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Tableaux (formulaires fonctions usuelles, dérivées, primitives - 2013)

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Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
Fonction
Domaine de dérivabilité
ln(x)
R+,∗
ex
1
x
√
x
R
xα , α ∈ R
cos(x)
sin(x)
tan(x)
Dérivée
1
x
ex
1
− 2
x
1
√
2 x
αxα−1
− sin(x)
cos(x)
R∗
R+,∗
R+,∗
R
R
π
π
] − + kπ; + kπ[, k ∈ Z
2
2
arccos(x)
] − 1; 1[
arcsin(x)
] − 1; 1[
arctan(x)
R
1 + tan2 (x) =
1
cos2 (x)
−1
√
1 − x2
1
√
1 − x2
1
1 + x2
Fonction
Intervalle d’intégration
(x − a)n , n ∈ N, a ∈ R
1
,a ∈ R
x−a
1
, a ∈ R, n ≥ 2
(x − a)n
R
] − ∞; a[ OU ]a; +∞[
cos(ax), a ∈ R\{0}
R
sin(ax), a ∈ R\{0}
ln(x)
R
π
π
]kπ − ; kπ + [, k ∈ Z
2
2
R+,∗
eax , a ∈ R\{0}
R
(x − a)α , a ∈ R, α ∈ R\{−1}
]a; +∞[
ax , a > 0
R
tan(x)
1
+1
√
x − a, a ∈ R
1
√
,a ∈ R
x−a
1
√
1 − x2
] − ∞; a[ OU ]a; +∞[
Opération
f +g
f ·g
f
g
g◦f
1
u
un
√
u
eu
ln(u)
sin(u)
cos(u)
Dérivée
f 0 + g0
f 0 · g + f · g0
f 0 · g − f · g0
g2
0
f × g0 ◦ f
u0
− 2
u
nu0 un−1
u0
√
2 u
u0 eu
u0
u
u0 cos(u)
−u0 sin(u)
Primitive
1
(x − a)n+1
n+1
ln(|x − a|)
1
−
(n − 1)(x − a)n−1
1
sin(ax)
a
1
− cos(ax)
a
− ln(| cos(x)|)
x ln(x) − x
1 ax
e
a
1
(x − a)α+1
α+1
1 x
a
ln(a)
]a; +∞[
arctan(x)
2
(x − a)3/2
3
√
2 x−a
] − 1; 1[
arcsin(x)
R
x2
]a; +∞[
Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a, b et x sont des réels (quelconques) :
cos2 (x) + sin2 (x) = 1,
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b),
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b),
1 + cos(2x)
cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x), cos2 (x) =
,
2
1 − cos(2x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), sin2 (x) =
.
2
1
Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance,
fonctions circulaires et leurs réciproques
Définition 1 (Logarithme). On définit ln :]0, +∞[→ R comme la primitive de x 7→
1
qui s’annule en 1.
x
1. ln est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[.
2. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln(x · y) = ln(x) + ln(y).
Propriété 1.
3. ∀x > 0, ln( x1 ) = − ln(x).
4. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln( xy ) = ln(x) − ln(y).
5. ∀n ∈ N, ∀x > 0, ln(xn ) = n ln(x).
6. lim ln(x) = −∞ et lim ln(x) = +∞
x→+∞
x→0+
Définition 2 (Exponentielle). On définit exp : R →]0, +∞[ comme la solution de l’équation différentielle y 0 = y de
condition initiale y(0) = 1.
On note exp(x) = ex .
1. exp est continue et strictement croissante sur R.
2. ∀x, y ∈ R, ex+y = ex · ey .
Propriété 2.
3. ∀x ∈ R, e−x = 1/ex .
ex
4. ∀x, y ∈ R, ex−y = y .
e
5. ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, enx = (ex )n .
6.
lim ex = 0 et lim ex = +∞.
x→−∞
x→+∞
Propriété 3. On a ∀x ∈ R, ln(ex ) = x et ∀x > 0, eln(x) = x.
Définition 3 (Fonction puissance). Soit a ∈ R. On définit la fonction puissance sur ]0, +∞[ par
pa (x) := ea ln(x) . On note xa := ea ln(x) .
