IntegralesMultiples

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Intégrales multiples
Chapitre 2
Intégrales multiples
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 10 septembre 2010
Introduction
Présentation et objectifs
Les intégrales multiples constituent la généralisation des intégrales dites simples, c’està-dire des intégrales de fonctions d’une variable réelle. On s’attache ici à la généralisation
à des fonctions dont le nombre de variables est plus important (deux ou trois, rarement
plus). On se place ici dans le cadre de l’intégrale de Riemann.
Notons que d’autres généralisations sont possibles, comme les intégrales de Riemann
généralisées (cf. chapitre 4), l’intégrale de Lebesgue (liée à la théorie de la mesure), les
intégrales curvilignes, l’intégrale de formes différentielles. . .
Au niveau des applications les plus directes, on trouve les calculs d’aires, volumes,
masse, centre de gravité, moments. . .
Les résultats présentés dans ce chapitre ne sont qu’un aperçu de la théorie générale.
On pourra consulter à ce sujet tout traité d’analyse.
Prérequis:
Chapitre 1
Analyse et topologie (limites, continuité, dérivation, développements limités) (SUP)
Intégration (SUP)
Suites:
Chapitre 15
Analyse 1ère année (transformations intégrales, fonctions spéciales, EDP,. . .)
Analyse numérique, analyse complexe
Thermodynamique, Electromagnétisme, Mécaniques classique, quantique et relativiste
Exemples
Exemple 1
Pour optimiser la puissance d’un chauffage à installer, un chauffagiste est amené
à estimer le volume d’un bâtiment. Ce bâtiment, ayant bénéficié d’une architecture
moderne, a une base rectangulaire mais un toit d’une forme compliquée. Comment
connaître son volume ?
L’installateur commence par quadriller (virtuellement) le sol et mesure la hauteur
du toit en chaque point de la grille. Comment l’ensemble de ces mesures permet-il
de donner une approximation du volume du bâtiment ? Quels paramètres permettent
d’améliorer la qualité de cette approximation ?
1
Chapitre 2
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Cet exemple touche à la définition même d’une intégrale multiple. En effet, le volume
du bâtiment n’est autre que l’intégrale triple de la fonction constante 1 sur toute la zone
d’espace délimitée par le bâtiment. Comme on le verra dans ce chapitre, cette intégrale est
définie comme une forme de limite : on « remplit » cette portion d’espace par des pavés
(des parallélépipèdes rectangles) de plus en plus petits et on ajoute leurs volumes.
Cette définition assure donc que l’intégrale en question peut être approchée en considérant la somme des volumes de parallélépipèdes basés sur le quadrillage dont il est question.
Cette méthode fournit l’analogue, pour une intégrale double, de la méthode des rectangles,
fréquemment utilisée pour calculer une approximation des intégrales simples.
Exemple 2
Dans les papiers laissés par l’architecte, le propriétaire du bâtiment précédent retrouve
la spécification précise de la forme du toit, sous forme d’une surface d’équation cartésienne z = P (x, y) où P est une fonction polynôme (connue) du 4ème degré en deux
variables. Comment ce renseignement permet-il au chauffagiste de calculer de manière
exacte le volume du bâtiment sans recourir à de nombreuses mesures ?
Pour la suite de cet exemple, on est amené à utiliser une méthode de calcul exact
d’une intégrale double d’une fonction assez simple (un polynôme). Pour ce type de calcul
on est amené à invoquer le théorème de Fubini, qui consiste, sous certaines conditions
bien précises, à intégrer selon une variable à la fois. La possibilité d’utiliser ce théorème
dépend fortement de la forme du domaine d’intégration.
Une autre méthode explicite est celle du changement de variable, qui sera illustrée
plus loin.
