Convolution
1 L’alg`ebre de convolution L1(Rd)
Th´eor`eme 1.1. Soient f, g L1(Rd). Pour presque tout xRd,y7→ f(y)g(xy)est int´egrable
et la fonction
(fg)(x) := Zf(y)g(xy)dy
est elle-mˆeme int´egrable sur Rd. De plus
||fg||1≤ ||f||1||g||1.(1.1)
Comme on l’a d´ej`a vu, le fait que fgsoit d´efinie presque partout et inegrable signifie
qu’il existe une fonction Lebesgue inegrable et d´efinie partout qui co¨ıncide presque partout avec
l’inegrale d´efinissant fg.
D´emonstration. Par th´eor`eme de Tonelli, gf: (x, y)7→ f(y)g(x) est int´egrable sur Rd×Rdet
||gf||L1(Rd×Rd)=||f||L1(Rd)||g||L1(Rd). L’application
Φ:(x, y)7→ (xy, y)
est un C1diff´eomorphisme de Rd×Rdde Jacobien 1, donc par th´eor`eme de changement de variable
||gf||L1(Rd×Rd)=||(gf)Φ||L1(Rd×Rd)=ZRd×Rd
|f(y)g(xy)|dx ×dy.
Donc (x, y)7→ f(y)g(xy) est Lebesgue int´egrable sur Rd×Rdet la conclusion est une cons´equence
directe du th´eor`eme de Fubini.
efinition 1.2. fgs’appelle produit de convolution, ou simplement convolution, de fet g.
Par lin´earit´e de l’int´egrale, il est clair que (f, g)7→ fgest bilin´eaire. On a aussi les propri´et´es
suivantes.
Proposition 1.3. Le produit de convolution est commutatif et associatif.
D´emonstration. On consid`ere f, g, h L1(Rd).
Commutativit´e. Soit Nn´egligeable tel que y7→ f(y)g(xy) et y7→ g(y)f(xy) soient inegrables
pour tout xRd\N. L’application ϕx:y7→ xyest un diff´eomorphisme sur Rdde Jacobien
(1)d, donc pour tout xRd\N,
gf(x) = ZRd
g(y)f(xy)dy =ZRd
g(ϕx(y))f(xϕx(y))dy =ZRd
g(xy)f(y)dy =fg(x).
1
Associativit´e. Pour presque tout x,
(fg)h(x) = ZRd
(fg)(y)h(xy)dy =ZRdZRd
f(z)g(yz)dzh(xy)dy, (1.2)
o`u Rf(z)g(yz)dy est d´efinie pour presque tout y. De mˆeme,
f(gh)(x) = ZRd
f(z)(gh)(xz)dz =ZRd
f(z)ZRd
g(y)h(xzy)dydz. (1.3)
Formellement, on passe de (1.3) `a (1.2) par changement de variable y7→ yzet th´eor`eme de Fubini.
On peut le justifier de la fa¸con suivante. Par th´eor`eme de Tonelli, (x, y, z)7→ (hgf)(x, y, z) =
h(x)g(y)f(z) est inegrable sur R3d, donc, en consid´erant le diff´eomorphisme
Ψ(x, y, z)=(xyz, y, z)
qui v´erifie |detDΨ|= 1, (hgf)Ψ est ´egalement inegrable. Par th´eor`eme de Fubini, cette
fonction est inegrable par rapport `a (y, z) pour presque tout xet
f(gh)(x) = ZRd×Rd
(hgf)Ψ(x, y, z)dy ×dz.
Par composition avec le diff´eomorphisme Θ : (y, z)7→ (yz, z), de Jacobien 1, on a, pour presque
tout x,
f(gh)(x) = ZRd×Rd
(hgf)ΨΘ(x, y, z)dy ×dz
=ZRdZRd
(hgf)ΨΘ(x, y, z)dzdy
= (fg)h(x),
en utilisant le th´eor`eme de Fubini pour passer de la premi`ere `a la deuxi`eme ligne. .
efinition 1.4. On appelle approximation de l’identit´e ou unit´e approch´ee toute suite (ρn)nNde
fonctions de L1(Rd)v´erifiant :
1. Moyenne tendant vers 1:
Zρn1n→ ∞,
2. Borne uniforme dans L1: il existe C > 0telle que
||ρn||1Cpour tout n,
3. Concentration en 0: pour tout δ > 0,
Z|x|≥δ
|ρn| → 0, n → ∞.
