Fiche mécanique

Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
Objectifs de cette synthèse :
– Restructurer les connaissances acquises,
– Remémorer les méthodes classiques,
– Redéfinir les outils nécessaires au cours de dynamique.
Remarque : ceci n’est pas un cours ! Il s’agit seulement de refaire un point rapide sur les
notions qui seront importantes pour le cours de dynamique.
Table des matières
1
Le cours de mécanique du solide en MPSI – PCSI
2
2
Étude géométrique des systèmes de solides
2
3
Cinématique
3
4
Statique
5
A Angles d’Euler
7
B Rappels sur les torseurs
8
C Tableau des liaisons
11
D Pour aller plus loin : résoudre graphiquement un problème plan [HORS PROGRAMME]
12
D.1 Propriétés utilisées en cinématique graphique (problème plan) . . . . . . . . . 12
D.2 Propriétés utilisées en statique graphique (problème plan) . . . . . . . . . . . 12
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
1
Le cours de mécanique du solide en MPSI – PCSI
Trois parties majeures occupent le programme :
– l’étude géométrique : vecteurs position, paramétrage, fermeture géométrique des chaînes
de solides ;
– l’étude cinématique : vitesse des solides et systèmes de solides ;
– l’étude statique : équilibre des systèmes de solides, efforts.
Pour le moment, cinématique et statique sont totalement découplées. On remarque :
– la similitude des outils (torseurs et vecteurs),
– la dualité entre les torseurs de liaisons en statique et cinématique.
2
Étude géométrique des systèmes de solides
Avant tout, il faut préciser :
– le système étudié ;
– le référentiel choisi.
Solide & Paramétrage
Un solide est un système matériel tel que tout bipoint garde une longueur constante au
cours du temps (solide indéformable). La position d’un solide est définie par la position d’un
point (trois coordonnées scalaires) et une orientation (trois angles). Un solide est cinématiquement équivalent à un repère.
L’étude d’un système de solides nécessite un paramétrage, qui consiste à :
– attribuer un repère par solide,
– définir des paramètres de position entre les repères définis (angles ou longueurs), afin
de les positionner avec au maximum 1 angle entre deux repères.
Quelques rappels sur les projections de vecteurs
y2
y1
x2
θ
z1 = z2
x1
Les cadrans sont des outils de projection. Ils ont toujours
la même forme quel que soit l’angle réel entre les deux repères.
On dessine les repères avec θ positif et petit (' 20o ). L’interprétation des sinus et cosinus est immédiate avec les "petits
cotés" et "grands cotés".
Graphe de structure
Le graphe de structure est une vue épurée du système de solides : les ellipses sont les solides, les liens sont les liaisons entre
les solides. Le bâti est généralement représenté par un rectangle.
Notion de fermeture
Une fermeture est une équation représentant les contraintes
de bouclage dans les chaînes de solides.
Une fermeture géométrique est une relation de Chasles sur les vecteurs de positon où
chaque vecteur est soit fixe par rapport à un solide, soit défini par un paramètre de translation, pour former une des boucles du graphe de structure.
2
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
Une fermeture angulaire est une somme nulle d’angles d’un même plan formant une des
boucles du graphe de structure.
3
Cinématique
Le torseur cinématique représente la vitesse d’un solide S2 par rapport à un autre S1 :
n
V S2/S1
o
=
A
~ S /S
Ω
2
1
V~A,S2 /S1
~ S /S et du vecteur vitesse d’un point A
Il est composé du vecteur vitesse de rotation Ω
2
1
quelconque V~A,S2 /S1 ("vitesse du point A appartenant à S2 par rapport à S1 " ou encore "vitesse
en A de S2 par rapport à S1 "). La vitesse d’un point M fixe de S par rapport à R0 est définie
par la dérivée du vecteur position par rapport à R0 :
~
dOM
V~M,S/R0 =
dt /R0
~ par rapport à R0
Calcul de la dérivée d’un vecteur U
~ dans R0 puis dériver les composantes. À EVITER !