1
1.1
Intégrales doubles
Intégrale sur un pavé
Définition 3
Un pavé de R2 est le produit cartésien de deux intervalles compacts [a, b] × [A, B] (cf.
figure 1). Son aire est (B − A)(b − a).
y
B
Δ
A
0
a
b
x
Figure 1 – Pavé dans R2
Soit f une fonction continue sur un pavé ∆ = [a, b] × [A, B]. On sait alors que f est
bornée (en tant que fonction continue sur un compact, cf. chapitre 1) et que, pour tout
2
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Intégrales multiples
x ∈ [a, b], l’application partielle
[A, B] −−−→ R
y
7−−−→ f (x, y)
est continue sur [A, B], donc intégrable sur cet intervalle. Notons
F : [a, b] −−−→ R
x
Z B
7−−−→
f (x, y) dy
A
Lemme 1
La fonction F définie ci-dessus est uniformément continue sur [a, b].
Preuve. Soit ε > 0. Comme f est continue sur le compact ∆, d’après le théorème de
Heine, elle est uniformément continue sur ∆. Il existe donc η > 0 tel que, pour tous
(x, y), (x0 , y 0 ) ∈ ∆, on ait
(k(x, y) − (x0 , y 0 )k∞ < η) =⇒
f (x, y) − f (x0 , y 0 ) <
ε
B−A
Soit un tel η et x, x0 ∈ [a, b] tels que |x − x0 | < η. Alors, pour tout y ∈ [A, B], on a (en
choisissant y 0 = y) :
k(x, y) − (x0 , y)k∞ = |x − x0 |
de sorte que l’inégalité précédente peut être intégrée de A à B :
0
F (x)−F (x ) =
Z B
A
0
[f (x, y) − f (x , y)] dy 6
Z B
A
0
f (x, y)−f (x , y) dy 6
Z B
A
ε
dy = ε.
B−A
Ainsi, pour ε > 0 arbitraire, on a prouvé l’existence de η > 0 tel que dès que x et
x0 vérifient |x − x0 | < η on a F (x) − F (x0 ) 6 ε. Ceci signifie que F est uniformément
continue sur [a, b].
La fonction F est en particulier continue sur [a, b], donc intégrable sur [a, b]. Ceci
justifie la définition 4 suivante.
Définition 4
Avec les notations précédentes, on appelle intégrale double de f sur ∆ le nombre
ZZ
f (x, y) dx dy =
Z b "Z B
a
∆
#
f (x, y) dy dx.
A
Remarques
1. La notation « dx dy » ne désigne pas la « multiplication de dx par dy » (c’est en
fait un produit tensoriel de mesures).
2. On prouve assez facilement que l’on a aussi
ZZ
f (x, y) dx dy =
∆
Z B "Z b
A
#
f (x, y) dx dy.
a
3
Chapitre 2
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R
RR
3. On écrit parfois ∆ au lieu de ∆ (surtout dans un contexte théorique), la définition de ∆ et le dx dy ne laissant aucune ambiguïté quant à la dimension.
Proposition 2 (Linéarité et croissance de l’intégrale sur un pavé)
L’application
I∆ : C 0 (∆, R) −−−→ R
ZZ
f 7−−−→
f (x, y) dx dy,
∆
où C 0 (∆, R) désigne le R-espace vectoriel des fonctions continues sur ∆, est une forme
linéaire croissante.
♠ Que signifie « forme linéaire croissante » ?
♠ Démontrer cette proposition.
1.2
Intégrale sur un domaine quarrable
Définition 5
Deux pavés [a1 , b1 ] × [A1 , B1 ] et [a2 , b2 ] × [A2 , B2 ] de R2 sont quasi-disjoints si leurs
intérieurs ]a1 , b1 [×]A1 , B1 [ et ]a2 , b2 [×]A2 , B2 [ sont disjoints.
Un compact K de R2 est quarrable si, pour tout η > 0, il existe deux familles
finies de pavés quasi-disjoints deux à deux (∆i )ni=1 et (∆0j )m
j=1 telles que






n
[
∆i ⊂ K ⊂
i=1
m
X



Aire(∆0j )


j=1
−
n
X
m
[
∆0j
j=1
Aire(∆i ) < η
i=1
Figure 2 – Un compact quarrable
Dans l’exemple de la figure 2, on a représenté deux fois le même compact K. A gauche,
il est rempli « par l’intérieur » par la famille des ∆i . À droite, il est contenu « au plus
près » dans la réunion des ∆0j . La définition 5 exige donc que ceci soit possible quelle que
4
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Intégrales multiples
soit la précision η exigée, celle-ci servant à majorer la différence d’aire des deux familles
de pavés.
