Devoir - Alain Camanes

Universit´e de Nantes. 2007/2008
L 3 Th´eorie de la mesure et int´egration
Devoir `a la maison no1
Ensembles Mesurables et Mesurabilit´e
`a rendre au plus tard le 21 f´evrier 2008
Dans les exercices suivants, on consid`ere l’espace de probabilit´e ([0,1],B([0,1]), λ) o`u B([0,1]) d´esigne la tribu des bor´eliens
et λla mesure de Lebesgue.
Exercice 1. On note Ql’ensemble des rationnels et V=Q∩[0,1] l’ensemble des nombres rationnels de [0,1].
1. Montrer que Vest mesurable par rapport `a la mesure de Lebesgue et qu’il existe une suite (vn)telle que pour tout
r´eel k>0,
V⊂Gk:= [
n∈Nvn−k2−n, vn+k2−n∩[0,1].
2. Estimer la mesure λ(Gk).
3. Soit (k)une suite d´ecroissante tendant vers 0. Calculer la mesure λ(H)de l’ensemble Hd´efini par
H=\
k∈N
Gk.
4. Montrez que pour tout k∈N,Gc
kne contient pas d’intervalle (non trivial). En utilisant le th´eor`eme de Baire et en
raisonnant par l’absurde, montrez que Hest un ensemble non d´enombrable.
5. En notant In,k = ]vn−k2−n, vn+k2−n[∩[0,1], comparez
\
k[
n
In,k et [
n\
k
In,k.
On rappelle le th´eor`eme de Baire : Soit Sun espace m´etrique complet. S’il existe une suite d´enombrable d’espaces ferm´es (Fn)
tels que S=Sn∈NFn,alors il existe un entier ntel que Fncontienne une boule ouverte.
Exercice 2 (L’escalier du diable). Pour toute r´eunion finie d’intervalles ∪In, on d´efinit l’application squi supprime
au centre de chacun des intervalles un intervalle de longueur |In|
3.
Ainsi, partant de I0= [0,1], on construit la suite de sous-ensembles de [0,1] suivante :
•s(I0) = [0,1/3] ∪[2/3,1],
•s2(I0) = [0,1/9] ∪[2/9,3/9] S[6/9,7/9] ∪[8/9,9/9]
•...
On s’int´eresse dans cet exercice `a l’ensemble
K=\
n∈N
sn(I0).
1. Montrer que l’ensemble Kest un compact non vide.
2. Montrer que Kest bor´elien puis calculer sa mesure λ(K).
Rappelons que tout nombre appartenant `a l’intervalle [0,1] peut s’´ecrire sous la forme
∞
X
i=1
i
3i,
o`u i∈ {0,1,2}. Cette d´ecomposition est appel´ee d´ecomposition triadique.
3. Montrer que Kest l’ensemble des r´eels de [0,1] dont la d´ecomposition triadique ne comporte que des 0et des 2. En
d´eduire que Kn’est pas d´enombrable.
1

4. On d´efinit l’application φpour toute suite (ai)∈ {0,1}Npar
φ X
i∈N∗
2ai
3i!=X
i∈N∗
ai
2i.
Montrer que φpeut se prolonger en une fonction constante presque partout sur l’intervalle [0,1] (on pourra remarquer
que tout r´eel x∈[0,1] il existe deux ´el´ements x1, x2de Ktels que x∈[x1, x2[).
5. Montrer que φest croissante de [0,1] dans [0,1], puis que φ(K) = [0,1].
6. En d´eduire que φest bor´elienne.
7. Montrer que φest d´erivable presque partout et calculer sa d´eriv´ee sur cet ensemble de mesure 1.
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