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Cours Mathématique
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2
Chapitre 1
Les Nombres complexes
√ Dès le XVIe siècle, des mathématiciens ont été amenés à utiliser des symboles purement formels du type
−a, lorsque a est un réel positif, par exemple pour représenter les solutions d’une équation du troisième degré.
Jusqu’à la fin du XVIIIe siècle, ces nombres "impossibles" furent utilisés, sans qu’une définition précise en ait
été donnée. Ce n’est qu’au début du XIXe siècle que ces nombres furent définis.
1.1
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
Définition 1.1.1. Il existe un ensemble C dont les éléments, appelé nombres complexes, s’écrivent de manière
unique sous la forme a + ib, avec a et b réel (i.e éléments de R) et tel que i2 = −1.
1.1.1
Addition et multiplication dans C
1. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
2. (a + ib)(c + id) = ac + i(ad + bc) + i2 bd = (ac − bd) + i(ad + bc)
Proposition 1.1.1. Si z est un complexe, il existe un unique couple de réels (x, y) tel que z = x + iy. Les réels
x et y sont appelés respectivement partie réel de z et partie imaginaire du complexe z et sont notés :
x = Re(z) et y = Im(z)
Définition 1.1.2. Un nombre complexe de la forme iy avec y ∈ R est appelé imaginaire pur
1.2
CONJUGUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Définition 1.2.1. Soit z = x + iy un nombre complexe,x et y étant des réels. On appelle conjugué de z le
nombre complexe x − iy que l’on note z.
Proposition 1.2.1.
P1 ) ∀z ∈ C, z = z
P2 ) ∀z ∈ C, Re(z) = x =
z+z
2
et Im(z) = y =
z−z
2i
P3 ) ∀z, z 0 ∈ C, z + z 0 = z + z 0
P4 ) ∀z, z 0 ∈ C, zz 0 = zz 0
P5 ) Si z = x + iy 6= 0 c’est à dire les réels x et y ne sont pas tous les deux nuls,
P6 ) ∀z ∈ C, ∀z 0 ∈ C∗ , ( zz0 ) =
z
z0
n
P7 ) ∀z ∈ C, ∀n ∈ N, z n = (z)
3
1
z
=
z
zz
=
x
x2 +y 2
y
− i x2 +y
2
1.3
MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Définition 1.3.1. Si z est un nombre complexe. On appelle module de z le réel noté |z| défini par :
√
|z| = zz
Si z = x + iy, zz = x2 + y 2 , alors |z| =
p
x2 + y 2
Proposition 1.3.1.
P1 ) ∀z ∈ C, |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
P2 ) ∀z, z 0 ∈ C, |zz 0 | = |z|.|z 0 |
P3 ) ∀z ∈ C, |z| = |z|
P4 ) ∀n ∈ N, |z n | = |z|n
P5 ) ∀z ∈ C et ∀z 0 ∈ C∗ , | zz0 | =
|z|
|z 0 |
P6 ) ∀z ∈ C, |Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z|
P7 ) ∀z, z 0 ∈ C, |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |
1.4
1.4.1
ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ DANS C
Racines carrées d’un nombre complexe
Définition 1.4.1. Soit Z = X +iY. On appelle racine carrée de Z tout nombre complexe z = x+iy qui vérifie :
z2 = Z
Proposition 1.4.1. Soit Z = X + iY ∈ C∗ . Il existe exactement deux nombre complexe z tels que z 2 = Z et
ils sont opposés.
Démonstration :
Supposons trouvé z0 tel que z02 = Z. On a :
z2
z02
=
=
Z
Z
Alors z 2 − z02 = 0 ⇐⇒ (z − z0 )(z − z0 ) = 0
Où encore z = z0 ou z = −z0
Donc on a z ∈ {z0 , −z0 }.
Ce qui montre qu’il existe exactement deux nombres complexe z vérifiant z 2 = Z Caractérisation :
(i) z 2 = Z ⇐⇒ (x + iy)2 = X + iY
Où encore x2 + 2ixy − y 2 = X + iY