Première méthode : projeter le vecteur U
Deuxième méthode : utiliser la relation de changement de référentiel dans la dérivation :
~
~
dU
dU
~ R /R ∧ U
~
=
+Ω
2
1
dt /R1
dt /R2
~ est fixe dans R2 , le problème de dérivation se transforme en produit vectoriel.
Si U
Torseur cinématique de liaison
Le torseur cinématique du mouvement relatif de deux solides liés par une liaison s’écrit
simplement et peut être posé en fonction de quelques paramètres de vitesses (voir Tableau des
liaisons en Annexe).
Composition des vitesses
La composition des mouvements s’effectue en additionnant les torseurs en un même
point :
n
o n
o n
o
V S2/S1 + V S1/S0 = V S2/S0
ce qui correspond à la composition des vitesses angulaires et à la composition des vitesses.
Formule de changement de point
Comme pour tout torseur, la formule de changement de point permet de donner la vitesse en tout point d’un solide à partir de la connaissance du torseur en un point :
~ S/R ∧ AB
~
V~B,S/R0 = V~A,S/R0 + Ω
0
Deux méthodes d’approche de la cinématique
3
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
Position
Torseur cinématique
+ composition de
mouvement
Vecteur position
+ dérivation
Vitesse
Composition
des accélérations
Dérivation
Accélération
Méthode d’étude cinématique des systèmes de solides
– modéliser le système en proposant un schéma cinématique,
– paramétrer le système,
– écrire les fermetures géométriques et trouver les relations entre paramètres de position,
– poser les torseurs cinématiques des liaisons,
– construire le graphe de structure et faire le bilan des équations à écrire,
– écrire les fermetures cinématiques torsorielles, vectorielles puis scalaires,
– résoudre et déterminer les paramètres inconnus du mouvement en fonction des paramètres connus.
Remarque : dans un cas plan, on ne considère que les translations dans le plan et les rotations normales au plan.
Fermeture de chaîne cinématique
Une fermeture cinématique est une somme nulle de torseurs exprimés au même point.
Les équations obtenues par fermeture cinématique peuvent se retrouver par dérivation des
équations géométriques et angulaires. Il s’agira de choisir donc entre les méthodes géométriques et cinématiques.
Vitesse de glissement – roulement sans glissement
Soit deux solides S1 et S2 en contact au point I, la vitesse de glissement de S2 sur S1 est
définie par :
V~I,S2 /S1 = V~I,S2 /R0 − V~I,S1 /R0
Lorsqu’il y a "roulement sans glissement", la vitesse de glissement est nulle : V~I,S2 /S1 = ~0.
Mouvement plan
Un solide S2 est en mouvement plan de normale ~z1 par rapport à S1 si le torseur cinématique de S2/S1 s’écrit :
n
V S2/S1
o
=
∀M ∈ S2
~ S /S = ω~z1
Ω
2
1
V~M,S2 /S1
avec V~M,S2 /S1 .~z1 = 0
Conséquences :
– Toutes les vitesses sont contenues dans des plans de normale ,
– Les vitesses de rotation sont normales au plan (suivant ~z1 ),
4
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
– Un mécanisme comportant une liaison hélicoïdale n’est pas plan (cf Maxpid).
– Le torseur cinématique d’un mouvement plan présente dans le cas général 3 inconnues
cinématiques au maximum contre 6 pour un mouvement quelconque.
– Chaque fermeture cinématique apporte 3 équations scalaires :
Fermeture sur les vitesses de rotation en projection suivant ~z1
Fermeture sur les vitesses en un point en projection suivant ~x1 et ~y1 .
– Une résolution graphique peut être mise en place.
~ S /S .V~M,S /S = 0 (automoLe torseur d’un mouvement plan est un glisseur car ∀M Ω
2
1
2
1
ment nul).
Un torseur glisseur possède un axe central (lieu où les vitesses sont nulles) parallèle à
~z1 . On parle d’axe instantané de rotation. Soit I un point de l’axe central, à tout instant, le
mouvement plan est un mouvement de rotation d’axe (I, ~z1 ).
