Tableaux (formulaires fonctions usuelles, dérivées, primitives - 2013)

Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée
ln(x)R+,∗1
x
exRex
1
xR∗−1 x2
√xR+,∗1
2√x
xα, α ∈R R+,∗αxα−1
cos(x)R−sin(x)
sin(x)Rcos(x)
tan(x) ] −π
2+kπ;π 2+kπ[, k ∈Z1 + tan2(x) = 1 cos2(x)
arccos(x) ] −1; 1[ −1
√1−x2
arcsin(x) ] −1; 1[ 1
√1−x2
arctan(x)R1
1 + x2
Opération Dérivée
f+g f0+g0
f·g f0·g+f·g0
f
g
f0·g−f·g0
g2
g◦f f0×g0◦f
1
u−u0 u2
unnu0un−1
√uu0
2√u
euu0eu
ln(u)u0
u
sin(u)u0cos(u)
cos(u)−u0sin(u)
Fonction Intervalle d’intégration Primitive
(x−a)n, n ∈N, a ∈R R 1
n+ 1(x−a)n+1
1
x−a, a ∈R]− ∞;a[OU ]a; +∞[ ln(|x−a|)
1
(x−a)n, a ∈R, n ≥2 ] − ∞;a[OU ]a; +∞[−1 (n−1)(x−a)n−1
cos(ax), a ∈R\{0}R1
asin(ax)
sin(ax), a ∈R\{0}R−1
acos(ax)
tan(x) ]kπ −π
2;kπ +π 2[, k ∈Z−ln(|cos(x)|)
ln(x)R+,∗xln(x)−x
eax, a ∈R\{0}R1
aeax
(x−a)α, a ∈R, α ∈R\{−1}]a; +∞[1
α+ 1(x−a)α+1
ax, a > 0R1
ln(a)ax
1
x2+ 1 Rarctan(x)
√x−a, a ∈R]a; +∞[2
3(x−a)3/2
1
√x−a, a ∈R]a; +∞[ 2√x−a
1
√1−x2]−1; 1[ arcsin(x)
Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a, b et xsont des réels (quelconques) :
cos2(x) + sin2(x)=1,cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b),sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b),
cos(2x) = 2 cos2(x)−1=1−2 sin2(x),cos2(x) = 1 + cos(2x)
2,
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x),sin2(x) = 1−cos(2x)
2.
1

Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance,
fonctions circulaires et leurs réciproques
Définition 1 (Logarithme).On définit ln :]0,+∞[→Rcomme la primitive de x7→ 1
xqui s’annule en 1.
Propriété 1.
1. ln est continue et strictement croissante sur ]0,+∞[.
2. ∀x, y ∈]0,+∞[,ln(x·y) = ln(x) + ln(y).
3. ∀x > 0,ln( 1
x) = −ln(x).
4. ∀x, y ∈]0,+∞[,ln(x
y) = ln(x)−ln(y).
5. ∀n∈N,∀x > 0,ln(xn) = nln(x).
6. lim
x→0+ln(x) = −∞ et lim
x→+∞ln(x)=+∞
Définition 2 (Exponentielle).On définit exp :R→]0,+∞[comme la solution de l’équation différentielle y0=yde
condition initiale y(0) = 1.
On note exp(x) = ex.
Propriété 2.
1. exp est continue et strictement croissante sur R.
2. ∀x, y ∈R, ex+y=ex·ey.
3. ∀x∈R, e−x= 1/ex.
4. ∀x, y ∈R, ex−y=ex
ey.
5. ∀n∈N,∀x∈R, enx = (ex)n.
6. lim
x→−∞ ex= 0 et lim x→+∞ex= +∞.
Propriété 3. On a ∀x∈R,ln(ex) = xet ∀x > 0, eln(x)=x.
Définition 3 (Fonction puissance).Soit a∈R. On définit la fonction puissance sur ]0,+∞[par
pa(x) := ealn(x).On note xa:= ealn(x).
Exemples :
ln(x2) = 2 ln(x), e2x+y=e2x·ey,2x=exln(2),√x=x1
2=e1 2ln(x),3
√x=x1
3=e1 3ln(x).
Croissances comparées : Pour tous α > 0, β > 0,
lim
x→+∞
(ln x)α
xβ= 0 et lim
x→0+xβ|ln x|α= 0
lim
x→+∞
eαx
xβ= +∞et lim
x→−∞ |x|βeαx = 0
Autrement dit, l’exponentielle impose toujours sa limite en ±∞ aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours
leur limites en 0+ou +∞au logarithme.
Fonctions circulaires réciproques
On suppose connues les fonctions sinus et cosinus. On rappelle que la fonction tangente est définie sur ]−π
2;π 2[par
tan(x) = sin(x)
cos(x).
Valeurs spéciales des fonctions trigonométriques
x0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cos(x) 1 √3
2
√2
2
1
20−1 2−√2 2−√3 2−1
sin(x) 0 1
2
√2
2
√3
21√3 2
√2
2
1
20
tan(x) 0 1
√31√3∞ −√3−1−1 √30
2

