Fiche Elec5 : Régimes sinusoïdaux forcés 1 Représentation

PCSI Physique
Fiche Elec5 : Régimes sinusoïdaux forcés
Pour un système linéaire, après une durée de quelques τle régime transitoire se termine pour laisser
place au régime établi qui est ici un régime sinusoïdal forcé : toutes les grandeurs électriques sont alors
sinusoïdales de même pulsation que l’excitation.
1Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale
x(t) = Xmcos(ωt +ϕ)←→ x=Xmej(ωt+ϕ)=Xmejωt
Xm:amplitude ;(ωt +ϕ):phase ;ω:pulsation ;ϕ:phase à l’origine.
Xm=Xmejϕ :amplitude complexe avec Xm=|Xm|et ϕ=Arg(Xm)
dx
dt = (jω)x,Rxdt =x
(jω).
2Réponse des dipôle usuels en régime sinusoïdal forcé
2.1 Impédance complexe
Z=u
i=Um Im|Z|=Um Im
Arg(Z) = ϕu−ϕi
2.2 Impédances complexes des dipôles usuels
ZR=R ZL=jLω ZC=1
jCω
Aux basses fréquences (B.F.) : Aux hautes fréquences (H.F.) :
L←→ fil L←→ interrupteur ouvert
C←→ interrupteur ouvert C←→ fil
Associations d’impédances : Zeqserie =PkZk1
Zeq//
=Pk1
Zk(ouY eq// =PkYk)
3Méthodes et théorèmes utiles pour l’étude de circuits en
régime sinusoïdal forcé
3.1 Ponts diviseurs
Pont diviseur de tension : Pont diviseur de courant :
uk=Zk
PkZku ik=Yk PkYki
(DF)
3.2 Loi des noeuds en termes de potentiels
Au nœud N : Pk
VN−Vk
Zk+ηksortant = 0 (F)
3.3 Equivalence Thévenin-Norton
Tout générateur de Thévenin vu des bornes A et B (association série d’une f.e.m. complexe eAB et
d’une impédance complexe ZAB), est équivalent à un générateur de Norton (association parallèle
d’un c.e.m. complexe ηAB et d’une impédance complexe ZAB) à condition que :
eAB =ZABηAB
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4Etude du circuit (R,L,C) série en régime sinusoïdal forcé
ω0=1
√LC , Q =Lω0
R, x =ω ω0
Im=Um
R+j(Lω −1
Cω )=Im,max
1 + jQ(x−1
x)UCm =Um
1−LCω2+jRCω =Um 1−x2+jx
Q
– Résonance d’intensité pour ωr,i =ω0:Im=Im,max =Um
R
Bande passante : (ωc2−ωc1) = ω0
Q.
(pulsations de coupure ωci données par Im(ωci) = Im,max
√2)
– Résonance de tension aux bornes de C (de charge) si Q > 1
√2pour ωr,c =ω0q1−1
2Q2< ω0:
Surtension UCm,max =2QUm
√4Q2−1
5Bilan d’énergie en régime sinusoïdal forcé
Puissance instantanée reçue par un dipôle orienté en convention récepteur :P(t) = u(t)i(t).
Puissance moyenne (= puissance active) reçue par un dipôle orienté en convention récepteur :
Pa=1
2UmImcos(ϕu−ϕi) = UeIecosϕ cosϕ est le facteur de puissance.
Puissance complexe reçue par un dipôle orienté en convention récepteur : P=1
2UmI∗
m.
P=Pa+jPravec Pr=UeIesinϕ la puissance réactive.
Un dipôle d’impédance Z, et d’admittance Y, fonctionnant en régime sinusoïdal forcé consomme en
moyenne la puissance active :
Pa=<(Z)I2
e=<(Y)U2 e
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