Remarques
1. Il existe des algorithmes permettant de construire de telles familles de pavés. Ils
sont utilisés dans les techniques de traitement d’image par ordinateur.
2. Il est assez difficile de présenter simplement un exemple de compact non quarrable. De tels exemples sont en général de nature fractale. En conséquence, cette
définition est de nature technique et sert principalement à définir l’intégrale, son
usage pratique étant limité.
3. Il s’agit d’une notion ayant trait à la « théorie de la mesure ». Dans le cadre de
cette théorie, un tel compact est également dit « mesurable ». Cette notion est
en fait subordonnée à un choix. On retrouvera ces phénomènes en théorie des
probabilités (chapitre 12).
Théorème 3
Soit f une fonction continue et bornée sur un ouvert Ω de R2 et K un compact
quarrable inclus dans Ω. Alors il existe un unique réel I tel que, pour tout ε > 0, il
existe η > 0 tel que pour toutes familles de pavés quasi-disjoints (∆i )ni=1 et (∆0j )m
j=1
vérifiant les conditions de la définition 5, on ait
I−
n ZZ
X
i=1
f (x, y) dx dy < ε.
∆i
Ce réel I s’appelle l’intégrale de f sur K et se note
ZZ
f (x, y) dx dy.
K
En un certain sens, l’intégrale de f sur K apparaît comme limite d’intégrales de f sur
des pavés remplissant K. La démonstration du théorème consiste donc en l’établissement
de l’existence de cette limite (en construisant des suites de Cauchy) et en montrant qu’elle
est indépendante des familles de pavés utilisées pour la construire.
1.3
Théorème de Fubini
Soient a, b ∈ R deux réels tels que a < b, ϕ1 et ϕ2 deux fonctions réelles définies et
continues sur [a, b] telles que
∀x ∈ [a, b],
ϕ1 (x) 6 ϕ2 (x).
On pose
n
D = (x, y) ∈ R2 ,
o
a 6 x 6 b et ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x)
(cf. figure 3).
Soit f : D −−−→ R une fonction continue.
5
Chapitre 2
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y
y=φ2(x)
D
a
b
y=φ1(x)
x
Figure 3 – Un domaine de R2 propice à l’utilisation du théorème de Fubini
Théorème 4 (Fubini)
Avec les notation précédentes, on a
ZZ
f (x, y) dx dy =
D
Z b "Z ϕ2 (x)
a
#
f (x, y) dy dx
ϕ1 (x)
♠ Proposer un énoncé similaire dans le cas d’un compact D permettant d’abord
une intégration par rapport à x.
Lorsque ϕ1 et ϕ2 sont des constantes (i.e. si D est un pavé) et lorsque f s’écrit comme
produit d’une fonction de x et d’une fonction de y, on a alors le corollaire suivant.
Corollaire 5
Etant donnés un pavé ∆ = [a, b] × [A, B], une fonction F continue sur [a, b] et une
fonction G continue sur [A, B], on a
ZZ
F (x)G(y) dx dy =
Z b
! Z
B
F (x) dx
a
∆
!
G(y) dy
A
♠ Démontrer ce corollaire à partir du théorème de Fubini.
1.4
Interprétations et applications
L’aire d’un domaine quarrable D est, par définition,
Lorsque f est une fonction positive,
ZZ
dx dy.
D
ZZ
f (x, y) dx dy représente le volume de la portion
D
d’espace délimitée par le plan (xOy), les droites verticales s’appuyant sur la frontière de
D (appelées génératrices) et la surface d’équation cartésienne z = f (x, y) (cf. figure 4).
