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Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes
1°) Dipôles passifs linéaires: rappels
1.1) Résistance pure
loi d’Ohm v t =R∗i t 
i
R
v
avec R en Ω.
1.2) Condensateur parfait
C
i
i (t ) = C ×
v
dv(t )
dt
C en Farad ( F )
En continu, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert.
Car si v(t) = V = Cste, alors i (t ) = C ×
dv(t )
dV
=C×
=0.
dt
dt
Si la tension aux bornes du condensateur subit une discontinuité, alors le courant
tend à être infini, il y a surintensité. En régime variable la tension aux bornes d’un condensateur ne
peut-être discontinue.
1.3) Inductance pure
L
v(t ) = L ×
i
di (t )
dt
v
L en Henry ( H )
En continu, une inductance se comporte comme un court-circuit.
Car si i(t)= I = Cste, alors v(t ) = L ×
di (t )
dI
= L×
=0.
dt
dt
Si le courant dans une inductance subit une discontinuité, alors la tension tend à être
infini, il y a surtension. En régime variable le courant dans une inductance ne peut-être discontinu.
2°) Grandeur sinusoïdale en régime permanent
2.1) Représentations vectorielle et complexe associées
2.1.1) Représentation vectorielle
A toute grandeur sinusoïdale de pulsation ω, on peut associer un vecteur tournant à
la vitesse angulaire Ω = ω.
Par convention, on le représente à l’instant t = 0 s.
Bernaud J
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Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes
v (t ) = Veff

2 cos(ωt + ϕ v ) → V (Veff , ϕ v )
Veff : longueur du vecteur, ϕv : angle polaire formé avec l’axe de référence des phases.
Plan de Fresnel

V
ϕv
Origine des Phases
2.1.2) Représentation par un nombre complexe
Im
Plan complexe
z
b
ρ
θ
a
Re
On peut définir le complexe z, par ses coordonnées cartésiennes (a : partie réelle et b : partie
imaginaire) ou par ses coordonnées polaires (ρ: le module et θ :l'argument).
Dans le plan complexe:
z = a + jb
z = ρ cos θ + jρ sin θ
On passe d’une forme à l’autre ainsi:
a = ρ cos θ

 b = ρ sin θ
Rappels de mathématique: soient
ρ = a 2 + b 2


−1  b 
θ = tan  a 
 

A=[ , ]=a jb et A' =[ ' , ' ]=a '  jb '
Addition ou soustraction de deux nombres complexes, on utilise la notation cartésienne,
A A' =a j ba '  jb ' =aa '  j bb ' 
Produit ou quotient de deux nombres complexes, on utilise la notation polaire.
A∗A' =[ , ]∗[ ' ,  ' ]=[∗ ' ,  ' ]
[ , ]

A
'=
=[ , −' ]
A [ ' , ' ]  '
Nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale:
v(t ) = Veff
Bernaud J
2 cos(ωt + ϕ v ) → V = [ Veff , ϕ v ] = Veff (cos ϕ v + j sin ϕ v )
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Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes
2.2) Relations courant tension en notation complexe
Toutes les lois générales de l’électricité s’appliquant aux grandeurs instantanées,
s’appliquent aux grandeurs complexes associées, à partir du moment où on est en régime
permanent.
I
i
convention récepteur
ϕi/v
v

V
O. P.
 V eff , 0≡V =[V eff , 0 ]=V eff
v t =V eff  2 sin  t ≡ V
i t =I eff  2 sin  t−i /v ≡ I  I eff ,−i / v ≡ I =[ I eff ,−i /v ]=I eff cosi /v  j sin i /v 
2.2.1) Impédance complexe
Loi d’Ohm généralisée en sinusoidale : V = Z × I
Avec Z impédance complexe, Z = 1/ Y, Y admittance complexe.
Z=
[V eff , 0]
V
V
V
=
=[ eff ,0 −−i / v ]=[ eff ,i /v ]
I [ I eff ,−i /v ]
I eff
I eff
Z =[ Z , i /v ]=Z cosi /v  j Z sin i / v =R j X
Z peut s’écrire Z = R + j X avec R résistance et X réactance.
Y peut s’écrire Y = G + j B avec G conductance et B susceptance.
Résistance pure
•
i
Z R=[ R , 0 ]=R
R
v
V = R× I
Condensateur parfait
•
C
i
v
Bernaud J
Z C =[
 −j
1
1
,− ]=
=
2 C  jC
C
V=
3/4
1
j
I =−
I
jCω
Cω
Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes
Inductance parfaite
•
L
Z L=[ L  ,
i
v

]= j L 
2
V = jL ω I
2.2.2) Association d’impédance
En série, les impédances complexes s’additionnent; en parallèle les admittances
complexes s’additionnent.
2.3)Dipôles actifs linéaires
2.3.1)Modèle Equivalent de Thévenin (M.E.T.)
Tout dipôle actif linéaire admet un M.E.T. représenté par l'association série suivante:
I
A
Z0 I
B
E0
UAB
U AB =E 0 −Z 0 . I
Paramètres du modèle:
E0 = ( U AB)I = 0 Tension complexe à vide du dipôle,
Z0 : impédance complexe interne
2.3.2)Modèle Equivalent de Norton (M.E.N.)
Tout dipôle actif linéaire admet un M.E.N. représenté par l'association parallèle suivante:
I
A
ICC
UAB
Y0
Paramètres du modèle:
B
Bernaud J
I = I CC −Y 0 U AB
ICC : Courant de court circuit du dipôle,
Y0 : admittance complexe interne
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