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Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
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Régime sinusoïdal forcé
Impédances – Lois
fondamentales - Puissance
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
Intérêt des courants sinusoïdaux :
Exemple de tensions sinusoïdales : tension du secteur (50 Hz – 220 V) – Les
lignes à haute tension – L’émission et la réception des signaux de radio et de
télévision font intervenir des courants qui varient sinusoïdalement dans le temps,
….
Analyse de Fourier : elle montre que toute tension périodique est une somme de
fonctions sinusoïdales ; ainsi, si on sait comment réagit un circuit à une
excitation sinusoïdale, alors on connaîtra (par superposition) la réponse de ce
circuit à n’importe quelle tension périodique.
Simulation Java sur l’analyse de Fourier :
Simulation Synchronie sur l’analyse de Fourier :
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PCSI 1 - Physique
Equation différentielle du circuit (RLC) :
u L + u R + uC = L
di
1
+ Ri + q = e(t )
dt
C
Notations :
e(t ) = E m cos ωt = Eeff 2 cos ωt
L
i
uL
R
e(t)
L’intensité i(t) possède (une fois le régime transitoire
disparu) la même pulsation que l’excitation (le GBF) :
uR
q
C
uC
i (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) = I eff 2 cos(ωt + ϕ )
Résolution numérique de l’équation :
d 2 uC
dt 2
duC
+ 2σω0
+ ω0 2uC = ω0 2 E m cos ωt
dt
Avec Regressi :
Avec Maple :
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i (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) = I eff 2 cos(ωt + ϕ )
ϕ est le déphasage de i(t) par rapport à
la tension excitatrice e(t) du GBF :
L
i
uL
R
e(t)
ϕ > 0 : i(t) est en avance sur e(t)
ϕ < 0 : i(t) est en retard sur e(t)
uR
q
C
uC
Animation Cabri (déphasage)
Animation Cabri
(somme de 2 tensions)
Animation Regressi (déphasage
et somme de deux tensions)
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Quelques rappels sur les nombres complexes :
z = a + jb
z = z e jθ
cos θ =
( j 2 = −1)
avec
z = a2 + b2
a
et
a2 + b2
et
e jθ = cos θ + j sin θ
b

 tan θ = 
a

b
sin θ =
a2 + b2
Le nombre complexe j joue le rôle de i, afin de ne pas confondre avec l’intensité i.
z1 = z1 e
jθ1
z =
;
z2
z1
z2 = z2 e
et
jθ 2
;
z=
z2
z1
= z e jθ
θ = θ 2 − θ1
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Notation complexe en électricité, impédances complexes :
Tension complexe du GBF :
e(t ) = E m e jωt = Eeff 2e jωt
(e(t ) = Re(e(t )) = E m cos ωt )
Intensité complexe :
i (t ) = I m e j (ωt +ϕ ) = I eff 2e j (ωt +ϕ )
(i (t ) = Re(i (t )) = I m cos(ωt + ϕ ))
Tension complexe aux bornes d’une résistance :
u R = Ri
i
R
uR
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Animation
Cabri sur L
Tension complexe aux bornes d’une bobine d’auto-induction :
di
d
uL = L = L
I m e jϕ e jωt = L I m jωe jϕ e jωt = jLω i
dt
dt
(
uL = zL i
) (
avec
)
L
i
z L = jLω
uL
zL est appelée impédance complexe de la bobine (homogène à une résistance) ;
l’équation précédente « généralise » la loi d’ohm en notation complexe.
Tension complexe aux bornes d’un condensateur :
i=C
duC
dt
=C
uC = zC i
d
U C , m e j (ωt +ψ ) = jCω u C
dt
(
avec
)
1
zC =
jCω
Animation
Cabri sur C
i
C
uC
zC est appelée impédance complexe du condensateur.
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Conclusion :
L’utilisation de la notation complexe permet d’obtenir une relation de
proportionnalité entre la tension complexe aux bornes d’un dipôle u et l’intensité i
qui le traverse :
u=z i
C’est, en quelque sorte, une loi d’ohm généralisée.
Remarque :
Opérateurs « dérivée » et « intégrale » en notation complexe :
d (u )
= jω u
dt
Dérivée ⇔ produit par jω
;
∫
u dt =
1
u
jω
Intégrale ⇔ division par jω
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Associations d’impédances :
En série :
u z = u z1 + u Lz 2
u z = (z1 + z 2 )i = z éq i
Avec :
z1
i
z2
i
uz2
uz1
z éq = z1 + z 2
uz
En parallèle : le raisonnement est identique à celui
effectué avec les résistances. Par conséquent :
u z = z éq i avec
Condensateur : y
C
= jCω
y
éq
z1
i2
z2
i
1
1
1
=
+
z éq z 1 z 2
Soit y = 1/z l’admittance, alors :
i1
=y +y
1
uz
2
1
Bobine : y L =
jLω
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« Résolution » du circuit série (RLC) :
L’écriture de la loi des mailles dans le circuit série RLC, en notation complexe,
devient alors :
u R + u L + u C = Ri + jLω i +
i=
e
e
z
avec
jLω
ω
i
uL
e
1 

