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Annexe 06 - Notions sur les torseurs

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Annexe 06 - Notions sur les torseurs
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Notions sur les torseurs
1) DEFINITIONS : RESULTANTE, MOMENT ET CHAMP DE MOMENT. .........................2
2) NOTATIONS : ECRITURE EN LIGNE OU EN COLONNE. ............................................2
3) TRANSPORT D’UN TORSEUR (CHANGEMENT DE POINT DE REDUCTION). ..........2
4) INVARIANTS D’UN TORSEUR. .....................................................................................3
Le premier invariant est un invariant vectoriel : la résultante R ............................................................. 3
Le deuxième invariant est un invariant scalaire : le produit scalaire R.M A (appelé automoment) ....... 3
5) EQUIPROJECTIVITE DU CHAMP DES MOMENTS : MB .BA  M A .BA . ...................3
6) OPERATIONS SUR LES TORSEURS............................................................................3
Égalité de 2 torseurs. .............................................................................................................................. 3
Somme de 2 torseurs. ............................................................................................................................. 3
Multiplication par un réel. ........................................................................................................................ 3
Comoment de 2 torseurs......................................................................................................................... 3
7) AXE CENTRAL. ..............................................................................................................4
Définition : résultante et moment colinéaires. ......................................................................................... 4
Propriétés. ............................................................................................................................................... 4
8) TORSEURS PARTICULIERS. ........................................................................................4
Torseur nul. ............................................................................................................................................. 4
Torseur couple......................................................................................................................................... 4
Torseur glisseur....................................................................................................................................... 4
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Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
S. Génouël
16/03/2010
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La notion de torseur est extrêmement utile dans le cours de mécanique, pour permettre de modéliser
globalement le comportement cinématique des solides ou encore les actions transmissibles entre deux
solides à travers une liaison.
1) Définitions : résultante, moment et champ de moment.
 R 

M 
A A
Un torseur est un ensemble de deux champs de vecteurs :
On le note : T 
 Un champ R
 Un champ M
Le premier champ, appelé résultante du torseur et noté R , est un champ constant,
Le deuxième champ, appelé moment du torseur et noté M , est un champ variable vérifiant la loi du champ
de moment : M A  MB  AB  R
M A est le moment du torseur au point A.
MB est le moment du torseur au point B.
R et M A sont les éléments de réduction du torseur au point A.
R et MB sont les éléments de réduction du torseur au point B.
2) Notations : écriture en ligne ou en colonne.
  R .x  R y .y  R z .z 

T  R   x





M
.
x
M
.
y
M
.
z
M

Ay
Az 

A  A  A  Ax
Écriture en ligne
R x

R y
R
A z
M Ax 

M Ay 
M Az ( x, y, z )
Écriture en colonne
On indique toujours, en bas à gauche, le point d’expression du torseur (appelé aussi point de réduction), ici A.
Pour l’écriture en colonne, il est impératif d’indiquer en bas à droite, la base dans laquelle R et M A ont été
exprimés.
Pour l’écriture en ligne, il n’est pas utile de préciser la base d’expression de R et M A puisque celle-ci figure
explicitement dans le torseur.
3) Transport d’un torseur (changement de point de réduction).
Compte tenu de la définition, on a :
T

 R   R  
R


   
M  M  M  BA  R
A A B B B A
 R 
 R 

 et   représentent le même torseur.
M 
M 
A A
B B
Il est important de noter que dans le nom du torseur,
n’apparaît pas.
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T,
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le point en lequel ce torseur est exprimé
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4) Invariants d’un torseur.
Quantités qui restent invariantes quelque soit le point de réduction.
Le premier invariant est un invariant vectoriel : la résultante R .
Le deuxième invariant est un invariant scalaire : le produit scalaire R.M A (appelé automoment).
5) Equiprojectivité du champ des moments :

MB .BA  M A .BA  (BA  R).BA  M A .BA
MA

(propriété du produit vectoriel où le vecteur BA  R est
MB .BA  M A .BA .
Lieu de l’extrémité
A
perpendiculaire au vecteur BA )
B
de MB
Donc le champ de moment est équiprojectif : MB .BA  M A .BA .
6) Opérations sur les torseurs.
Pour effectuer des opérations sur des torseurs, ceux-ci doivent être exprimés au même point.
Égalité de 2 torseurs.
 R' 
 R' ' 
R'  R' '
.
 et T' ' 
 sont égaux si
M '
M ' '
MA '  MA ' '
A A 
A A 
Deux torseurs T' 
Somme de 2 torseurs.
 R' 
 R' ' 
 et T' ' 
.




M
'
M
'
'
A A 
A A 
Soient deux torseurs T' 
 R'  R' ' 
.


M
'
M
'
'

A
A

A
Le torseur somme est : T  T'  T' ' 
Multiplication par un réel.
 R 
.


M
A

A
Soient un réel  et un torseur T 
 .R 
.
.M A 
A
Le torseur .T est défini par : .T 
Comoment de 2 torseurs.
 R' 
 R' ' 
 et T' ' 
.




M
'
M
'
'
A A 
A A 
Soient deux torseurs T' 
Le comoment de ces deux torseurs est le scalaire défini par : T'
. T' '  R'.M A ' '  R' '.M A ' .
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7) Axe central.
Définition : résultante et moment colinéaires.
L’axe central d’un torseur est la droite constituée par l’ensemble des points où résultante et moment sont
colinéaires.
Propriétés.
Soient A et B deux points de l’axe central.
Donc il existe 2 constantes  A et  B tels que M A   A .R et MB   B .R .
D'autre part selon la loi du champ de moment, on a MB  M A  BA  R .
Or BA  R donne un vecteur perpendiculaire à R (par définition du produit vectoriel).
Par conséquent, il faut que BA  R soit nul, ce qui implique que : BA  k.R et M A  MB
Donc :
- L’axe central est une droite de direction R .
- Tous les points de l’axe central ont même moment appelé moment central.
- Sur l’axe central, la norme du moment est minimale.
- Si le moment d’un torseur est nul en un point, alors ce point appartient à l’axe central du torseur.
8) Torseurs particuliers.
Torseur nul.
C’est le torseur : T
0
   0 . Les éléments de réduction sont nuls en tout point.
0
P  
Torseur couple.
 0 
.


M
A

A
C’est le torseur pour lequel la résultante est nulle : T 
MB  M A  BA  R  M A implique que le torseur a la même expression en tout point T
 0 
 .
M 
P  P 
Torseur glisseur.
R
0 
Q 
C’est un torseur pour lequel il existe un point Q où le moment est nul : T   .
 R  0 
 un torseur quelconque tel que R.M A  0



M
0
A A
Soit T 
Soit C un point de l’axe central : donc par définition de l’axe central, R et MC sont colinéaires.
Or MC .R  (M A  CA  R ).R  (M A .R )  (CA  R ).R  0 : donc R et MC sont orthogonaux.
Un seul vecteur peut être à la fois colinéaire et orthogonal à un autre vecteur : le vecteur nul. Donc Mc  0 .
Ainsi si le moment d’un torseur est perpendiculaire à sa résultante, ce torseur est un torseur glisseur.
NB : On sait que l'action de la pesanteur se modélise par un torseur glisseur car il existe le point G où le moment est nul.
Ainsi, nous devrons toujours avoir pour cette action R.M  0 et son axe central sera la droite de direction
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R passant par G.
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