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Paul MALOU Génie Mécanique ESP – UCAD Dakar
VI
NOTIONS FONDAMENTALES
DE L’EQUILIBRAGE STATIQUE ET DYNAMIQUE

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Toute masse ou tout élément de machine accéléré est soumis à une force.
L’équilibre de cette masse ou de cet élément implique qu’à cette force résultant
de l’accélération de la masse ou de l’élément de machine doit correspondre une
force réactante de même intensité et de sens opposé (la réaction). Sur une
machine « fixe », la réaction résultant de l’accélération ‘une masse ou d’un
élément est appliquée au bâti de la machine. Par conséquent, le bâti doit pouvoir
supporter cette réaction.
Equilibrer une machine consiste à associer à la masse ou à l’élément en
mouvement une masse dont l’accélération donne lieu, à tout instant, à une
force égale en module et opposée à la force résultant de l’accélération de
cette masse. Dans ces conditions, le bâti est exempt de toute force.
VI.1 EQUILIBRAGE DE MASSES EN ROTATION
1) Cas d’un système d’une seule masse hors d’équilibre
Considérons un arbre rigide OO supportant sur une de ses sections transversales
une masse  à la distance  de son axe (fig.57a). Pour une vitesse de
rotation, tout autre effet gravitationnel étant négligé, cette masse sera
continuellement soumise à une accélération centripète d’intensité  et par
suite à une force d’intensité  exercée par l’arbre et dirigée vers son axe ;
et la masse exercera à son tour sur l’arbre, en retour, une force centrifuge de
Figure 57
m1r1ω2
G
m1
r1
ω
m1r1ω2
G
m1r1
ωM
R
MR
O
r1
R
m1
M
m1g
Mg
(a) (b) (c)
θ1
O
O
O
O

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même intensité. Pour éliminer la force centrifuge (réaction de l’arbre), il suffit
de disposer sur le même diamètre que , à la distance R, une masse dite
d’équilibrage M telle que (fig.57b) :
 (1)
Il découle de ceci les remarques suivantes :
 Dans les problèmes d’équilibrage c’est le produit masse x distance à
l’axe de rotation (rayon) qu’il faut prendre en considération et non la masse
ou sa distance par rapport à l’axe de rotation.
 La relation (1) ne dépendant pas de la vitesse de rotation, il vient qu’un
système dynamiquement équilibré l’est également statiquement. L’inverse
n’est cependant pas forcément vrai comme ce sera vu plus loin ; pour s’en
convaincre, il suffit de considérer le système représenté sur la figure 57c. La
somme des moments des forces appliquées par rapport à l’axe de l’arbre s’écrit :
 (2)
En tenant compte des relations (1), il vient que cette somme est identiquement
nulle et que le système est par conséquent en équilibre statique pour une position
repéré par θ1.
 Les relations (1) étant indépendantes de la vitesse de rotation, il s’en suit
qu’un système dynamiquement équilibré pour une vitesse donnée l’est
également pour toute autre vitesse.

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2) Cas d’un système de plusieurs masses
Supposons un système de masses m1, m2,….., mn distantes de r1, r2,….., rn de
l’axe de l’arbre et dont les disposition sur un plan transversal sont θ1, θ2,…..,
θn par rapport à un référentiel d’angle arbitraire comme schématisé sur la figure
58a.
Pour une vitesse de rotation ω du système, chaque masse mi exerce sur l’arbre
la force centrifuge . Relativement à l’arbre, le système de forces
engendrées est constant et peut être réduit à une seule force résultante.
L’équilibrage d’un tel système consistera à disposer une masse M à la distance
R de l’axe de l’arbre et à la position angulaire Θ de manière à ce que le
polygone des vecteurs forces soit fermé (fig.58b) (représentation pour ω =1).
On détermine ainsi la quantité MR et par suite la masse M et la position
angulaire Θ pour une distance de fixation R donnée et inversement. Les
remarques faites précédemment restent valables.
3) Cas des masses disposées dans des plans transversaux différents
Nos avons vu que les conditions d’équilibre dynamique d’un système
satisfaisaient aussi la condition d’équilibre statique, l’inverse n’étant pas vrai.
Ceci peut être simplement illustré par l’exemple suivant (fig.59).
Figure 58
M
(a) (b)
θ1
O
m1
m2
m3
θ2
θ3
Θ
θ1
θ2
θ3
Θ
Réf.
Réf.

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Considérons les deux masses de la figure 57b mais disposées dans des plans
transversaux distants l’un de l’autre de d1 (fig.59a). Il est évident qu’un tel
système est en équilibre statique. Cependant, lorsque ce système est en
mouvement de rotation, les forces centrifuges s’exerçant sur l’arbre engendrent
un moment d’intensité  par rapport au plan de la masse M et le
vecteur représentatif tourne avec l’arbre, entraînant son déséquilibre. En
pratique, une telle situation peut se reproduire pour un rotor présentant des excès
de masse comme représenté sur la figure 59b : ce rotor, bien qu’en parfait
équilibre statique, est en déséquilibre une fois en mouvement.
4) Représentation de couples et de moments non équilibrés
Dans un système non équilibré, le moment résultant des forces de
déséquilibre peut être représenté par un vecteur perpendiculaire au plan de
ces forces.
Si nous considérons l’exemple de la figure 59a, le moment d’intensité
 est représenté par un vecteur  qui peut être translaté
parallèlement à son plan, tout en conservant son effet. Nous pouvons ainsi le
représenter par un vecteur  sur un plan arbitraire (X) (fig.60).
Figure 59
(a) (b)
R
m1r12
MR2
R
r1
O
O
m
m