R + j  Lω −

ω
C


1 

z = R + j  Lω −

Cω 

1
R + jLω +
jCω
i=
=
1
i=e
jCω
R
e(t)
uR
1/jCω
ω
uC
où z est l’impédance du circuit série (RLC), somme des impédances de chacun de ses
constituants.
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On rappelle les notations :
i = I m e j (ωt +ϕ )
e = E m e j ωt
et
Ainsi :
E m e jωt
Em
I me
soit
I m e jϕ =
=
1 
1 


R + j  Lω −
R + j  Lω −


C
ω
C
ω




1 

jθ
jθ
Si on note z = R + j  Lω −
 = z e = Ze , alors :
Cω 

j (ωt +ϕ )
I me
jϕ
=
Em
Ze
jθ
E
= m e − jθ
Z
L’intensité maximale vaut donc :
soit
ϕ = −θ
et
Em
Im =
Z
Em
Im =
1 

R +  Lω −

C
ω


2
2
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L’argument θ de l’impédance complexe z vérifie :
cos θ =
R
; sin θ =
Z
Lω −
1
Cω
Z
Lω −
; tan θ =
1
Cω
R
Le déphasage ϕ = −θ est donc connu par les relations :
Lω −
tan ϕ = −
R
1
Cω
et
cos ϕ = cos θ > 0
On pose ω 0 = 1 / LC la pulsation pour laquelle ϕ = 0 (e(t) et i(t) sont en phase) :
* Si ω < ω0 : le circuit est capacitif et ϕ > 0 (i(t) est en avance sur e(t))
* Si ω > ω0 : le circuit est inductif et ϕ < 0 (i(t) est en retard sur e(t), on
retrouve bien l’effet de la loi de Lenz).
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
En notation complexe, on peut écrire :
• Aux bornes d’un dipôle d’impédance z (d’admittance y) : u = z i
ou
i = y u
• Aux bornes d’un générateur de fém complexe e et d’impédance interne complexe
zG :
uG = e – zG i
• Aux bornes d’un générateur de courant de courant de court-circuit icc et
d’admittance interne complexe yG :
i = icc – yG u
Ainsi, on obtient pour un réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé, des
expressions identiques à celles obtenues en régime continu : les impédances (et
admittances) prennent la place des résistances (et des conductances).
On pourra utiliser : les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et des mailles), les
règles des diviseurs de tension et de courant, les associations série et parallèle
de dipôles, les passages de représentations de Thévenin à celle de Norton.
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Calculs d’impédances (ex n°1) :
R
R'
A
B
i
L
C
u
Calculer R et R' pour que u et i soient en phase pour toute valeur de la pulsation.
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Détermination d’intensité instantanée (ex n°2) :
Le dipôle AB est alimenté en courant alternatif sous la tension V A − V B = 100 sin(ωt ).
Donner l'expression de l'intensité instantanée i(t) dans le circuit principal en
fonction du temps.
1/Cω=5Ω
2,5 Ω
i
A
10 Ω
Lω=5Ω
uAB
B
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Etude d’un circuit (RLC) (ex n°3) :
On dispose d'un condensateur de capacité C = 20 µF, d'une bobine de résistance
