RESISTANCE DES MATERIAUX Chapitre 1: Hypothèses de la résistance des matériaux Chapitre 2: Caractéristiques géométriques des sections planes Chapitre 3: Notions de contrainte Chapitres 4 : Sollicitations simples Références bibliographiques : Titre : Bases pour la résistance des matériaux Auteurs : Roland Cravero Editeurs : Ellipses Cote : 620.17 CRA Année de publication : 1997 Titre : Exercices pour la résistance des matériaux Auteurs : Roland Cravero Editeurs : Ellipses Cote : 620.17 CRA Année de publication : 1998 Titre : Formulaire de résistance des matériaux Auteurs : Youde Xiong Editeurs : Eyrolles Cote : 620.17 XIO Année de publication : 2002 Titre : Résistance des matériaux Auteurs : Guy Caignaert & Marcel Kerguignas Editeurs : Dunod Cote : 539.41 KER Année de publication : 1977 RDM- Page 1 Chapitre 1 : Hypothèses de la résistance des matériaux Domaine d’application Génie civil, Génie mécanique, Robotique… RDM- Page 2 1 Objectifs: La résistance des matériaux est la science du dimensionnement. Son but est de déterminer : les formes, les dimensions le chargement les matériaux des pièces mécaniques et des constructions en général, afin qu'elles résistent sans dommage à tous les efforts auxquels elle seront soumises pendant leur service. Les dimensions déterminées doivent: Eviter la rupture de la pièce ou de la structure. Entraîner que des déformations élastiques (non permanentes). En respectant : Les conditions de sécurité (règlements), les règles d’économie, les règles de l’art 2 Hypothèses -Hypothèses sur les matériaux Le matériau est continu : le matériau ne contient pas de fissures ou discontinuité RDM- Page 3 Matériaux isotrope : Le matériau a les mêmes caractéristiques quelles que soient les directions autour du point considéré. Matériau homogène : Le matériau possède les mêmes propriétés quel que soit le point considéré. Le matériau est utilisé dans le domaine élastique (notion, voir suite) -Hypothèses la géométrie D M Figure 1: Domaine d’étude en équilibre sous l’action de force de surface et forces de volume Dans notre étude, nous nous intéressons à des formes spécifiques appelées poutres, barres ou arbre (barre en rotation). C’est des volumes engendrés par une surface plane S dont le centre de gravité décrit une courbe appelée ligne ou fibre moyenne en restant perpendiculaire à celle ci. RDM- Page 4 Ligne ou fibre moyenne S G Figure 1: Génération d’une poutre La longueur L de la barre est grande devant la dimension sa section droite de Le rayon de courbure R que prend la barre après déformation est grand devant la dimension de la section droite de la barre -Hypothèse de Bernoulli R Figure 2: Barre fléchie : Les sections restent planes et normales à la ligne moyenne RDM- Page 5 -Hypothèse de Saint Venant F F = f F = Figure 3 : Eprouvette en traction Le principe énonce que dans la zone bleu, loin de la charge concentrée, les tensions sont homogènes. 3 Chargements et appuis La poutre est soumise à un système de forces et repose sur des appuis. Types de force de contact: uniformément réparties, concentrées Force de volume ( par exemple : pesanteur) RDM- Page 6 Figure 4: Test de mobile P q Les appuis sont de trois type selon les actions de liaison Schéma de l’appui Appui simple: Action de liaison R2 perpendiculaire à l’axe de la barre. Le déplacement vertical est bloqué R2 RDM- Page 7 Appui double: Action de liaison R1 (selon l’axe de la barre) et R2( perpendiculaire à la barre). Les déplacements horizontal et vertical sont bloqués R2 R1 R2 M3 R1 RDM- Encastrement: Action de liaison R1 (selon l’axe de la barre) et R2( perpendiculaire à la barre) et souple M3. Les déplacements horizontal et vertical sont bloqués et la rotation de la section de la barre au niveau de l’encastrement est bloquée. Page 8 CHAPITRE 2 : Caractéristiques géométriques des sections planes Introduction Afin de faire apparaitre l’intérêt d’aborder les caractéristiques des sections droite de poutre, nous définissons la contrainte à travers le vecteur contrainte Considérons un domaine D soumis à un système de chargement de forces extérieures et sont des forces