2
Dans beaucoup d’exemples, la condition 1 est en fait une ´egalit´e : Rρn= 1. Dans ce cas, si en
plus ρn0, la condition 2 devient alors ||ρn||1= 1.
Exemple. Si ρL1(Rd) v´erifie Rρ= 1, alors
ρn(x) := ndρ(nx)
est une approximation de l’identit´e.
La terminologie est justifi´ee par le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 1.5. Soient fL1(Rd)et (ρn)nNune approximation de l’identit´e. Alors
||fρnf||10, n → ∞.
Isolons le calcul suivant qui est un raisonnement fondamental pour l’approximation par convo-
lution. Soit ϕCc(Rd).
Zϕ(xy)ρn(y)dy ϕ(x) = Z(ϕ(xy)ϕ(x)) ρn(y)dy (1 Zρn)ϕ(x)
=Z|y|
(ϕ(xy)ϕ(x)) ρn(y)dy
+Z|y|
(ϕ(xy)ϕ(x)) ρn(y)dy (1 Zρn)ϕ(x).
Noter que dans le cas (fr´equent) o`u Rρn= 1, le dernier terme est nul. Dans tous les cas, ceci nous
montre que
|ϕρn(x)ϕ(x)| ≤ sup
|y|
|ϕ(xy)ϕ(x)|Z|ρn|+ |1Zρn|+Z|y|≥δ
|ρn|dy!||ϕ||.
En utilisant la continuit´e uniforme de ϕsur Rd, nous obtenons le point (1.4) du lemme suivant.
Lemme 1.6. Si ϕCc(Rd)et (ρn)nNest une approximation de l’identit´e, alors
||ϕρnϕ||0, n → ∞.(1.4)
Si en plus, pour un r > 0,ρn(y)=0pour presque tout y /¯
B(0, r)et tout nN, alors
supp(ϕ)B(0, R)supp(ϕρn)B(0, R +r).(1.5)
D´emonstration. Il reste `a prouver le point (1.5). En effet, si x /B(0, R +r), on a
ϕρn(x) = Zρn(y)ϕ(xy)dy =Z¯
B(0,r)
ρn(y)ϕ(xy)dy = 0
car ϕ(xy) = 0 pour tout y¯
B(0, r), puisque |xy| ≥ |x|−|y|> R +rr=R.
D´emonstration du Th´eor`eme 1.5. Soit r > 0 (par exemple r= 1). Posons ˜ρn=ρn×χ¯
B(0,r). Par
le point 3 de la D´efinition, 1.4, on a
||ρn˜ρn||10, n → ∞.
3
En particulier, (˜ρn)nNest aussi une approximation de l’identit´e. De plus
||fρnf||1≤ ||f˜ρnf||1+||f(˜ρnρn)||1
≤ ||f˜ρnf||1+||f||1||ρn˜ρn||1
o`u le dernier terme tend vers 0. Par ailleurs, `a  > 0 fix´e, on peut trouver ϕCc(Rd) telle que
||fϕ||1et alors
||f˜ρnf||1≤ ||fϕ||1+||ϕϕ˜ρn||1+||(fϕ)˜ρn||1
(1 + ||˜ρn||1)+||ϕϕ˜ρn||1.
Par le Lemme 1.6, on a ϕ˜ρn(x)ϕ(x) pour tout xet
|ϕ˜ρn(x)| ≤ CχB(0,R+r)(x), x Rd, n N,
(on peut prendre C=||ϕ||+ supn||ϕϕ˜ρn||) donc, par th´eor`eme de convergence domin´ee,
||ϕϕ˜ρn||10, n → ∞.