♠ Qu’est-ce que le volume d’un cylindre dont la base est un compact D et la
hauteur h ?
6
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z
Intégrales multiples
Surface d'équation z=f(x,y) pour
(x,y)2D (contour apparent)
Génératrices
0
y
D
x
Figure 4 – Interprétation graphique de l’intégrale double
Si une fonction positive ρ représente la masse volumique d’une plaque P, alors la masse
de la plaque P est
M=
ZZ
ρ(x, y) dx dy
P
et son centre de gravité G a pour coordonnées
1 ZZ
x ρ(x, y) dx dy
M ZZP

1

 yG =
y ρ(x, y) dx dy.
M P



 xG
=
On peut interpréter ces formules en considérant que l’abscisse (resp. ordonnée) de G est
la « moyenne » des abscisses (resp. ordonnées) des points de la plaque, moyenne pondérée
par la masse volumique ρ.
Plus généralement, la moyenne d’une fonction f sur un domaine D (d’aire non nulle),
pondérée par une fonction positive ρ est
1
mD (f ) = ZZ
ZZ
f (x, y) ρ(x, y) dx dy.
D
ρ(x, y) dx dy
D
1.5
Changements de variables
Soient D un compact quarrable et f : D −−−→ R une fonction continue. Dans le cadre
de la théorie de la mesure, le théorème suivant est parfois appelé théorème de transfert.
Théorème 6 (Changement de variables)
◦
◦
Soit ϕ : ∆ −−−→ D une bijection réalisant un C 1 -difféomorphisme de ∆ sur D. Alors
ZZ
f (x, y) dx dy =
D
ZZ
∆
f ◦ ϕ(u, v) Jϕ (u, v) du dv
où Jϕ (u, v) désigne le jacobien de ϕ.
7
Chapitre 2
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y
φ
~
D
v
Δ
x
u
f
Ñ
Figure 5 – Schéma d’un changement de variable pour une intégrale double
◦
La notation ∆ désigne l’intérieur de ∆, c’est-à-dire le plus grand ouvert contenu dans
∆. Le théorème permet donc à la bijection ϕ de ne pas être différentiable en « quelques »
points situés sur la frontière du domaine ∆.
Exemple 6 (Coordonnées polaires)
L’exemple suivant est l’un des changements de variables les plus classiques. Il consiste
à représenter les points du plan (identifié à R2 via le choix d’un repère orthonormé)
sous forme polaire, selon les formules bien connues suivantes (où (x, y) désigne les
coordonnées cartésiennes d’un point et (r, θ) ses coordonnées polaires) :
y
(
x = r cos θ
y = r sin θ
M
r
θ
O
x
La fonction ϕ qui à (r, θ) ∈ R+ × [0, 2π] associe (x, y) vérifie bien les hypothèses du
théorème 6 et on a
∂x
(r, θ)
∂r
Jϕ (r, θ) = ∂y
(r, θ)
∂r
∂x
(r, θ)
cos θ −r sin θ
∂θ
=
=r
∂y
sin θ r cos θ
(r, θ)
∂θ
avec ϕ(R+ × [0, 2π]) = R2 .
Comme on peut le constater, cette fonction ϕ n’est pas un C 1 -difféomorphisme de
R+ × [0, 2π] sur R2 (elle n’est pas bijective), mais réalise un C 1 -difféormorphisme,
lorsque restreinte à R∗+ ×]0, 2π[, de cet ensemble sur R2 \ (R+ × {0}). La demi-droite
R+ × {0} est parfois appelée coupure et, quitte à modifier l’intervalle de variation de
θ, peut être remplacée par n’importe quelle demi-droite issue de l’origine. L’origine est
appelée pôle. Vis-à-vis du calcul intégral, la suppression de cette coupure ne change
rien (elle est de « mesure nulle »).
Prenons l’exemple de l’intégrale suivante à calculer (où R > 0) :
I=
ZZ
e−(x
D
8
2 +y 2 )
dx dy
où D = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 6 R2 }
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Intégrales multiples
Par la transformation polaire, le disque D (centre 0 et rayon R) se transforme en le pavé
∆ = [0, R] × [0, 2π] et on a, par le théorème 6, en remarquant que x2 + y 2 = r2 :
I=
ZZ
2
r e−r dr dθ.