Centre instantané de rotation
La trace de cet axe dans le plan d’étude est un point appelé centre instantané de rotation
~ est perpendiculaire à V~M,S /S car :
(C.I.R.). On le note I12 ou I21 . Le vecteur IM
2
1
∀M
4
~ S /S ∧ IM
~
dans leplan V~M,S2 /S1 = Ω
2
1
Statique
Notion d’isolement
Isoler un système de solide, c’est définir une frontière séparant ce qui est intérieur au système de ce qui est considéré comme extérieur, en vue de faire le bilan des actions mécaniques
extérieures agissant sur le système et appliquer le PFS.
Action mécanique
Une action mécanique représente l’effort exercé par un système matériel S1 sur un autre
système matériel S2 . Dans le cas des solides, une action mécanique est complètement définie
par un torseur : le torseur d’action mécanique ou torseur statique.
n
T S1/S2
o
=
A
F~S1 /S2
~ A,S /S
M
1
2
~ A,S /S est le moment en A de S1 sur S2 .
où F~S1 /S2 est la force exercée par S1 sur S2 et M
1
2
Torseur statique des liaisons (ou torseur d’action mécanique des liaisons)
Un certain nombre de liaison parfaite entre solides sont normalisées. Leurs torseurs statiques sont classiques (voir le Tableau des liaisons en Annexe).
n
o
On remarque que les torseurs statiques et cinématiques sont duaux : si on appelle V 1/2
n
o
et T 1/2 les torseurs cinématique et statique d’une même liaison entre les solides 1 et 2,
alors la forme linéaire suivante est nulle :
n
o n
o
P = V 1/2 ⊗ T 1/2 = 0
Cela correspond à la puissance dissipée dans la liaison, qui est nulle sous l’hypothèse de
"liaison parfaite".
5
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
Principe Fondamental de la statique
Si S est un système de solides à l’équilibre dans un référentiel galileen, alors :
o
Xn
T ext/S = {0}
Principe des actions réciproques
n
o
Si un solide S1 exerce sur un solide S2 une action mécanique T S1 /S2 , alors S2 exerce
l’action mécanique exactement opposée sur S1 :
n
o
n
o
T S2/S1 = − T S1/S2
Frottement de coulomb
La loi du frottement de Coulomb pour deux solides en contact ponctuel en I s’écrit (FN
~
et FT les composantes normal et tangentielle de l’effort) :
n
T S1/S2
o
=
I
FN .~z + F~T
~0
kF~T k ≤ f.|FN |
V~
= ~0
I,S2 /S1
kF~T k = f.|FN |
– Si glissement :
F~T opposé et de même direction que V~I,S
– Si adhérence :
2 /S1
Méthodologie de résolution d’un problème de statique
– tracer le graphe de structure,
– définir les isolements permettant de calculer les inconnues,
– isoler les systèmes et écrire le PFS sous forme de torsorielle, vectorielle puis scalaire,
– résoudre et calculer les inconnues recherchées.
Remarque : Dans le cas d’un problème plan, on ne considère que les efforts dans le plan et
les moments normaux au plan.
Remarque pour les isolements : Repérer l’objectif à atteindre :
• Si l’objectif est : trouver toutes les actions mécaniques
Vérifier que le système puisse être résolu. Il s’agit d’isoler l’ensemble des solides. Le bâti
ne peut pas être isolé (des actions mécaniques indéterminables s’y appliquent).
En appliquant le principe fondamental de la statique à chacun des solides, on obtient un
système d’équations comportant 6(p − 1) équations avec p le nombre de solides.
• Si l’objectif est : trouver une action mécanique particulière
Il n’est pas forcément nécessaire d’écrire les 6 équations par solide issues de l’application
du PFS. Un isolement judicieux, le choix d’écrire une résultante ou un moment, ainsi qu’une
projection adéquate permet d’aboutir au résultat rapidement. Quelques conseils :
Ne pas faire intervenir les inconnues d’actions mécaniques de liaisons non recherchées
en rendant ces actions mécaniques internes à l’isolement ou en écrivant une projection suivant une direction où les liaisons présentent des composantes nulles en effort.