R = 10 Ω et de coefficient d'auto-inductance L = 0,3 H, d'un générateur BF
délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace 100 V et de fréquence
f = 50 Hz.
Calculer l'intensité du courant et son déphasage par rapport à la tension quand on
applique la tension successivement :
a) Aux bornes du condensateur.
b) Aux bornes de la bobine.
c) A l'ensemble condensateur-bobine en série.
d) A l'ensemble condensateur-bobine en parallèle.
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Diviseurs de tension et de courant (ex n°5) :
a) Calculer le rapport u / e du circuit (a). Quelles sont ses valeurs limites quand
ω −> 0 et ω -> ∞ ? Quelle relation doivent vérifier R1, R2, C1 et C2 pour que ces
limites soient identiques ? Que devient alors l'expression de u / e ?
b) Transformer le générateur de tension (e,r) du schéma (b) en un générateur de
courant puis calculer le courant iR. Que valent iR et ϕR (déphasage de iR par rapport
à e) pour ω 0 = 1 / LC ?
R1
r
iR
C1
e
e
u
Circuit (a)
L
u
R
R2
C
C2
Circuit (b)
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Représentations de Thévenin et de Norton (ex n°6) :
Pour quelle valeur de la pulsation l'intensité traversant R est-elle indépendante de
R ? On remplacera le dipôle situé à gauche de AB par sa représentation de
Norton.
A
i
C
e(t)
R
L
B
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Pont de Maxwell et Pont de Sauty :
Pont de Maxwell: animation JAVA (JJ.Rousseau)
Pont de Sauty: animation JAVA (JJ.Rousseau)
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Retour sur les valeurs moyennes et valeurs efficaces (ex n°4) :
Courant en dents de scie : on considère i = f(t) donnée par la courbe ci-dessous.
Calculer l'intensité moyenne et l'intensité efficace de ce courant en dents de scie.
I moy
1
= i(t ) =
T
∫
T
i (t )dt =
0
Q
T
i(t)
I0
L’intensité efficace est l’intensité d’un
courant continu qui dissiperait dans une
résistance R, en une période, la même
énergie que le courant alternatif :
P=
∫
T
0
2
Ri (t ) dt =
2
RI eff
T
D’où
O
T
2T
3T
t
-I0
I
2
eff
1
= i (t ) =
T
2
∫
T
i 2 (t ) dt
0
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Puissance moyenne en régime sinusoïdal permanent :
Puissance instantanée : la puissance instantanée reçue par le dipôle AB est
(en convention récepteur) :
p(t ) = ui = U m I m cos ωt cos(ωt + ϕ )
p(t ) = 2U eff I eff cos ωt cos(ωt + ϕ )
A
i
D
B
u
1
(cos(a + b) + cos(a − b))
2
Rappel :
cos a. cos b =
Donc :
p (t ) = U eff I eff [cos(2ωt + ϕ ) + cos(ϕ )]
Ainsi p(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation 2ω
ω et donc de période T/2.
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Puissance moyenne :
1
P=
T
T
∫ p(t )dt
Intérêt ?
0
1
 T
P = U eff I eff  cos(2ωt + ϕ )dt +
T
 0
∫

