récurrence forte version 10-4-2016

La récurrence forte
Principe :
Le principe est le même que pour la récurrence « normale ». La seule différence est que l’on suppose que P  k 
st vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n au sens large, alors que pour la récurrence normale, on
considère seulement un entier naturel k (et pas tous les entiers naturels k compris entre 0 et n).
Structure :
Pour n   , on définit une phrase P  n  .
Vérifions que P  0  est vraie.
On fait le calcul.
Donc P  0  est vraie.
On suppose que P  k  est vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n au sens large.
Démontrons qu’alors P  n  1 est vraie.
On fait les calculs.
On a démontré que P  0  est vraie et que si P  k  est vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n, alors
P  n  1 est également vraie.
On en déduit que P  n  est vraie pour tout entier naturel n.
Intérêt :
Nous verrons l’intérêt d’une récurrence forte dans les exercices.
Par exemple, dans l’exercice 1 , il est impossible de faire une récurrence simple.
Exercices sur la récurrence forte
1 Soit  un  la suite définie sur  par son premier terme u0  1 et la relation de récurrence
un1 
1
u02  u12  un 2

n 1
 pour tout entier naturel n.
Tous les termes de cette suite sont-ils des entiers naturels ?
Solution :
Calcul des premiers termes u1 , u2 , …
u1 
1
1
 u0 2   1  1
0 1
1
1
u2   12  12   1
2
u3  1 …
Conjecture : Tous les termes de la suite sont égaux à 1 (et donc tous les termes de la suite sont des entiers).
On effectue une récurrence forte.
Pour n   , on définit la phrase P  n  : « un  1 ».
 Vérifions que P  0  est vraie.
u0  1
Donc P  0  est vraie
 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 fixé.
On suppose que P  k  est vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n au sens large. 7Démontrons qu’alors
P  n  1 est vraie c’est-à-dire un1  1 .
un1 
1
u02  u12  un 2

n 1

n
1
un1 
n 1

uk 2
k 0
un1 
1
  n  1
n 1
un1  1
On a démontré que P  0  est vraie et que si P  k  est vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n, alors
P  n  1 est également vraie.
On en déduit que P  n  est vraie pour tout entier naturel n.
Donc un  1 quel que soit n   .
n
2 Soit  un  la suite définie sur  par son premier terme u0  1 et la relation de récurrence un1 

k 0
tout entier naturel n.
Exprimer le terme général en fonction de n.
Solution :
Calcul des premiers termes u1 , u2 , …
u1  1
u2  2
u3  4
On conjecture que un  2n 1 pour tout entier naturel n  1 .
u4  8
u5  16
uk pour
Démontrons que n  * un  2n 1 .
Pour n  * , on définit la phrase P  n  : « un  2n 1 ».
 Vérifions que P 1 est vraie.
D’une part, u1  u0  1 .
D’autre part, 211  20  1 .
On a bien u1  211 et par conséquent, la phrase P 1 est vraie
 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 fixé.
On suppose que P  k  est vraie pour tous les entiers k compris entre 1 et n au sens large.
Démontrons qu’alors P  n  1 est vraie c’est-à-dire un1  2n .
n
un1 

uk
k 0
n
un1  u0 

uk
k 1
0
n 1
un1  1  2
 21 
 ...  2
un1  1 
2n  1
2 1
2n  1
un1  1 
2 1
On a démontré que P 1 est vraie et que si P  k  est vraie pour tous les entiers k compris entre 1 et n, alors
P  n  1 est également vraie.
On en déduit que P  n  est vraie pour tout entier naturel n  1 .
Donc un  2n 1 quel que soit n  * .