de surfaces Sont des forces de volume agissant en tout point M de D D M RDM- Page 9 Isolons D1, partie de D. D1 est en équilibre. Soit ∆ un élément de force agissant sur un l’élément de surface ∆S repéré par sa normale . ∆ ∆ D1 Le vecteur contrainte , agissant sur la facette dS de normale Considérons le cas plan Considérons le vecteur contrainte pour normale , = lim ∆ → , est défini par: ∆ ∆ agissant sur la facette dS de S ayant σ21 dS σ11 , G RDM- Page 10 Désignons par σ11 la projection de , sur : C’est la contrainte agissant dans la direction sur la facette de normale , c’est une contrainte normale Désignons par σ21 la projection de , sur : C’est la contrainte agissant dans la direction sur la facette de normale , c’est une contrainte tangentielle agissant sur la facette : Elément de force selon = Soit dM le Couple de dF par rapport au centre de gravité : = Pour toute la section S ! = = " ! ! D’après l’hypothèse de Bernoulli, nous pouvons supposer que la contrainte normale est une fonction linéaire de la coordonnée x2 σ11=b x2 où b est une constante Remplaçons dans M = " =" # ! ! ! =# " ! ! Définition : L’intégrale $ ! ! est une caractéristique géométrique appelée moment quadratique par rapport à l’axe % désigné par & % Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans le Système international en m4. RDM- Page 11 Ceci nous donne l’expression de la contrainte normale ' = #" = ! ! =# & % = #& % ( ! ! & % est une caractéristique géométrique de la section droite de la barre considérée. 2.1 Quelques notions de propriétés de surfaces planes 2.1.1 Moments statiques et moments quadratiques Moment statique d’une aire plane Définition : Le moment statique m∆ d’une aire plane S par rapport à l’axe ∆ est défini par : )∆ = " *+ RDM- Page 12 ∆ dS r O Par conséquent, le moment statique de l’aire S par rapport à ), = " + Et le moment statique de l’aire S par rapport à ), = " est défini par est défini par : + 2.1.2 Centre de gravité G de l’aire S Soit G le centre de gravité de l’aire S RDM- Page 13 ∆ G G rG G dS r O La distance rG du centre de gravité G de l’aire S à l’axe ∆ est obtenue par : *- = $ *+ = )∆ Les coordonnées x1G et x2G du centre de gravité sont obtenues par : - ), = - = ), Si l’aire S est subdivisée en surfaces simples Si (i=1,n) de centre de gravité Gi(x1Gi,, x2Gi) chacune, alors le centre de gravité G a pour coordonnées - = . / / -/ - = . / / -/ 2.1.3 Moments quadratiques ( ou moments d’inertie) Le moment quadratique (ou d’inertie) de la section S par rapport à l’axe D est défini par : RDM- Page 14 0∆ = " * + Par conséquent, le moment d’inertie de l’aire S par rapport à 0, = " est défini par : + est défini par : Et le moment d’inertie de l’aire S par rapport à 0, = " + Remarque : les moments d’inertie sont toujours positifs. 2.1.4 Rayon de giration Par définition le rayon de giration 1,2 (par rapport à un axe de référence ) est : 1,2 = 3 0, S est la surface de la barre considérée En introduisant le module de Young 40, 1,2 = 3 4 Ce paramètre est utilisé dans la notion de flambement en calculant ce que l’on appelé l’élancement de la barre λ défini par λ = /62 7 2.1.5 Produit d’inertie Le produit d’inertie I∆∆’ de l’aire S par rapport aux deux axes concourants ∆ et ∆’ est défini par RDM- Page 15 ∆’ ∆ dS r r’ O 0∆∆′ = " **′+ Par conséquent, le produit d’inertie de l’aire S par rapport à définis par : 0, , = " et est + Dans la suite du cours et dans la pratique, on utilise des axes orthonormés. Remarque : Dans le cas ou l’un des axes est axe de symétrie, de l’aire S, le produit d’inertie est nul, soit 0, , = 0 Définition: Dans le cas où le produit d’inertie est nul, on dit que les axes et sont des axes principaux d’inertie. Dans ce cas les moments d’inertie sont appelés moment d’inertie principaux. On notera dans ce cas: RDM- Page 16 Moments d’inertie principaux 0, = 0: = 0 , 0, = 0: = 0 , Direction principales d’inertie = ; = ; Dans le cas où les axes principaux passent par le centre de gravité, on dira que les axes principaux sont des axes centraux. Les moments d’inertie sont appelés alors moments d’inertie centraux. 