6
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
Ex :
Si l’on recherche une résultante motrice permettant à un ensemble de solide de se déplacer en translation, Il s’agira d’écrire une équation de résultante en projection suivant la
direction de déplacement.
Pour la recherche d’un couple moteur s’exerçant sur un ensemble de solide en rotation
autour d’un axe fixe, Il s’agira d’écrire une équation de moment en un point de l’axe de
rotation en projection sur la direction de l’axe .
A
Angles d’Euler
Les angles d’Euler représentent une possibilité (à connaître) pour définir l’orientation
d’un solide dans l’espace à l’aide de 3 paramètres angulaires.
Les 3 rotations s’effectuent autour de 3 vecteurs indépendants. Le choix des vecteurs de
rotation effectué dans Euler est le suivant :
- La première rotation s’effectue autour de ~z1 ,
- La dernière rotation s’effectue autour de ~z2 .
- La rotation intermédiaire s’effectue autour d’un
z1
vecteur perpendiculaire à ~z1 et à ~z2 : ~n = k~~zz11 ∧~
∧~
z1 k
ψ angle de précession ;
θ angle de nutation ;
φ angle de rotation propre.
Vecteur taux de rotation de R2 /R1 :
~
ΩR2 /R1 = dψ
~z + dθ
~n + dφ
~z
dt 1
dt
dt 2
7
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
B
Rappels sur les torseurs
Définition.
n o
~ et d’un
On appelle Torseur T l’ensemble d’un champ de vecteurs anti-symétrique M
~ associé. R
~ est appelée la résultante et M
~ A le moment en A.
vecteur R
Pour définir complétement un torseur, il suffit de préciser sa résultante et son moment en un
point quelconque A de l’espace. Cesndeux
o vecteurs sont alors appelés les éléments de réduction
T
du torseur en A. On note le torseur
n
T
o
=
A
~
R
~A
M
comme suit :
=
A
R1 .~e1 + R2 .~e2 + R3 .~e3
MA,1 .~e1 + MA,2 .~e2 + MA,3 .~e3
où R est la base de vecteurs
n R(~
o e1 , ~e2 , ~e3 ). Les coordonnées Ri et MA,i sont les coordonnées
pluckériennes du torseur T .
Le torseur nul est un torseur dont la résultante et le moment sont nuls en au moins un point
M de l’espace.
Propriétés — Relation de changement de point.
Champ antisymétrique.
~ est antisymétrique si, et seulement si, pour une application L
Un champ de vecteurs M
3
antisymétrique de R dans R3 , et deux points P et Q quelconques de l’espace E(R3 ), on a :
~P = M
~ Q + L(QP
~ )
M
Dans R3 , cette relation s’écrit à l’aide d’un produit vectoriel car pour toute application anti~ tel que L(U
~) = R
~ ∧U
~ , d’où :
symétrique de R3 dans R3 , il existe un vecteur R
~P = M
~Q +R
~ ∧ QP
~
M
C’est cette propriété des champs antisymétriques qui nous permettra de calculer les coordonnées du torseur en différents points. Cette relation est à connaître absolument.
Champ équiprojectif.
~ est équiprojectif si, et seulement si, pour tous points P et Q de
Un champ de vecteurs M
E(R3 ), on a :
~ P .P~Q = M
~ Q .P~Q
M
Le théoréme de Delassus nous dit alors que : Tout champ antisymétrique est équiprojectif et
réciproquement.
8
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
Somme de deux torseurs.
Soient deux torseurs
n
n
T1
T1
o
o
n
o
~1
R
~ A,1
M
T2
et
=
A
n
tels que :
et
n
T
o
2 =
A
~2
R
~ A,2
M
o
TS
~ S est égale à la somme des
la somme des deux torseurs. Alors la résultante R
~ 1 et R
~ 2 et le moment M
~ A,S exprimé en A est égal à la somme des moments M
~ A,1
résultantes R
~ A,2 exprimés en A.
et M
~S = R
~1 + R
~2
R
~ A,S = M
~ A,1 + M
~ A,2
M
Soit
Attention ! Ajouter deux torseurs dont les éléments de réduction sont exprimés en des
points différents n’a aucun sens !
