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Cours Mathématique
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Chapitre 1
Les Nombres complexes
Dès le XVIe siècle, des mathématiciens ont été amenés à utiliser des symboles purement formels du type
√−a, lorsque a est un réel positif, par exemple pour représenter les solutions d’une équation du troisième degré.
Jusqu’à la fin du XVIIIe siècle, ces nombres "impossibles" furent utilisés, sans qu’une définition précise en ait
été donnée. Ce n’est qu’au début du XIXe siècle que ces nombres furent définis.
1.1 LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
Définition 1.1.1. Il existe un ensemble Cdont les éléments, appelé nombres complexes, s’écrivent de manière
unique sous la forme a+ib, avec a et b réel (i.e éléments de R)et tel que i2=−1.
1.1.1 Addition et multiplication dans C
1. (a+ib)+(c+id)=(a+c) + i(b+d)
2. (a+ib)(c+id) = ac +i(ad +bc) + i2bd = (ac −bd) + i(ad +bc)
Proposition 1.1.1. Si z est un complexe, il existe un unique couple de réels (x, y)tel que z=x+iy. Les réels
x et y sont appelés respectivement partie réel de z et partie imaginaire du complexe z et sont notés :
x=Re(z)et y=Im(z)
Définition 1.1.2. Un nombre complexe de la forme iy avec y∈Rest appelé imaginaire pur
1.2 CONJUGUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Définition 1.2.1. Soit z=x+iy un nombre complexe,xet yétant des réels. On appelle conjugué de zle
nombre complexe x−iy que l’on note z.
Proposition 1.2.1.
P1)∀z∈C,z=z
P2)∀z∈C,Re(z) = x=z+z
2et Im(z) = y=z−z 2i
P3)∀z, z0∈C,z+z0=z+z0
P4)∀z, z0∈C,zz0=zz0
P5)Si z=x+iy 6= 0 c’est à dire les réels x et y ne sont pas tous les deux nuls, 1
z=z zz =x x2+y2−iy x2+y2
P6)∀z∈C,∀z0∈C∗,(z
z0) = z
z0
P7)∀z∈C,∀n∈N, zn= (z)n
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1.3 MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Définition 1.3.1. Si z est un nombre complexe. On appelle module de z le réel noté |z|défini par :
|z|=√zz
Si z=x+iy,zz =x2+y2, alors |z|=px2+y2
Proposition 1.3.1.
P1)∀z∈C,|z|= 0 ⇐⇒ z= 0
P2)∀z, z0∈C,|zz0|=|z|.|z0|
P3)∀z∈C,|z|=|z|
P4)∀n∈N,|zn|=|z|n
P5)∀z∈Cet ∀z0∈C∗,|z
z0|=|z| |z0|
P6)∀z∈C,|Re(z)| ≤ |z|et |Im(z)|≤|z|
P7)∀z, z0∈C,|z+z0| ≤ |z|+|z0|
1.4 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ DANS C
1.4.1 Racines carrées d’un nombre complexe
Définition 1.4.1. Soit Z=X+iY. On appelle racine carrée de Ztout nombre complexe z=x+iy qui vérifie :
z2=Z
Proposition 1.4.1. Soit Z=X+iY ∈ C∗. Il existe exactement deux nombre complexe z tels que z2=Zet
ils sont opposés.
Démonstration :
Supposons trouvé z0tel que z2
0=Z. On a :
z2=Z
z2
0=Z
Alors z2−z2
0= 0 ⇐⇒ (z−z0)(z−z0)=0
Où encore z=z0ou z=−z0
Donc on a z∈ {z0,−z0}.
Ce qui montre qu’il existe exactement deux nombres complexe z vérifiant z2=Z
Caractérisation :
(i) z2=Z ⇐⇒ (x+iy)2=X+iY
Où encore x2+ 2ixy −y2=X+iY
On a :
x2−y2=Xet 2xy =Y
(ii)
z2=Z ⇐⇒ |z2|=|Z|
⇐⇒ |z|2=|Z|
=⇒x2+y2=√X2+Y2
On a le système suivant qui permet de calculer xet y
x2−y2=X
2xy =Y
x2+y2=√X2+Y2
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N.B : Les valeurs de xet ydépendent du signe de Y.
Exemple :
Déterminer les racines carrées de Z=−3−4i
(i) Soit z=x+iy une racine de Z=−3−4i
On a : 
x2−y2=−3 (1)
2xy =−4 (2)
x2+y2=p(−3)2+ (−4)2(3)
(ii) (1) + (3) =⇒2x2= 2. Comme Y=−4est négatif (En notant qu’il suffit de trouver une seule racine
pour trouver les deux (l’autre est son opposé)),posons xnégatif et ypositif.
De plus 2x2= 2 implique x2= 1 =⇒x=−1
(iii) 2y(−1) = −4 =⇒y= 2
La première racine est : z1=−1+2iet l’autre est : z2=−z1= 1 −2id’après la proposition1.4.1
1.4.2 Résolution d’une équation du second degré dans C
Soit à résoudre dans Cl’équation :
az2+bz +c= 0 où a∈C∗,et b, c ∈C
(i) Premièrement, il faut calculer ∆ = b2−4ac
(ii) Deuxièmement, étudier le signe de ∆
a. Si ∆<0ou∆>0, alors l’équation admet deux solution :
S={−b+δ
2a;−b−δ 2a}
où δest la racine de ∆.
Remarque : Dans le cas où ∆est négatif, une seule racine carrée suffit car on obtient la même chose.
b. Si ∆=0,S={− b
2a}où Sest l’ensemble des solution.
1.5 FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
NON NUL
1.5.1 Interprétation géométrique d’un nombre complexe
Définition 1.5.1. Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, ~u, ~v). A tout point M(x;y)du plan Pou à
tout vecteur −−→ OMx
y, on associe le nombre complexe zM=x+iy.
A tout complexe zM=x+iy, on associe le point M(x;y)ou le vecteur −−→ OM
1. Le point Mest appelé « image » du nombre complexe z
2. zMest appelé « affixe » du point M(ou du vecteur −−→ OM)
On note : z=aff (M)
~u
~v
−−→
OM
x
yM(z=x+iy)
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