Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique PCSI 1 (O.Granier) Lycée Clemenceau Régime sinusoïdal forcé Impédances – Lois fondamentales - Puissance Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Intérêt des courants sinusoïdaux : Exemple de tensions sinusoïdales : tension du secteur (50 Hz – 220 V) – Les lignes à haute tension – L’émission et la réception des signaux de radio et de télévision font intervenir des courants qui varient sinusoïdalement dans le temps, …. Analyse de Fourier : elle montre que toute tension périodique est une somme de fonctions sinusoïdales ; ainsi, si on sait comment réagit un circuit à une excitation sinusoïdale, alors on connaîtra (par superposition) la réponse de ce circuit à n’importe quelle tension périodique. Simulation Java sur l’analyse de Fourier : Simulation Synchronie sur l’analyse de Fourier : Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Equation différentielle du circuit (RLC) : u L + u R + uC = L di 1 + Ri + q = e(t ) dt C Notations : e(t ) = E m cos ωt = Eeff 2 cos ωt L i uL R e(t) L’intensité i(t) possède (une fois le régime transitoire disparu) la même pulsation que l’excitation (le GBF) : uR q C uC i (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) = I eff 2 cos(ωt + ϕ ) Résolution numérique de l’équation : d 2 uC dt 2 duC + 2σω0 + ω0 2uC = ω0 2 E m cos ωt dt Avec Regressi : Avec Maple : Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique i (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) = I eff 2 cos(ωt + ϕ ) ϕ est le déphasage de i(t) par rapport à la tension excitatrice e(t) du GBF : L i uL R e(t) ϕ > 0 : i(t) est en avance sur e(t) ϕ < 0 : i(t) est en retard sur e(t) uR q C uC Animation Cabri (déphasage) Animation Cabri (somme de 2 tensions) Animation Regressi (déphasage et somme de deux tensions) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Quelques rappels sur les nombres complexes : z = a + jb z = z e jθ cos θ = ( j 2 = −1) avec z = a2 + b2 a et a2 + b2 et e jθ = cos θ + j sin θ b tan θ = a b sin θ = a2 + b2 Le nombre complexe j joue le rôle de i, afin de ne pas confondre avec l’intensité i. z1 = z1 e jθ1 z = ; z2 z1 z2 = z2 e et jθ 2 ; z= z2 z1 = z e jθ θ = θ 2 − θ1 Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Notation complexe en électricité, impédances complexes : Tension complexe du GBF : e(t ) = E m e jωt = Eeff 2e jωt (e(t ) = Re(e(t )) = E m cos ωt ) Intensité complexe : i (t ) = I m e j (ωt +ϕ ) = I eff 2e j (ωt +ϕ ) (i (t ) = Re(i (t )) = I m cos(ωt + ϕ )) Tension complexe aux bornes d’une résistance : u R = Ri i R uR Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animation Cabri sur L Tension complexe aux bornes d’une bobine d’auto-induction : di d uL = L = L I m e jϕ e jωt = L I m jωe jϕ e jωt = jLω i dt dt ( uL = zL i ) ( avec ) L i z L = jLω uL zL est appelée impédance complexe de la bobine (homogène à une résistance) ; l’équation précédente « généralise » la loi d’ohm en notation complexe. Tension complexe aux bornes d’un condensateur : i=C duC dt =C uC = zC i d U C , m e j (ωt +ψ ) = jCω u C dt ( avec ) 1 zC = jCω Animation Cabri sur C i C uC zC est appelée impédance complexe du condensateur. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Conclusion : L’utilisation de la notation complexe permet d’obtenir une relation de proportionnalité entre la tension complexe aux bornes d’un dipôle u et l’intensité i qui le traverse : u=z i C’est, en quelque sorte, une loi d’ohm généralisée. Remarque : Opérateurs « dérivée » et « intégrale » en notation complexe : d (u ) = jω u dt Dérivée ⇔ produit par jω ; ∫ u dt = 1 u jω Intégrale ⇔ division par jω Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Associations d’impédances : En série : u z = u z1 + u Lz 2 u z = (z1 + z 2 )i = z éq i Avec : z1 i z2 i uz2 uz1 z éq = z1 + z 2 uz En parallèle : le raisonnement est identique à celui effectué avec les résistances. Par conséquent : u z = z éq i avec Condensateur : y C = jCω y éq z1 i2 z2 i 1 1 1 = + z éq z 1 z 2 Soit y = 1/z l’admittance, alors : i1 =y +y 1 uz 2 1 Bobine : y L = jLω Olivier GRANIER Clemenceau Lycée PCSI 1 - Physique « Résolution » du circuit série (RLC) : L’écriture de la loi des mailles dans le circuit série RLC, en notation complexe, devient alors : u R + u L + u C = Ri + jLω i + i= e e z avec jLω ω i uL e 1 R + j Lω − ω C 1 z = R + j Lω − Cω 1 R + jLω + jCω i= = 1 i=e jCω R e(t) uR 1/jCω ω uC où z est l’impédance du circuit série (RLC), somme des impédances de chacun de ses constituants. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique On rappelle les notations : i = I m e j (ωt +ϕ ) e = E m e j ωt et Ainsi : E m e jωt Em I me soit I m e jϕ = = 1 1 R + j Lω − R + j Lω − C ω C ω 1 jθ jθ Si on note z = R + j Lω − = z e = Ze , alors : Cω j (ωt +ϕ ) I me jϕ = Em Ze jθ E = m e − jθ Z L’intensité maximale vaut donc : soit ϕ = −θ et Em Im = Z Em Im = 1 R + Lω − C ω 2 2 Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique L’argument θ de l’impédance complexe z vérifie : cos θ = R ; sin θ = Z Lω − 1 Cω Z Lω − ; tan θ = 1 Cω R Le déphasage ϕ = −θ est donc connu par les relations : Lω − tan ϕ = − R 1 Cω et cos ϕ = cos θ > 0 On pose ω 0 = 1 / LC la pulsation pour laquelle ϕ = 0 (e(t) et i(t) sont en phase) : * Si ω < ω0 : le circuit est capacitif et ϕ > 0 (i(t) est en avance sur e(t)) * Si ω > ω0 : le circuit est inductif et ϕ < 0 (i(t) est en retard sur e(t), on retrouve bien l’effet de la loi de Lenz). Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique « Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal : En notation complexe, on peut écrire : • Aux bornes d’un dipôle d’impédance z (d’admittance y) : u = z i ou i = y u • Aux bornes d’un générateur de fém complexe e et d’impédance interne complexe zG : uG = e – zG i • Aux bornes d’un générateur de courant de courant de court-circuit icc et d’admittance interne complexe yG : i = icc – yG u Ainsi, on obtient pour un réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé, des expressions identiques à celles obtenues en régime continu : les impédances (et admittances) prennent la place des résistances (et des conductances). On pourra utiliser : les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et des mailles), les règles des diviseurs de tension et de courant, les associations série et parallèle de dipôles, les passages de représentations de Thévenin à celle de Norton. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique « Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal : Calculs d’impédances (ex n°1) : R R' A B i L C u Calculer R et R' pour que u et i soient en phase pour toute valeur de la pulsation. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique « Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal : Détermination d’intensité instantanée (ex n°2) : Le dipôle AB est alimenté en courant alternatif sous la tension V A − V B = 100 sin(ωt ). Donner l'expression de l'intensité instantanée i(t) dans le circuit principal en fonction du temps. 1/Cω=5Ω 2,5 Ω i A 10 Ω Lω=5Ω uAB B Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique « Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal : Etude d’un circuit (RLC) (ex n°3) : On dispose d'un condensateur de capacité C = 20 µF, d'une bobine de résistance R = 10 Ω et de coefficient d'auto-inductance L = 0,3 H, d'un générateur BF délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace 100 V et de fréquence f = 50 Hz. Calculer l'intensité du courant et son déphasage par rapport à la tension quand on applique la tension successivement : a) Aux bornes du condensateur. b) Aux bornes de la bobine. c) A l'ensemble condensateur-bobine en série. d) A l'ensemble condensateur-bobine en parallèle. Olivier GRANIER Clemenceau Lycée PCSI 1 - Physique « Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal : Diviseurs de tension et de courant (ex n°5) : a) Calculer le rapport u / e du circuit (a). Quelles sont ses valeurs limites quand ω −> 0 et ω -> ∞ ? Quelle relation doivent vérifier R1, R2, C1 et C2 pour que ces limites soient identiques ? Que devient alors l'expression de u / e ? b) Transformer le générateur de tension (e,r) du schéma (b) en un générateur de courant puis calculer le courant iR. Que valent iR et ϕR (déphasage de iR par rapport à e) pour ω 0 = 1 / LC ? R1 r iR C1 e e u Circuit (a) L u R R2 C C2 Circuit (b) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique « Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal : Représentations de Thévenin et de Norton (ex n°6) : Pour quelle valeur de la pulsation l'intensité traversant R est-elle indépendante de R ? On remplacera le dipôle situé à gauche de AB par sa représentation de Norton. A i C e(t) R L B Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique « Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal : Pont de Maxwell et Pont de Sauty : Pont de Maxwell: animation JAVA (JJ.Rousseau) Pont de Sauty: animation JAVA (JJ.Rousseau) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique « Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal : Retour sur les valeurs moyennes et valeurs efficaces (ex n°4) : Courant en dents de scie : on considère i = f(t) donnée par la courbe ci-dessous. Calculer l'intensité moyenne et l'intensité efficace de ce courant en dents de scie. I moy 1 = i(t ) = T ∫ T i (t )dt = 0 Q T i(t) I0 L’intensité efficace est l’intensité