En posant C0= 1 + supn||˜ρn||1, nous avons donc prouv´e que, pour tout  > 0, il existe n0tel que
||ffρn||1(C0+ 1), n n0,
ce qui donne le r´esultat.
Remarque compl´ementaire. En fait, l’´el´ement neutre pour la convolution est la mesure de Dirac
`a l’origine δ0. Pour donner un sens `a cette affirmation, il faut savoir d´efinir la convolution avec une
distribution (ou au moins une mesure). De toute fa¸con, δ0n’est pas dans L1(voir les exercices de
F-EDP en M1) et il n’y a pas de neutre pour la convolution qui soit dans L1.
2 Convolution avec une fonction r´eguli`ere
Dans la Section 1, on a vu comment convoluer deux fonctions fet gint´egrables sur Rd. La
d´efinition utilise un argument abstrait d’inegration, via le th´eor`eme de Fubini, qui ne permet de
d´efinir fg(x) que pour presque tout x. Nous allons voir ici que si fou gposs`ede une certaine
r´egularit´e, ie continue voire Ck, et est born´ee, alors la fonction fgest d´efinie ponctuellement
(pas seulement presque partout) et a la mˆeme r´egularit´e.
efinition 2.1. Pour kN, on note Ck
b(Rd)l’espace vectoriel des fonctions Ckqui sont born´ees
sur Rdainsi que toutes leurs d´eriv´ees partielles (d’ordre k). On note C
b(Rd) = kNCk
b(Rd).
Exemple. Les fonctions Ck`a support compact, ie nulles `a l’ext´erieur d’un compact, sont dans
Ck
b(Rd). Elles en forment un sous-espace vectoriel qu’on note traditionnellement Ck
0(Rd) ou Ck
c(Rd).
En particulier, Cc(Rd) = C0
c(Rd) = C0
0(Rd).
Notations. Un ´el´ement α= (α1, . . . , αd)Nds’appelle un multi-indice. La longueur de αest
l’entier
|α|:= α1+· · · +αd.
4
(Attention : cette notation, usuelle, n’est pas compatible avec celle de la norme euclidienne sur Rd,
ie |x|= (x2
1+· · · +x2
d)1/2). Noter que |α+β|=|α|+|β|. Pour fCk(Rd) et αtel que |α| ≤ k,
on note
αf:= α1+···αdf
xα1
1· · · xαd
d
,
et on rappelle que, si |α+β| ≤ k,
αβf=α+βf,
ie α(βf) = α+βf, ce qui est une cons´equence du lemme de Schwarz.
Th´eor`eme 2.2. Soient fL1(Rd)et gCk
b(Rd). Pour tout xRd, la fonction
fg(x) = Zf(y)g(xy)dy,
est bien d´efinie. De plus fgCk
b(Rd)et pour tout multi-indice αde longueur k, on a
α(fg) = f(αg).
Notons que grace au changement de variable y7→ xy, on voit que f(xy)g(y) est int´egrable
pour tout xet que
fg(x) = Zf(xy)g(y)dy.
D´emonstration. Pour k= 0, x7→ f(y)g(xy) est continue pour presque tout yet
|f(y)g(xy)| ≤ ||g|||f(y)|
qui est inegrable, donc x7→ fg(x) est continue sur Rd. Pour k= 1, on observe que x7→
f(y)g(xy) est C1pour presque tout yet, pour tout j= 1, . . . , d,
xj
f(y)g(xy)
≤ |f(y)|||jg||.
Par th´eor`eme de d´erivation sous le signe R,x7→ fg(x) est C1et j(fg) = fjg. Pour k2,
on proc`ede de fa¸con analogue par r´ecurrence.
Remarque. A posteriori, ceci montre que la fonction ϕρndu Lemme 1.6 est une fonction
continue.
Corollaire 2.3. Soit Kun compact de Rdet un voisinage quelconque de K. Alors il existe
ϕC
0(Rd)telle que
ϕ0sur Rd\et ϕ1sur K.
D´emonstration. Il faut commencer par remarquer que, si on pose
K={xRd|dist(x, K)},(2.1)
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