Exemples :
ln(x2 ) = 2 ln(x),
e2x+y = e2x · ey ,
2x = ex ln(2) ,
√
1
1
x = x 2 = e 2 ln(x) ,
√
3
1
1
x = x 3 = e 3 ln(x) .
Croissances comparées : Pour tous α > 0, β > 0,
(ln x)α
= 0 et
x→+∞
xβ
lim
lim xβ | ln x|α = 0
x→0+
eαx
= +∞ et
lim |x|β eαx = 0
x→+∞ xβ
x→−∞
Autrement dit, l’exponentielle impose toujours sa limite en ±∞ aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours
leur limites en 0+ ou +∞ au logarithme.
lim
Fonctions circulaires réciproques
On suppose connues les fonctions sinus et cosinus. On rappelle que la fonction tangente est définie sur ] −
sin(x)
tan(x) =
.
cos(x)
Valeurs spéciales des fonctions trigonométriques
x
cos(x)
sin(x)
tan(x)
0
1
0
0
π
√6
3
2
1
2
√1
3
π
√4
2
√2
2
2
1
π
3
1
√2
3
√2
π
2
2π
3
1
−
√2
3
2
√
0
1
3 ∞ − 3
2
3π
4√
−√ 22
2
2
−1
5π
6√
−
3
2
1
2
− √13
π
−1
0
0
π π
2; 2[
par
Formules de trigonométrie
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
cos(x + 2π) = cos(x)
tan(x) =
sin(x + 2π) = sin(x)
cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x)
[− π2 ; π2 ]
Définition 4 (Arcsinus). Sinus est une bijection de
sin(x)
cos(x)
tan(x + π) = tan(x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
sur [−1; 1]. On appelle arcsinus sa réciproque.
π π
∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [− ; ], x = sin(θ) ⇔ arcsin(x) = θ.
2 2
Définition 5 (Arccosinus). Cosinus est une bijection de [0; π] sur [−1; 1]. On appelle arccosinus sa réciproque.
∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [0; π],
x = cos(θ) ⇔ arccos(x) = θ.
Définition 6 (Arctangente). Tangente est une bijection de ] − π2 ; π2 [ sur R. On appelle arctangente sa réciproque.
π π
∀x ∈ R, ∀θ ∈] − ; [, x = tan(θ) ⇔ arctan(x) = θ.
2 2
Arctangente
Arcsinus
Arccosinus
1. ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x.
Propriété 4.
Ici x appartient au domaine de définition de la fonction réciproque.
2. ∀x ∈ [−1; 1], cos(arccos(x)) = x.
3. ∀x ∈ R, tan(arctan(x)) = x.
1. ∀θ ∈ [− π2 ; π2 ], arcsin(sin(θ)) = θ.
Propriété 5.
F Attention, ici θ ne parcourt pas
tout l’ensemble de définition des
fonctions sinus, cosinus ou tangente !
2. ∀θ ∈ [0; π], arccos(cos(θ)) = θ.
3. ∀θ ∈] − π2 ; π2 [, arctan(tan(θ)) = θ.
Exemples :
20π
1. arcsin(sin( 17π
5 )) = arcsin(sin( 5 −
3π
5 ))
20π
2. arccos(cos( 17π
5 )) = arccos(cos( 5 −
3π
= arcsin(sin(− 3π
5 )) = − 5 .
3π
5 ))
3π
= arccos(cos(− 3π
5 )) = arccos(cos( 5 )) =
3π
5 .
3π
3π
3. arctan(tan( 17π
5 )) = arctan(tan(− 5 )) = − 5 .
Dérivées : Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (infiniment) dérivables sur ] − 1; 1[ et arctangente est (infiniment)
dérivable sur R. Leurs dérivées sont données par
Propriété 6.
1. ∀x ∈] − 1; 1[, arcsin0 (x) = √
2. ∀x ∈] − 1; 1[, arccos0 (x) = − √
3. ∀x ∈ R, arctan0 (x) =
1
.
1 − x2
1
.
1 − x2
1
.
1 + x2
3
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