∆
On se retrouve dans la situation du corollaire 5, et l’on obtient :
I=
Z R
−r2
re
! Z
2π
dr
0
0
1 2
dθ = 2π − e−r
2
R
2
= π(1 − e−R ).
0
Bien sûr, le choix de passer en coordonnées polaires se justifie par la forme particulière du domaine d’intégration et/ou de la fonction à intégrer. Pour la transformation du
domaine d’intégration, on prendra bien soin de ne pas oublier les restrictions inhérentes
au passage en polaire (r > 0 et 0 < θ < 2π) avant de procéder à la transformation du
domaine proprement dite (conditions sur (x, y) à traduire en conditions sur (r, θ)).
♠ Expliciter le passage de (x, y) à (r, θ).
2
Intégrales triples
Les définitions et résultats donnés dans le cas des intégrales doubles s’étendent sans
difficulté à la dimension 3 (et même au-delà). On laisse au lecteur le soin de refaire ces
constructions. On ne mentionne ici qu’un résumé des résultats les plus utiles en pratique.
Soient K un compact quarrable de R2 , ϕ1 et ϕ2 deux fonctions réelles définies sur K
telles que
∀(x, y) ∈ K, ϕ1 (x, y) 6 ϕ2 (x, y).
On pose
n
D = (x, y, z) ∈ R3 , tq
o
(x, y) ∈ K, ϕ1 (x, y) 6 z 6 ϕ2 (x, y)
(cf. figure 6). Enfin, soit f : D −−−→ R une fonction continue.
z
z=φ2(x,y)
D
z=φ1(x,y)
0
y
K
x
Figure 6 – Un domaine de R3 propice à l’utilisation du théorème de Fubini
9
Chapitre 2
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Théorème 7 (Fubini)
Avec ces notations,
ZZZ
"Z
ϕ2 (x,y)
ZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
D
K
#
f (x, y, z) dz dx dy
ϕ1 (x,y)
En appliquant le théorème 7 dans le cas où ϕ1 et ϕ2 sont des fonctions constantes sur
K (D est alors un cylindre de base K) et où f est le produit d’une fonction continue sur
la base par une fonction continue sur une génératrice (i.e. f (x, y, z) = F (x, y)G(z) avec
F continue sur K et G continue sur [ϕ1 , ϕ2 ]), on obtient le corollaire suivant.
Corollaire 8
Sous ces hypothèses,
Z ϕ2
ZZ
ZZZ
F (x, y)G(z) dx dy dz =
F (x, y) dx dy
D
G(z) dz .
ϕ1
K
Théorème 9 (Changement de variables)
Soient D un compact quarrable de R3 , f : D −−−→ R une fonction continue et ϕ :
◦
◦
∆ −−−→ D une bijection qui réalise un C 1 -difféomorphisme de ∆ sur D. Alors
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
ZZZ
D
∆
f ◦ ϕ(u, v, w) Jϕ (u, v, w) du dv dw
z
w
D
x
φ
~
Δ
u
y
v
f
ℝ
Figure 7 – Schéma général d’un changement de variables dans une intégrale triple
Exemple 7 (Coordonnées cylindriques)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé et les points repérés par leurs coordonnées cylindriques (relativement à l’axe (Oz)) (r, θ, z) selon les formules
ϕ
R3 \ {(0, 0, z), z ∈ R} ←−−− R∗+ × [0, 2π[×R
(x, y, z) ←−−−− (r, θ, z)
10


x


= r cos θ
y = r sin θ



z=z
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Intégrales multiples
Le jacobien de cette transformation donne :
∂x
(r, θ, z)
∂r
∂y
Jϕ (r, θ, z) =
(r, θ, z)
∂r
∂z
(r, θ, z)
∂r
∂x
(r, θ, z)
∂θ
∂y
(r, θ, z)
∂θ
∂z
(r, θ, z)
∂θ
∂x
(r, θ, z)
∂z
cos θ −r sin θ 0
∂y
(r, θ, z) = sin θ r cos θ 0 = r.
