui nous a conduits
`a ne pas chercher les ´enonc´es optimaux, encore moins l’exhaustivit´e. Les lecteurs int´eress´es
pour aller plus loin pourront se reporter `a la bibliographie. Ce cours ne fait appel `a au-
cunes connaissances math´ematiques particuli`eres autres que celles figurant aux programmes
des classes pr´eparatoires. Un amphi sera n´eanmoins consacr´e aux compl´ements de topologie
(topologie des espaces vectoriels norm´es et des espaces m´etriques) qui sont des outils indispen-
sables pour l’´etude de la th´eorie de l’int´egration au sens de Lebesgue et de l’´etude des espaces
de Hilbert.
Le but de ce cours aura ´et´e atteint si le lecteur en ressort avec la perception de ce que les
math´ematiques sont `a la fois une science riche et autonome, au mˆeme titre que la physique,
la chimie ou la biologie par exemple et aussi un outil de compr´ehension du monde r´eel.

Table des mati`eres
Chapitre 1. Topologie des espaces m´etriques 9
1. Notion d’espace m´etrique 9
2. Espaces vectoriels norm´es 10
3. Topologie des espaces m´etriques 13
4. Int´erieur, adh´erence et densit´e 16
5. Valeurs d’adh´erence 18
6. Continuit´e des applications 19
7. Connexit´e 23
Chapitre 2. Compacit´e et compl´etude 25
1. La compacit´e 25
2. Espaces vectoriels de dimension finie 29
3. Quelques applications 31
4. Espaces m´etriques complets et espaces de Banach 33
5. Espaces d’applications continues 35
6. Th´eor`eme de Riesz 39
7. Limites inf, limite sup 40
Chapitre 3. Quelques mots sur la d´enombrabilit´e 43
1. D´efinitions et propri´et´es 43
2. Topologie des r´eels et d´enombrabilit´e 44
Chapitre 4. Th´eor`emes fondamentaux de l’analyse fonctionnelle 47
1. Th´eor`eme de Baire 47
2. Th´eor`eme de Banach-Steinhaus 48
3. Th´eor`eme de point fixe de Banach 49
4. Crit`eres de densit´e dans C(X;K) 50
5. Th´eor`eme d’Ascoli 54
6. Introduction `a la r´esolution des ´equations diff´erentielles ordinaires 58
Chapitre 5. Construction de l’int´egrale de Lebesgue 61
1. Motivation 61
2. Int´egration des fonctions continues 63
3. D´efinition de l’int´egrale de Lebesgue 66
4. Th´eor`eme de la convergence domin´ee 80
5. Caract´erisation g´eom´etrique des ensembles n´egligeables 85
6. Fonctions mesurables 91
7. Int´egration et fonctions mesurables 95
8. Int´egration des fonctions `a valeurs complexes 97
9. Int´egrales param´etriques 98
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