d’un courant continu qui dissiperait dans une résistance R, en une période, la même énergie que le courant alternatif : P= ∫ T 0 2 Ri (t ) dt = 2 RI eff T D’où O T 2T 3T t -I0 I 2 eff 1 = i (t ) = T 2 ∫ T i 2 (t ) dt 0 Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Puissance moyenne en régime sinusoïdal permanent : Puissance instantanée : la puissance instantanée reçue par le dipôle AB est (en convention récepteur) : p(t ) = ui = U m I m cos ωt cos(ωt + ϕ ) p(t ) = 2U eff I eff cos ωt cos(ωt + ϕ ) A i D B u 1 (cos(a + b) + cos(a − b)) 2 Rappel : cos a. cos b = Donc : p (t ) = U eff I eff [cos(2ωt + ϕ ) + cos(ϕ )] Ainsi p(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation 2ω ω et donc de période T/2. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Puissance moyenne : 1 P= T T ∫ p(t )dt Intérêt ? 0 1 T P = U eff I eff cos(2ωt + ϕ )dt + T 0 ∫ cos(ϕ )dt 0 ∫ T P = U eff I eff cos(ϕ ) Animation Cabri sur le facteur de puissance Facteur de puissance : il dépend de l’impédance du dipôle AB. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Cas particuliers de dipôles : 2 * Pour une résistance : P = U eff I eff = RI eff * Pour une bobine parfaite : P = 0 * Pour un condensateur : P = 0 (cos ϕ = 1) (cos ϕ = 0 car ϕ = −π / 2) (cos ϕ = 0 car ϕ = π / 2) * Pour un circuit série (RLC) : cos ϕ = R et U eff = ZI eff donc Z 2 Soit P = RI eff R P = ( ZI eff ) I eff ( ) Z On vérifie bien que la puissance est entièrement dissipée dans la résistance. * Pour un dipôle d’impédance complexe z = R + jS : u = ( R + jS )i soit U eff = ( R + jS ) I eff e jϕ d ' où 2 P = RI eff Seule la partie réelle de l’impédance (nécessairement positive) intervient. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique * Pour un dipôle d’admittance complexe y = G + jB : i = (G + jA)u soit I eff e jϕ = (G + jA)U eff d ' où 2 P = GU eff Seule la partie réelle de l’admittance (nécessairement positive) intervient. Exercice n°7 : L1 La figure donne la composition d'un dipôle tel que : C1 = 2 µF ; L1 = 40 µH ; R2 = 5 Ω ; C3 = 4 µF ; R3 = 0,2 Ω A Il est alimenté par un courant sinusoïdal de fréquence f = 120 kHz et la tension efficace aux bornes A et B du dipôle est Ueff = 12 V. On demande de calculer : C1 B R2 C3 R3 a) L'admittance complexe Y du dipôle (i.e. l'inverse de l'impédance complexe du dipôle). b) Les valeurs efficaces des intensités dans les trois branches. c) La puissance dissipée dans le dipôle. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Importance du facteur de puissance : Le facteur de puissance est le terme cosϕ ϕ ; à ddp imposée, l’intensité efficace Ieff nécessaire pour obtenir une puissance donnée dans un dipôle, soit : I eff = P U eff cos ϕ sera d’autant plus faible que le facteur de puissance sera proche de 1. Or diminuer l’intensité, c’est diminuer les pertes par effet Joule dans les fils d’arrivée du courant, des générateurs aux circuits utilisateurs ; d’où l’importance pour EDF à n’alimenter que des circuits de facteur de puissance élevé (généralement, cosϕ ϕ > 0,9). Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Relèvement d’un facteur de puissance (ex n°8) : Une installation électrique est alimentée sous une tension efficace Ueff = 200 V. Elle consomme une puissance P = 12 kW. La fréquence est f = 50 Hz et l'intensité efficace 80 A. a) Sachant que cette installation est du type inductif, calculer la résistance R et l'inductance propre L qui, placées en série et avec la même alimentation, seraient équivalentes à l'installation. b) Calculer la capacité C à placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance à la valeur 0,9. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Adaptation des impédances : Une chaîne HI-FI (le générateur) est branchée à des enceintes (d’impédance zu) Comment choisir l’impédance des enceintes pour que la puissance reçue par celles-ci soient maximale ? Dans ce cas, on dit qu’il y a adaptation des impédances. On pose : z G = RG + jAG et i (eG,zG) z u = Ru + jAu La puissance moyenne reçue par le dipôle utilisateur est : Pu = 2 Ru I eff Soit : avec Pu = zu I eff = E g ,eff Dipôle utilisateur ( Ru + RG ) 2 + ( Au + AG ) 2 Ru E g2,eff ( Ru + RG ) 2 + ( Au + AG ) 2 Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Comment rendre Pu maximale, avec Eeff, RG et AG fixés ? On a montré que RG et Ru étaient nécessairement positifs, alors que AG et Au peuvent être a priori < 0 (circuit capacitif) ou > 0 (circuit inductif). On choisit alors Au = - AG. L’expression de la puissance devient : Pu = Ru E g2,,eff eff ( Ru + RG ) 2 Elle sera maximale si : dPu =0 dRu soit Ru = RG Les impédances sont alors conjuguées : z u = Ru + jAu = RG − jAG = z G Olivier GRANIER