∂z
0
0
1
∂z
(r, θ, z)
∂z
z
z
M
r
M
r
y
x
θ
Coordonnées
cylindriques
y
φ
x
θ
Coordonnées
sphériques
Figure 8 – Illustration des coordonnées cylindriques et sphériques
♠ Pourquoi a-t-on choisi ces terminologies : coordonnées «cartésiennes», «polaires», «cylindriques», «sphériques» ?
Exemple 8 (Coordonnées sphériques)
On considère la transformation suivante :
ψ
i
R3 \ {(0, 0, z), z ∈ R} ←−−− R∗+ × [0, 2π[× − π2 , π2
(x, y, z) ←−−−− (r, θ, ϕ)
Alors
h


x

= r cos ϕ cos θ
y = r cos ϕ sin θ



z = r sin ϕ
cos ϕ cos θ −r cos ϕ sin θ −r sin ϕ cos θ
Jψ (r, ϕ, θ) = cos ϕ sin θ r cos ϕ cos θ −r sin ϕ sin θ
sin ϕ
0
r cos ϕ
soit, en factorisant r dans les deux dernières colonnes et cos ϕ dans la seconde colonne,
puis en développant par rapport à la troisième ligne :
cos ϕ cos θ − sin θ − sin ϕ cos θ
Jψ (r, ϕ, θ) = r cos ϕ cos ϕ sin θ cos θ − sin ϕ sin θ
sin ϕ
0
cos ϕ
2
h
= r2 cos ϕ sin ϕ(sin ϕ sin2 θ + sin ϕ cos2 θ) + cos ϕ(cos ϕ cos2 θ + cos ϕ sin2 θ)
= r2 cos ϕ[sin2 ϕ + cos2 ϕ] = r2 cos ϕ.
11
i
Chapitre 2
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♠ Quels sont les noms des angles θ et ϕ ?
♠ Exprimer les formules dans le cas où ϕ est l’angle mesuré entre la demi-droite
[Oz) et la demi-droite [OM ). Comment s’appelle alors cet angle ? Que devient
le jacobien de ce changement de variables ?
♠ Comment définit-on le volume d’un compact quarrable de R3 ?
♠ Montrer que le volume d’une boule de rayon R de R3 est donné par la formule
bien connue
4
V = πR3 .
3
3
Méthodes numériques
On ne donne ici qu’un aperçu des méthodes numériques d’intégration, essentiellement
dans le cas des intégrales simples. Soient f : [a, b] −−−→ R une fonction continue et
a = a0 < a1 < · · · < an = b
une subdivision de l’intervalle [a, b]. On définit le pas de la subdivision comme
h=
max
i∈{0,...,n−1}
(ai+1 − ai ).
Lorsque, pour tout i, on a ai+1 − ai = n1 , la subdivision est dite régulière.
Définition 9
On appelle somme de Riemann associée à f et à la subdivision a = a0 < a1 <
· · · < an = b toute somme du type
S=
n−1
X
(ai+1 − ai )f (xi )
i=0
où la famille (xi )n−1
i=0 est telle que pour tout i, xi ∈ [ai , ai+1 ].
y
0
a
ai xi ai+1
b x
Figure 9 – Illustration d’une somme de Riemann
12
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Intégrales multiples
Théorème 10
Les sommes de Riemann associées à f convergent vers ab f (x) dx lorsque le pas de la
subdivision tend vers 0. Plus précisément, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour
toute subdivision de [a, b] de pas inférieur à η et toute somme de Riemann S associée
à f et à cette subdivision, on a
R
Z b
−
f (x) dx
S < ε.