2.1.6 Moment polaire r O Le moment polaire I0 de la section plane S par rapport à l’origine O est défini par : &< = " = ! RDM- = " > ! + ! !@ = & ! +& Page 17 2.1.7 Moment relatifs à des axes parallèles Considérons le cas où ∆ et ∆’ sont parallèles et que ∆ passe par le centre de gravité G. ′ ∆ x’1G ∆’ dS r G r’’ x’2G ′ O On se donne I∆, Ix1, Ix2 et Ix1x2, On se propose de déduire I∆’, Ix’1, Ix’2 et Ix’1x’2 à partir des données ci-dessus. Ecrivons, à partir des définitions des moments d’inertie, 0∆A = " * A + = " * A + *′′ + = " * A +B + " *′A + + " 2* A *′A + 0∆ = " * + " *′A + = *′A " + = *′A RDM- Page 18 " 2* A *′A + = 2* AA " *′+ = 2* AA )∆ = 0 0∆A = 0∆ + *′A On peut déduire donc : 0,A2 = 0,2 + 0,AD = 0,D + A A - - Le produit d’inertie, 0,A2,AD = " 0,A2,AD = " + + +" - + - + +" - - + + +" - - + A partir des définitions et conditions du cas présent, nous avons: " " + = 0, " - + = - + = " - " + = 0,A2 ,AD = 0, RDM- + = " - , , + - ), + = - - - ), =0 =0 - - Page 19 2.2Formules de changement de repères Moment quadratique principaux et direction principales d’inertie Soit donnés les moments d’inertie Ix1 et Ix2 et le produit d’inertie Ix1x2 de la section plane S rapportée au système d’axes et On se propose de déduire, à partir de ces données, les moments d’inertie et produit d’inertie de cette section rapportée au système d’axes ′ et ′ ′ ′ dS A A θ O Par définition, on a : RDM- 0,A = " A + 0,A = " A + Page 20 0,A ,A =" ′ ′ + Les coordonnées x’i sont déduites à partir de xi en utilisant les formules suivantes : E A A = cos I + = − sin I + Soit (P) la matrice définie par : L = M cos I sin I sin I ( cos I −sin I N cos I Nous pouvons écrire vectoriellement les relations de changement de repère: A Soit : = t(P) cos I O AP = M −sin I A sin I NM N cos I En reprenant les définitions et les formules de changement de repères, nous déduisons 0,A = $ 0,A = $ 0,A = $ 0,A ,A =$ sin I + + $ − sin I + cos I + − 2 $ 0,A = 0, cos I + 0, sin I − 20, 0,A = $ cos I + RDM- + = $ A A + = $ cos I + + $ cos I + sin I + + 2 $ 0,A = 0, sin I + 0, cos I + 20, ′ ′ + =$ , cos I + , cos I + = sin I cos I + sin I cos I sin I + = sin I cos I + sin I cos I sin I − sin I + Page 21 0,A ,A = " 0,A ,A − cos I sin I + + " = 0, − 0, cos I sin I + 0, cos I − sin θ dS cos I − sin θ , Les formules de changement de repère pour les moments et produit d’inertie sont résumées par les relations suivantes : 0,A = 0, cos I + 0, sin I − 20, 0,A ,A 0,A = 0, sin I + 0, cos I + 20, = 0, − 0, cos I sin I + 0, , , , sin I cos I sin I cos I cos I − sin θ Remarque : 0,A + 0,A = 0, + 0, Définissons la matrice (I) par : 0 = M 0, −0, , −0, 0, , N Les expressions ci-dessus peuvent être écrites sous forme matricielle en utilisant la matrice de (P) : (I’)=t(P) (I) (P) Soit : RDM- Page 22 0 M ,A −0,A ,A −0,A ,A N 0,A cos I = M −sin I sin I 0 NM , −0, cos I , −0, 0, , A partir de (I) symétrique, nous pouvons affirmer que : NM cos I sin I −sin I N cos I Il existe un système d’axes ;/ tel que (I) est diagonalisé. 0 = M 0 0 0 N 0 I1 et I2 sont les moments quadratiques principaux et ;/ sont les directions principales. I1 et I2 sont solution du polynôme caractéristique : Et ;/ sont telle que : RDM- 0 − 0/ T, −0, , −0, , T=0 0, − 0/ 0 ;/ = 0/ ;/ Page 23 Exemple 01 : Soit une barre de section droite en L représentée sur la figure ci dessous. 60 360 6 O 300 cm 1. On demande de trouver les moments d’inertie 0, , 0, et le produit d’inertie 0, , . 2. Calculer les moments d’inertie 0/ et directions principale d’inertie ;/ (i=1,2). Réponse : Moments et produit d’inertie : 0, = 0, , 0, 6 ∗ 36X 24 ∗ 6X + = 95040 \)] 3 3 30 ∗ 6X 6 ∗ 30X = + = 56160 \)] 3 3 = 6 ∗ 36 ∗ 18 + 6 ∗ 30 ∗ 3 ∗ 16 = 19440 \)] La matrice d’inertie (I) est donc RDM- Page 24 95040 −19440 0 = ` a −19440 56160 Moments d’inertie principaux : Ils sont solution du polynôme caractéristique bcd Où >0 ̿ @ est la matrice identité. T 0 − 0/ >0 ̿ @ = 0 95040 − 0/ −19440 −19440 T=0 56160 − 0/ Nous obtenons les moments d’inertie, solutions du polynôme caractéristique, 0 = 103092,3 \)] 0 = 48107,7 \)] Les directions principales ;/ sont telle que 0 . ;/ = 0/ ;/ RDM- Page 25
