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Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes
1°) Dipôles passifs linéaires: rappels
1.1) Résistance pure
loi d’Ohm
vt=R∗it
avec R en Ω.
1.2) Condensateur parfait
C en Farad ( F )
En continu, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert.
Car si v(t) = V = Cste, alors
0
)(
)( =×=×= dt
dV
C
dt
tdv
Cti
.
Si la tension aux bornes du condensateur subit une discontinuité, alors le courant
tend à être infini, il y a surintensité. En régime variable la tension aux bornes d’un condensateur ne
peut-être discontinue.
1.3) Inductance pure
L en Henry ( H )
En continu, une inductance se comporte comme un court-circuit.
Car si i(t)= I = Cste, alors
0
)(
)( =×=×= dt
dI
L
dt
tdi
Ltv
.
Si le courant dans une inductance subit une discontinuité, alors la tension tend à être
infini, il y a surtension. En régime variable le courant dans une inductance ne peut-être discontinu.
2°) Grandeur sinusoïdale en régime permanent
2.1) Représentations vectorielle et complexe associées
2.1.1) Représentation vectorielle
A toute grandeur sinusoïdale de pulsation ω, on peut associer un vecteur tournant à
la vitesse angulaire Ω = ω.
Par convention, on le représente à l’instant t = 0 s.
Bernaud J 1/4
R
v
i
dt
tdv
Cti )( )( ×=
dt
tdi
Ltv )( )( ×=
i
v
C
i
L
v

Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes
),()cos(2)( veffveff VVtVtv ϕϕω  →+=
Veff : longueur du vecteur, ϕv : angle polaire formé avec l’axe de référence des phases.
Plan de Fresnel
2.1.2) Représentation par un nombre complexe
Plan complexe
On peut définir le complexe z, par ses coordonnées cartésiennes (a : partie réelle et b : partie
imaginaire) ou par ses coordonnées polaires (ρ: le module et θ :l'argument).
Dans le plan complexe:
On passe d’une forme à l’autre ainsi:
Rappels de mathématique: soient
A=[ ,]=ajb et A' =[' ,']=a ' jb '
Addition ou soustraction de deux nombres complexes, on utilise la notation cartésienne,
Produit ou quotient de deux nombres complexes, on utilise la notation polaire.
Nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale:
[ ] )sin(cos,V)cos(2)( eff vveffvveff jVVtVtv ϕϕϕϕω +==→+=
Bernaud J 2/4
ϕv
Origine des Phases
V
Re
Im
b
a
z
θ
ρ
AA' =aj ba ' jb ' =aa '  jbb ' 
A∗A ' =[ ,]∗[' ,']=[∗' , ']
A
A'=[ ,]
[' , ']=[  ',−']
a
b
=
=
ρ θ
ρ θ
cos
sin
=
+=
−
a
b
ba
1
22
tanθ
ρ
θρθρ sincos jz
jbaz
+= +=

Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes
2.2) Relations courant tension en notation complexe
Toutes les lois générales de l’électricité s’appliquant aux grandeurs instantanées,
s’appliquent aux grandeurs complexes associées, à partir du moment où on est en régime
permanent.
convention récepteur
2.2.1) Impédance complexe
Loi d’Ohm généralisée en sinusoidale :
IZV ×=
Avec Z impédance complexe, Z = 1/ Y, Y admittance complexe.
Z peut s’écrire Z = R + j X avec R résistance et X réactance.
Y peut s’écrire Y = G + j B avec G conductance et B susceptance.
• Résistance pure
ZR=[ R, 0 ]=R
• Condensateur parfait
Bernaud J 3/4
IRV ×=
i
v
vt=Veff 2sin  t≡  VVeff , 0≡V=[Veff , 0 ]=Veff
it=Ieff 2 sin  t−i/v≡ IIeff ,−i/v≡ I=[ Ieff ,−i/v]=Ieff cosi/v jsin i/v
Z=V
I=[Veff , 0]
[Ieff ,−i/v]=[ Veff
Ieff
,0 −−i/v]=[ Veff
Ieff
,i/v]
Z=[Z , i/v]=Zcosi/v j Z sin i/v=Rj X
ϕi/v
O. P.
I
V
R
v
i
i
v
C
ZC=[ 1
C,−
2]= −j
C=1 j C 
VjC Ij
CI= = −
1ω ω

Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes
•Inductance parfaite
2.2.2) Association d’impédance
En série, les impédances complexes s’additionnent; en parallèle les admittances
complexes s’additionnent.
2.3)Dipôles actifs linéaires
2.3.1)Modèle Equivalent de Thévenin (M.E.T.)
Tout dipôle actif linéaire admet un M.E.T. représenté par l'association série suivante:
Paramètres du modèle:
E0 = ( U AB)I = 0 Tension complexe à vide du dipôle,
Z0 : impédance complexe interne
2.3.2)Modèle Equivalent de Norton (M.E.N.)
Tout dipôle actif linéaire admet un M.E.N. représenté par l'association parallèle suivante:
I=ICC −Y0 UAB
Paramètres du modèle:
ICC : Courant de court circuit du dipôle,
Y0 : admittance complexe interne
Bernaud J 4/4
i
L
v
V jL I= ω
ZL=[ L,
2]= j L 
AB
Z0 I E0
UAB
I
UAB=E0 −Z0 .I
UAB
I
ICC
Y0
A
B