Une variable aléatoire et son espérance

Une variable aléatoire et son espérance
Un joueur lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
Un résultat de cette expérience aléatoire est un couple : par exemple on peut obtenir Pile puis Face, ce qui se
note (Pile ; Face).
1° Quel est l'univers E de cette expérience ? E = { .............................................................................................................................}
2° Etablir la loi de probabilité associée à cette expérience.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Le joueur gagne 1 € par pile obtenue et il perd 2 € par face obtenue.
3° a) Quel est le gain algébrique du joueur quand il obtient (Pile ; Face) ? Un gain algébrique peut être positif ou négatif.
.....................................
On désigne par X le gain algébrique (positif ou négatif) du joueur
b) Quelles sont toutes les valeurs possibles pour X ? ..................................................................................
c) Compléter le tableau ci-dessous :
Gain xi
x1 = ......
x2 =......
x3 =......
P ( X = xi)
Lorsqu'à chaque issue d'une expérience aléatoire, on associe un nombre réel, on dit qu'on définit une
variable aléatoire. Ici, à chaque issue, on associe le gain X correspondant : X est une variable aléatoire.
4° Grâce à la calculatrice, on va simuler un grand nombre de parties pour avoir une estimation de ce que peut
espérer gagner un joueur à ce jeu ...
a) La calculatrice peut choisir au hasard des nombres. Comment faire pour simuler le lancer d'une pièce en
utilisant la calculatrice ? ................................................................................................................................
b) Compléter l'algorithme si dessous pour qu'il simule deux lancers d'une pièce et pour qu'il affiche le gain.
Variables
A, B, X : nombres
Début
A prend aléatoirement ..........................................
B prend aléatoirement ..........................................
Afficher X
Fin
c) Que faudrait-il ajouter à cet algorithme pour simuler non plus une mais 800 parties de ce jeu ?
......................................................................................................................................................................................................
d) Compléter ci-dessous l'algorithme pour qu'il simule 800 parties et pour qu'il affiche le gain algébrique total
puis le gain algébrique moyen par partie.
Variables
A, B, S, M,........ : nombres // S est le gain algébrique total, M est le gain algébrique moyen
Début
S prend la valeur 0
Afficher S
Afficher M
Fin
e) Programmer cet algorithme sur la calculatrice
Pour choisir aléatoirement 0 ou 1 :

Avec la TI 82 stat.fr :

Avec la TI 82 : int ( rand × 2)
MATH puis NUM choisir int puis MATH puis PRB choisir rand

Avec la casio : Int(Ran#× 2)
OPTN puis NUM choisir Int puis EXIT choisir PROB puis choisir Ran #
entAléa(0,1)
math puis PRB puis entAléa(
f) Quel gain moyen obtenez-vous pour 800 parties jouées ? ..........................................
5° Sur 800 parties jouées, combien de fois devrait-on , d'un point de vue probabiliste, avoir un gain de - 4 € ? ..........
Même question avec -1 € :
........
puis avec 2 € : ....................
En déduire l'espérance de gain sur 800 parties jouées : ........................
Puis l'espérance de gain sur une partie : ..............................
Si on joue N parties de ce jeu, quel "gain" peut-on espérer ? ........................
Le nom "espérance mathématique" est issu du langage des jeux.
L'espérance de gain s'interprète comme la moyenne des gains obtenus en répétant le jeu un grand nombre de fois.
Le jeu est favorable au joueur si son espérance de gain est strictement positive et défavorable au joueur si c'est un
nombre strictement négatif. Lorsque l'espérance est nulle, le jeu est dit équitable.
Exercice
Une association sportive organise une loterie. Les 2000 billets vendus sont numérotés de 1 à 2000.
Parmi tous les billets, huit billets sont gagnants : un billet rapporte 1500 € , deux billets rapportent 150 € chacun ,
cinq billets rapportent 100 € chacun. Tous les autres billets sont perdants.
Le prix du billet est fixé à 2 €.
Quel est l'espérance de gain d'une personne achetant un billet ? Cette loterie est-elle équitable ?