Multiplication d’un torseur par un scalaire.
Soit
n
T1
o
un torseur et α un réel. Alors :
n
T
o
n
o
2 = α. T 1 =
A
~1
α.R
~ A,1
α.M
Comoment de deux torseurs.
On appelle comoment de deux torseurs
n
T1
o
⊗
n
o
T2
n
T1
o
et
n
T
o
2 , la quantité scalaire :
~ 1 .M
~ A,2 + R
~ 2 .M
~ A,1
=R
Comme pour la somme, les moments des torseurs doivent être exprimées au même point.
Le résultat ne dépend pas du point A choisi.
Automoment d’un torseur.
n o
On appelle automoment A d’un torseur T la moitié du comoment de ce torseur par
lui même :
1 n o n o ~ ~
MA
A = . T ⊗ T = R.
2
Axe central d’un torseur.
n o
On appelle axe central d’un torseur T l’ensemble des points I pour lesquels le champ
~ est colinéaire à R.
~ Soit : M
~ I = α.R
~ ,α ∈ R
M
~
On remarque que l’axe central est toujours une droite paralléle à R.
9
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
Décomposition d’un torseur.
Glisseur.
~ 6= ~0.
Un glisseur est un torseur dont l’automoment est nul avec R
Le moment est donc toujours perpendiculaire à la résultante et il est nul sur l’axe central.
Couple.
~ = ~0.
Un couple est un torseur dont la résultante est nulle : R
Le moment est donc constant en tout point de l’espace et il n’y a pas d’axe central pour ce
torseur.
Décomposition d’un torseur en un glisseur et un couple.
n o
n o
Tout torseur T peut se décomposer en la somme d’un glisseur G et d’un couple
n o
C :
n
T
o
=
n o
G
+
n o
C
Soit :
A
~
R
~
MA
=
A
~
R
~ A,Glisseur
M
+
A
~0
~
C
Cette décomposition n’est pas unique. Elle l’est si on impose la condition supplémentaire
~
~ On appelle parfois "décomposition canonique" cette décomposition unique.
C colinéaire à R.
Dans le cas d’une décomposition canonique, l’axe central du torseur est le même que
l’axe central du glisseur issu de la décomposition. Le moment du glisseur est biensûr nul
sur l’axe central. Le moment du torseur sur l’axe central, colinéaire à la résultante, est égal
~ du couple issu de la décomposition.
au moment C
10
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
C
Tableau des liaisons
11
Mécanique MPSI – PCSI : synthèse
D
D.1
Pour aller plus loin : résoudre graphiquement un problème
plan [HORS PROGRAMME]
Propriétés utilisées en cinématique graphique (problème plan)
Pour un mouvement plan d’un mécanisme, il est facile d’évaluer les différentes vitesses
utiles en utilisant les propriétés suivantes :
– composition des vecteurs vitesses du mouvement de Sj par rapport à Si ;
– équiprojectivité ;
– la norme du vecteur vitesse de Si par rapport à Sj en un point est proportionnelle à la
distance du C.I.R. Iij à ce point ;
– le C.I.R. est déterminé par l’intersection des normales aux vecteurs vitesse de Sj par
rapport à Si de deux points quelconques.
Théorème des 3 C.I.R.
Soient trois solides (1), (2) et (3). Il est possible de définir trois C.I.R. entre ces solides :
CIR1/2, CIR1/3 et CIR 2/3. Ces trois C.I.R. (s’ils existent) sont alignés.
D.2
Propriétés utilisées en statique graphique (problème plan)
Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces) :
Lorsqu’un système en équilibre est soumis à deux forces, ces deux forces sont colinéaires,
égales et opposées.
Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces) :
Lorsqu’un solide en équilibre est soumis à trois forces non parallèles, il faut et il suffit que
ces trois forces soient coplanaires, concourantes et de somme nulle et de somme de moments
nulle.
12