Université de Nantes. L3 2007/2008 Théorie de la mesure et intégration Devoir à la maison no1 Ensembles Mesurables et Mesurabilité à rendre au plus tard le 21 février 2008 Dans les exercices suivants, on considère l’espace de probabilité ([0, 1], B([0, 1]), λ) où B([0, 1]) désigne la tribu des boréliens et λ la mesure de Lebesgue. Exercice 1. On note Q l’ensemble des rationnels et V = Q ∩ [0, 1] l’ensemble des nombres rationnels de [0, 1]. 1. Montrer que V est mesurable par rapport à la mesure de Lebesgue et qu’il existe une suite (vn ) telle que pour tout réel k > 0, [ V ⊂ Gk := vn − k 2−n , vn + k 2−n ∩ [0, 1]. n∈N 2. Estimer la mesure λ(Gk ). 3. Soit (k ) une suite décroissante tendant vers 0. Calculer la mesure λ(H) de l’ensemble H défini par \ H= Gk . k∈N 4. Montrez que pour tout k ∈ N, Gck ne contient pas d’intervalle (non trivial). En utilisant le théorème de Baire et en raisonnant par l’absurde, montrez que H est un ensemble non dénombrable. 5. En notant In,k = ]vn − k 2−n , vn + k 2−n [ ∩ [0, 1], comparez \[ [\ In,k et In,k . k n n k On rappelle le théorème de Baire : Soit S un espace métrique complet. S’il existe une suite dénombrable d’espaces fermés (Fn ) S tels que S = n∈N Fn , alors il existe un entier n tel que Fn contienne une boule ouverte. Exercice 2 (L’escalier du diable). Pour toute réunion finie d’intervalles ∪In , on définit l’application s qui supprime au centre de chacun des intervalles un intervalle de longueur |I3n | . Ainsi, partant de I0 = [0, 1], on construit la suite de sous-ensembles de [0, 1] suivante : • s (I0 ) = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1], S • s2 (I0 ) = [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 9/9] • ... On s’intéresse dans cet exercice à l’ensemble \ K= sn (I0 ) . n∈N 1. Montrer que l’ensemble K est un compact non vide. 2. Montrer que K est borélien puis calculer sa mesure λ(K). Rappelons que tout nombre appartenant à l’intervalle [0, 1] peut s’écrire sous la forme ∞ X i , i 3 i=1 où i ∈ {0, 1, 2}. Cette décomposition est appelée décomposition triadique. 3. Montrer que K est l’ensemble des réels de [0, 1] dont la décomposition triadique ne comporte que des 0 et des 2. En déduire que K n’est pas dénombrable. 1 4. On définit l’application φ pour toute suite (ai ) ∈ {0, 1}N par ! X 2ai X ai . φ = i 3 2i ∗ ∗ i∈N i∈N Montrer que φ peut se prolonger en une fonction constante presque partout sur l’intervalle [0, 1] (on pourra remarquer que tout réel x ∈ [0, 1] il existe deux éléments x1 , x2 de K tels que x ∈ [x1 , x2 [). 5. Montrer que φ est croissante de [0, 1] dans [0, 1], puis que φ(K) = [0, 1]. 6. En déduire que φ est borélienne. 7. Montrer que φ est dérivable presque partout et calculer sa dérivée sur cet ensemble de mesure 1. 2