a
On va tenter d’estimer l’erreur commise en approchant l’intégrale de f sur [a, b] par
une somme de Riemann, sous l’hypothèse supplémentaire que f est de classe C 1 . On a,
pour une somme de Riemann fixée (en reprenant les notations précédentes) :
Z ai+1
ai
Z ai+1
f (x) dx − (ai+1 − ai )f (xi ) =
ai
[f (x) − f (xi )] dx 6
Z ai+1
ai
|f (x) − f (xi )| dx
avec, pour x ∈ [ai , ai+1 ], d’après l’inégalité des accroissements finis :
|f (x) − f (xi )| 6 sup |f 0 | |xi − x|
[ai ,ai+1 ]
On peut donc minimiser l’erreur commise sur le sous-intervalle [ai , ai+1 ] en minimisant
la distance |xi − x| pour tout x variant dans cet intervalle. Cela consiste donc à prendre
pour xi le milieu de l’intervalle : xi = 12 (ai + ai+1 ). Ainsi, on aura toujours |xi − x| 6
1
(a − ai ) 6 12 h. On en tire, en remarquant également que sup[ai ,ai+1 ] |f 0 | 6 sup[a,b] |f 0 | :
2 i+1
Z ai+1
ai
f (x) dx − (ai+1 − ai )f (xi ) 6
Z ai+1
ai
1
h
h2
h sup |f 0 | dx = sup |f 0 |(ai+1 −ai ) 6
sup |f 0 |
2 [a,b]
2 [a,b]
2 [a,b]
Ainsi, grâce à la relation de Chasles des intégrales et à l’inégalité triangulaire :
Z b
f (x) dx − S =
a
6
6
n−1
X Z ai+1
i=0
n−1
X
i=0
n−1
X
i=0
ai
Z ai+1
ai
f (x) dx − (ai+1 − ai )f (xi )
f (x) dx − (ai+1 − ai )f (xi )
h2
n h2
sup |f 0 | =
sup |f 0 |
2 [a,b]
2 [a,b]
En particulier, dans le cas où la subdivision est régulière (h = n1 ), on a
Z b
a
f (x) dx − S 6
1
sup |f 0 |.
2n [a,b]
C’est la méthode du point milieu, ou méthode des rectangles. Graphiquement, cela
consiste à approcher l’aire située sous la courbe représentative de f par l’aire de rectangles
13
Chapitre 2
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
de largeur tendant vers 0 et dont la hauteur est la valeur de f au milieu de l’intervalle de
la subdivision. L’ordre asymptotique de cette méthode est n1 .
La méthode des trapèzes consiste, elle, à approcher (le graphe de) la fonction par
(celui d’)une fonction affine par morceaux, coïncidant avec le f sur chaque point de la
subdivision (on montre facilement qu’une telle fonction affine par morceaux est définie de
manière unique).
Pour cette méthode, on pose donc
S=
n−1
X
i=0
f (ai ) + f (ai+1 )
(ai+1 − ai )
2
ce qui consiste à faire la « somme » des aires des trapèzes ainsi formés.
♠ Illustrer graphiquement cette méthode.
♠ Quelle est l’expression de la fonction affine par morceaux coïncidant avec f
aux points de la subdivision ?
Citons également la méthode de Simpson, qui consiste à approcher f par des arcs
de parabole sur chaque intervalle de la subdivision. La convergence de cette méthode est
plus rapide.
Ces méthodes numériques peuvent se généraliser au cas d’intégrales multiples, soit
grâce au théorème de Fubini, soit par approximation du domaine d’intégration par des
pavés (quadrature), cette dernière méthode permettant de généraliser directement la méthode des rectangles (cf. exemple 1).
4
Exercices
Les exercices 1 (A, B et D), 2 et 3 (A et B) sont à préparer.