Formules de trigonométrie
cos2(x) + sin2(x) = 1 tan(x) = sin(x)
cos(x)
cos(x+ 2π) = cos(x) sin(x+ 2π) = sin(x) tan(x+π) = tan(x)
cos(2x) = 2 cos2(x)−1=1−2 sin2(x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Définition 4 (Arcsinus).Sinus est une bijection de [−π
2;π 2]sur [−1; 1]. On appelle arcsinus sa réciproque.
∀x∈[−1; 1],∀θ∈[−π
2;π 2], x = sin(θ)⇔arcsin(x) = θ.
Définition 5 (Arccosinus).Cosinus est une bijection de [0; π]sur [−1; 1]. On appelle arccosinus sa réciproque.
∀x∈[−1; 1],∀θ∈[0; π], x = cos(θ)⇔arccos(x) = θ.
Définition 6 (Arctangente).Tangente est une bijection de ]−π
2;π 2[sur R. On appelle arctangente sa réciproque.
∀x∈R,∀θ∈]−π
2;π 2[, x = tan(θ)⇔arctan(x) = θ.
Arcsinus Arccosinus Arctangente
Propriété 4.
1. ∀x∈[−1; 1],sin(arcsin(x)) = x.
2. ∀x∈[−1; 1],cos(arccos(x)) = x.
3. ∀x∈R,tan(arctan(x)) = x.
Ici xappartient au domaine de défi-
nition de la fonction réciproque.
Propriété 5.
1. ∀θ∈[−π
2;π 2],arcsin(sin(θ)) = θ.
2. ∀θ∈[0; π],arccos(cos(θ)) = θ.
3. ∀θ∈]−π
2;π 2[,arctan(tan(θ)) = θ.
FAttention, ici θne parcourt pas
tout l’ensemble de définition des
fonctions sinus, cosinus ou tangente !
Exemples :
1. arcsin(sin(17π
5)) = arcsin(sin(20π 5−3π 5)) = arcsin(sin(−3π 5)) = −3π 5.
2. arccos(cos(17π
5)) = arccos(cos(20π 5−3π 5)) = arccos(cos(−3π 5)) = arccos(cos(3π 5)) = 3π 5.
3. arctan(tan(17π
5)) = arctan(tan(−3π 5)) = −3π 5.
Dérivées : Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (infiniment) dérivables sur ]−1; 1[ et arctangente est (infiniment)
dérivable sur R. Leurs dérivées sont données par
Propriété 6. 1. ∀x∈]−1; 1[,arcsin0(x) = 1
√1−x2.
2. ∀x∈]−1; 1[,arccos0(x) = −1
√1−x2.
3. ∀x∈R,arctan0(x) = 1
1 + x2.
3