On a :
x2 − y 2 = X et 2xy = Y
(ii)
z2 = Z
⇐⇒
⇐⇒
=⇒
On a le système
|z 2 | = |Z|
|z|2 = |Z| √
x2 + y 2 = X 2 + Y 2
suivant qui permet de calculer x et y
 2
 x − y2
2xy
 2
x + y2
4
= X
= Y
√
=
X 2 + Y2
N.B : Les valeurs de x et y dépendent du signe de Y.
Exemple :
Déterminer les racines carrées de Z = −3 − 4i
(i) Soit z = x + iy une racine de Z = −3 − 4i
On a :
 2
 x − y 2 = −3
2xy
= p
−4
 2
2
x +y =
(−3)2 + (−4)2
(1)
(2)
(3)
(ii) (1) + (3) =⇒ 2x2 = 2. Comme Y = −4 est négatif (En notant qu’il suffit de trouver une seule racine
pour trouver les deux (l’autre est son opposé)),posons x négatif et y positif.
De plus 2x2 = 2 implique x2 = 1 =⇒ x = −1
(iii) 2y(−1) = −4 =⇒ y = 2
La première racine est : z1 = −1 + 2i et l’autre est : z2 = −z1 = 1 − 2i d’après la proposition1.4.1
1.4.2
Résolution d’une équation du second degré dans C
Soit à résoudre dans C l’équation :
az 2 + bz + c = 0 où a ∈ C∗ , et b, c ∈ C
(i) Premièrement, il faut calculer ∆ = b2 − 4ac
(ii) Deuxièmement, étudier le signe de ∆
a. Si ∆ < 0 ou∆ > 0, alors l’équation admet deux solution :
S={
−b + δ −b − δ
;
}
2a
2a
où δ est la racine de ∆.
Remarque : Dans le cas où ∆ est négatif, une seule racine carrée suffit car on obtient la même chose.
b
b. Si ∆ = 0, S = {− 2a
} où S est l’ensemble des solution.
1.5
1.5.1
FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
NON NUL
Interprétation géométrique d’un nombre complexe
Définition 1.5.1. Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, ~u, ~v ). A tout point M (x; y) du plan P ou à
−−→ tout vecteur OM xy , on associe le nombre complexe zM = x + iy.
−−→
A tout complexe zM = x + iy, on associe le point M (x; y) ou le vecteur OM
1. Le point M est appelé « image » du nombre complexe z
−−→
2. zM est appelé « affixe » du point M (ou du vecteur OM )
On note : z = af f (M )
M (z = x + iy)
y
−−→
OM
~v
x
~u
5
−−→
Proposition 1.5.1.
P1 ). ∀M, N ∈ P, af f (M N ) = af f (N ) − af f (M )
−−→
P2 ). Pour tout point M du plan d’affixe zM , nous avons |z| = ||OM || (on utilise la norme euclidienne)
A RETENIR :
−−→
Soit (C) le cercle de centre Ω(xo ; yo ) et de rayon R . Soit M (x; y) tel que ΩM
Le point M appartient au cercle si la distance ΩM est égal R ou encore
−−→
M ∈ C ⇐⇒ |zM − zΩ | = ||ΩM || = R
x−x0
y−y0
TRÈS IMPORTANT :
Soit (E) l’ensemble des points M du plan, A et B deux points du plan et ~u un vecteur du plan.
−−→
−−→
1. Si ||AM || = ||BM ||, alors (E) est la médiatrice du segment [AB]
−−→ −−→
2. Si AM ⊥BM alors (E) est le cercle de diamètre [AB]
−−→
3. Si AM //~u alors (E) est la droite passante par A et parallèle à ~u
−−→
4. Si AM ⊥~u alors (E) est la droite passante par A et perpendiculaire à ~u
−−→
5. Si ||AM || = r > 0 alors (E) est le cercle de centre A et de rayon r
1.5.2
Argument d’un nombre complexe
Définition 1.5.2. Soit z ∈ C∗ ,M son image dans le plan (P) rapporté au plan orthonormé (O; ~u; ~v ).
M (z = x + iy)
y
−−→
OM
~v
θ
x
~u
−−→
\
On appelle argument de z la mesure de l’angle (~u; OM ). On note
−−→
\
arg(z) = θ = (~u; OM )
Définition 1.5.3. Soit z = x + iy ∈ C∗ , M son image dans le plan P, ρ son module et θ son argument.
La forme trigonométrique de z est :
z = ρ(cos(θ) + i sin(θ))
Notation:

ρ
z = [ρ; θ] où

θ
1.5.3
= |z| =
p
x2 + y 2 (
= arg(z) tel que
cos(θ)
sin(θ)
=
=
x
ρ
y
ρ
Manipulation de la forme trigonométrique
(
Proposition 1.5.2.
1. [ρ; θ] = [α; ω] ⇐⇒
ρ
θ
=α
= 2kπ, k ∈ N
2. Si z = [ρ; θ] alors z = [ρ; −θ]
6
3. [ρ; θ].[α; ω] = [ρα; θ + ω]
4. ∀n ∈ N, [ρ; θ]n = [ρn ; nθ]
1
5. [ρ;θ]
= [ ρ1 ; −θ]
6.
1.5.4
[ρ;θ]
[α;ω]
= [ αρ ; θ − ω]
Interprétation géométrique du module et argument de Z =
zD −zC
zB −zA
Soit A,B,C et D quatre points du plan rapporté à repère orthonormé d’affixe respective zA , zB , zC , zD . Nous
avons

−
−
→
| zD −zC |
= ||CD||
−
−
→
zB −zA
||AB||
−−→
−−→
\

−zC
arg( zzD
) = (AB, CD)
B −zA
1.5.5
Racine nième d’un nombre complexe
Racine nieme de l’unité ou 1
Définition 1.5.4. On appelle racine nieme de 1 tout nombre complexe β tel que
βn = 1
Proposition 1.5.3. Le nombre complexe 1 admet n racine qui sont les βk = [1; k 2π
n ] où k allant de 0 vers
n − 1.
Racine nieme d’un nombre complexe quelconque
Soit Z un nombre complexe.
1. Si Z0 est une racine nieme de Z que l’on connait. Soit z une racine nieme quelconque de Z. Nous avons :
z = Z0 βk où βk = [1; k 2π
n ] où k allant de 0 vers n − 1.
ieme
2. Si aucune racine n
de Z n’est connue alors on pose
Z = [ρ; θ] et z = [r; φ]
et on détermine r et φ en résolvant l’équation [ρ; θ] = [r; φ]n
1.6
1.6.1
APPLICATION A LA TRIGONOMÉTRIQUE
Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
Définition 1.6.1. Soit z = [ρ; θ]. La forme exponentielle de z est
z = ρeiθ
qu’on lit ρ exponentielle de θ
Proposition 1.6.1.
1. ρeiθ = αeiω
(
ρ=α
⇐⇒
θ = ω + 2kπ
2. z = ρeiθ =⇒ z = ρe−iθ
3. (ρeiθ )(αeiω ) = ραei(θ+ω)
4. (ρeiθ )n = ρn einθ
5. ρe1iθ = ρ1 e−iθ
6.
ρeiθ
αeiω
=
ρ i(θ−ω)
αe
Proposition
1.6.2. (Formule d’Euler)
(
iθ
iθ
cos θ = e +e
2
∀θ ∈ R,
iθ
−eiθ
sin θ = e 2i
7
Proposition 1.6.3. (La formule de Moïvre)
∀θ ∈ R, (cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + sin(nθ)
Attention :
Lorsqu’un complexe non nul z s’écrit sous la forme trigonométrique :
z = ρ(cos(θ) + i sin(θ))
avec (ρ; θ) ∈ R2 , on n’a pas nécessairement ρ = |z| mais :
(i) si ρ > 0, alors |z| = ρ et arg(z) ≡ θ mod (2π)
(ii) si ρ < 0, alors |z| = −ρ et arg(z) ≡ θ + π mod (2π)
1.6.2
Linéarisation de cosm (θ) sinn (θ)
Étant donnée m et n deux entiers naturels et θ un réel. Linéariser cosm (θ) sinn (θ) c’est l’exprimer comme combinaison linéaire de cos(kθ) et sin(kθ) avec k ∈ N Exemple :
Linéariser f (x) = cos4
f (x)
1.6.3
cos4
eix + e−ix 4
= (
)
2
1
i4x
= 16 [(e + e−i4x ) + 4(ei2x + e−i2x ) + 6]
1
[2 cos(4x) + 8 cos(2x) + 16]
= 16
=
Expression cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x)
Pour exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x), on commence par écrire la formule
de Moïvre :
(cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx)
puis après avoir développé, par la formule du binôme (a + b)n =
n
P
i=0
n
i
ai bn−i , le premier membre de l’égalité
précédente, on identifie les parties réelles et imaginaires des deux membres de l’égalité obtenue.
Exemple :
Exprimer cos(4x) et sin(4x) en fonction de cos(x) et sin(x)
a. Utilisation de la formule de binôme
(cos(x) + i sin(x))4
=
=
=
4
P
k=0
4
4
k
cosk (x)i4−k sin4−k (x)
i sin4 (x) + 4i3 sin3 (x) cos(x) + 6i2 sin2 (x) cos2 (x) + 4i sin(x) cos3 (x) + cos4 (x)
sin4 (x) − 4i sin3 (x) cos(x) − 6 sin2 (x) cos2 (x) + 4i sin(x) cos3 (x) + cos4 (x)
b. Utilisation de la formule de Moïvre
(cos(x) + i sin(x))4 = cos(4x) + i sin(4x)
Par identification nous avons :
cos(4x)
=
=
=
et
sin(4x) =
=
=
sin4 (x) − 6 sin2 (x) cos2 (x) + cos4 (x)
(1 − cos2 (x))2 − 6(1 − cos2 (x)) cos2 (x) + cos4 (x)
8 cos4 (x) − 8 cos2 (x) + 1
4 cos3 (x) sin(x) − 4 sin3 cos(x)
4 cos(x) sin(x)[cos2 (x) − sin2 (x)]
4 cos(x) sin(x) − 8 cos(x) sin3 (x)
8
car cos2 (x) + sin2 (x) = 1
on remplace cos2 (x) par 1 − sin2 (x)
1.6.4
Transformation de a cos(x) + b sin(x)
Soient a, b et x trois nombre réels,avec (a, b) 6= (0, 0). En appelant r un module et θ un argument du nombre
complexe a + ib i.e

√

= a2 + b2
r
cos(θ) = ar


sin(θ) = rb
a cos(x) + b sin(x)
= r cos(θ) cos(x) + r sin(θ) sin(x)
= r cos(x − θ) car cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
= r sin(x − θ + π2 )
9