Exercice 1 : Exemples d’intégrales doubles
Calculer les intégrales doubles suivantes :
A=
B=
ZZ
sin(x + y) cos(x − y) dx dy
ZZ∆
|x − y| dx dy
∆
où ∆ = {(x, y) ∈ R2 , 0 6 x 6 π, 0 6 y 6 π − x}
où ∆ = {(x, y) ∈ R2 , 0 6 x 6 a et 0 6 y 6 b} (a, b ∈ R∗+ )
(
)
x2 y 2
C=
2x(2x + y ) dx dy où ∆ = (x, y) ∈ R , 2 + 2 6 1 et x > 0
(a, b ∈ R∗+ )
a
b
∆
(
)
ZZ
2
y2
2 3
2 x
D=
x y dx dy où ∆ = (x, y) ∈ R , 2 + 2 6 1 et x > 0
(a, b ∈ R∗+ )
a
b
∆
ZZ
dx dy
E=
où ∆ = {(x, y) ∈ R2 , |x| 6 x2 + y 2 6 1}
2
2
2
∆ (1 + x + y )
"
#
ZZ
x3 + y 3
F =
exp
dx dy où ∆ = {(x, y) ∈ R2 , y 2 − 2px 6 0 et x2 − 2py 6 0} (p ∈ R∗+ )
xy
∆
Indication : poser x = u2 v et y = uv 2 .
ZZ
14
2
2
2
École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Intégrales multiples
Exercice 2 : Aires et volumes
1. Calculer l’aire du domaine de R2 délimité à gauche par le cercle de centre (0, 0) et de
rayon 2 et à droite par la parabole d’équation x = 14 y 2 − 1.
2. Calculer le volume du domaine suivant de R3 :
n
o
√
√
√
∆ = (x, y, z) ∈ R3+ , x + y + z 6 1 .
Exercice 3 : Exemples d’intégrales triples
Calculer les intégrales triples suivantes :
A=
B=
ZZZ
ZZZ∆
|x2 − y 2 | dx dy dz
où ∆ = {(x, y, z) ∈ R3 , x2 + y 2 6 z 2 et 0 6 z 6 1}
où ∆ = {(x, y, z) ∈ R3+ , x + y + z 6 1}
xyz(1 + x + y + z) dx dy dz
∆
Indication : poser x = u(1 − v), y = uv(1 − w), z = uvw.
ZZZ
dx dy dz
C=
où ∆ = {(x, y, z) ∈ R3+ , x + y + z 6 1}
∆ (1 + x + y + z)2
Exercice 4 : Une suite d’intégrales
Soit la fonction
f : R2 \ {(0, 0)} −−−→ R
x2 − y 2
(x, y) 7−−−→
(x2 + y 2 )2
1. La fonction f admet-elle une limite en (0, 0) ?
2. Pour tout n entier naturel non nul, calculer l’intégrale double
Jn =
ZZ
f (x, y) dx dy
∆n
où ∆n est le quart de couronne circulaire dans R2 délimité par les deux cercles de centre
1
et les deux droites d’équations y = x et y = −x.
(0, 0) et de rayons respectifs n1 et n+1
3. Quelle est la limite de la suite (Jn )n∈N∗ ?
Exercice 5
Pour tout h ∈ R+ , on considère l’intégrale
Ih =
ZZZ
∆h
dx dy dz
(1 + x2 z 2 )(1 + y 2 z 2 )
où ∆h = [0, 1] × [0, 1] × [0, h].
Calculer la limite de Ih lorsque h → +∞ et en déduire l’existence et la valeur de
lim
Z h
h→+∞ 0
Arctan t
t
!2
dt.
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Chapitre 2
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Exercice 6 : Centre de gravité
Déterminer la position du centre de gravité d’une demi-boule de rayon R dont la masse
volumique est proportionnelle à la distance au centre.
Exercice 7 : Masse et moment d’inertie
(
)
x2 y 2 z 2
On considère l’ellipsoïde E = (x, y, z) ∈ R , 2 + 2 + 2 6 1 où a, b, c ∈ R∗+ .
a
b
c
1. Calculer
s

ZZZ
2
2
2
x
y
z
I=
exp  2 + 2 + 2  dx dy dz.
a
b
c
E
3
2. E est en réalité un solide homogène de masse volumique 1. Déterminer sa masse.
3. Déterminer le moment d’inertie de E par rapport à l’axe (Oz).
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