cos(ϕ )dt 
0

∫
T
P = U eff I eff cos(ϕ )
Animation Cabri
sur le facteur de
puissance
Facteur de puissance :
il dépend de
l’impédance du dipôle
AB.
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Cas particuliers de dipôles :
2
* Pour une résistance : P = U eff I eff = RI eff
* Pour une bobine parfaite : P = 0
* Pour un condensateur : P = 0
(cos ϕ = 1)
(cos ϕ = 0 car ϕ = −π / 2)
(cos ϕ = 0 car ϕ = π / 2)
* Pour un circuit série (RLC) :
cos ϕ =
R
et U eff = ZI eff
donc
Z
2
Soit
P = RI eff
R
P = ( ZI eff ) I eff ( )
Z
On vérifie bien que la puissance est entièrement dissipée dans la résistance.
* Pour un dipôle d’impédance complexe z = R + jS :
u = ( R + jS )i soit
U eff = ( R + jS ) I eff e jϕ
d ' où
2
P = RI eff
Seule la partie réelle de l’impédance (nécessairement positive) intervient.
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* Pour un dipôle d’admittance complexe y = G + jB :
i = (G + jA)u soit
I eff e jϕ = (G + jA)U eff
d ' où
2
P = GU eff
Seule la partie réelle de l’admittance (nécessairement positive) intervient.
Exercice n°7 :
L1
La figure donne la composition d'un dipôle tel que :
C1 = 2 µF ; L1 = 40 µH ; R2 = 5 Ω ; C3 = 4 µF ;
R3 = 0,2 Ω
A
Il est alimenté par un courant sinusoïdal de
fréquence f = 120 kHz et la tension efficace aux
bornes A et B du dipôle est Ueff = 12 V. On
demande de calculer :
C1
B
R2
C3
R3
a) L'admittance complexe Y du dipôle (i.e. l'inverse de l'impédance complexe du
dipôle).
b) Les valeurs efficaces des intensités dans les trois branches.
c) La puissance dissipée dans le dipôle.
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Importance du facteur de puissance :
Le facteur de puissance est le terme cosϕ
ϕ ; à ddp imposée, l’intensité efficace Ieff
nécessaire pour obtenir une puissance donnée dans un dipôle, soit :
I eff =
P
U eff cos ϕ
sera d’autant plus faible que le facteur de puissance sera proche de 1.
Or diminuer l’intensité, c’est diminuer les pertes par effet Joule dans les fils
d’arrivée du courant, des générateurs aux circuits utilisateurs ; d’où l’importance
pour EDF à n’alimenter que des circuits de facteur de puissance élevé
(généralement, cosϕ
ϕ > 0,9).
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Relèvement d’un facteur de puissance (ex n°8) :
Une installation électrique est alimentée sous une tension efficace Ueff = 200 V.
Elle consomme une puissance P = 12 kW. La fréquence est f = 50 Hz et l'intensité
efficace 80 A.
a) Sachant que cette installation est du type inductif, calculer la résistance R et
l'inductance propre L qui, placées en série et avec la même alimentation, seraient
équivalentes à l'installation.
b) Calculer la capacité C à placer en parallèle sur l'installation pour relever le
facteur de puissance à la valeur 0,9.
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Adaptation des impédances :
Une chaîne HI-FI (le générateur) est branchée à
des enceintes (d’impédance zu)
Comment choisir l’impédance des enceintes pour
que la puissance reçue par celles-ci soient
maximale ? Dans ce cas, on dit qu’il y a
adaptation des impédances.
On pose : z G = RG + jAG
et
i
(eG,zG)
z u = Ru + jAu
La puissance moyenne reçue par le dipôle utilisateur est :
Pu =
2
Ru I eff
Soit :
avec
Pu =
zu
I eff =
E g ,eff
Dipôle
utilisateur
( Ru + RG ) 2 + ( Au + AG ) 2
Ru E g2,eff
( Ru + RG ) 2 + ( Au + AG ) 2
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Comment rendre Pu maximale, avec Eeff, RG et AG fixés ?
On a montré que RG et Ru étaient nécessairement positifs, alors que AG et Au
peuvent être a priori < 0 (circuit capacitif) ou > 0 (circuit inductif).
On choisit alors Au = - AG. L’expression de la puissance devient :
Pu =
Ru E g2,,eff
eff
( Ru + RG ) 2
Elle sera maximale si :
dPu
=0
dRu
soit
Ru = RG
Les impédances sont alors conjuguées :
z u = Ru + jAu = RG − jAG = z G
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