Telechargé par maya DZ

RDM - Cour - Chapitre 1 et 2 5789

publicité
RESISTANCE DES MATERIAUX
Chapitre 1: Hypothèses de la résistance des matériaux
Chapitre 2: Caractéristiques géométriques des sections planes
Chapitre 3: Notions de contrainte
Chapitres 4 : Sollicitations simples
Références bibliographiques :
Titre : Bases pour la résistance des matériaux
Auteurs : Roland Cravero
Editeurs : Ellipses
Cote : 620.17 CRA
Année de publication : 1997
Titre : Exercices pour la résistance des matériaux
Auteurs : Roland Cravero
Editeurs : Ellipses
Cote : 620.17 CRA
Année de publication : 1998
Titre : Formulaire de résistance des matériaux
Auteurs : Youde Xiong
Editeurs : Eyrolles
Cote : 620.17 XIO
Année de publication : 2002
Titre : Résistance des matériaux
Auteurs : Guy Caignaert & Marcel Kerguignas
Editeurs : Dunod
Cote : 539.41 KER
Année de publication : 1977
RDM-
Page 1
Chapitre 1 : Hypothèses de la résistance des matériaux
Domaine d’application
Génie civil, Génie mécanique, Robotique…
RDM-
Page 2
1 Objectifs:
La résistance des matériaux est la science du dimensionnement.
Son but est de déterminer :
les formes, les dimensions
le chargement
les matériaux des pièces mécaniques et des constructions en général,
afin qu'elles résistent sans dommage à tous les efforts auxquels elle seront
soumises pendant leur service.
Les dimensions déterminées doivent:
Eviter la rupture de la pièce ou de la structure.
Entraîner que des déformations élastiques (non permanentes).
En respectant : Les conditions de sécurité (règlements), les règles d’économie,
les règles de l’art
2 Hypothèses
-Hypothèses sur les matériaux
Le matériau est continu : le matériau ne contient pas de fissures ou
discontinuité
RDM-
Page 3
Matériaux isotrope : Le matériau a les mêmes caractéristiques
quelles que soient les directions autour du point considéré.
Matériau homogène : Le matériau possède les mêmes
propriétés quel que soit le point considéré.
Le matériau est utilisé dans le domaine élastique (notion, voir
suite)
-Hypothèses la géométrie
D
M
Figure 1: Domaine d’étude en équilibre sous l’action de force de surface et
forces de volume
Dans notre étude, nous nous intéressons à des formes spécifiques appelées
poutres, barres ou arbre (barre en rotation).
C’est des volumes engendrés par une surface plane S dont le centre de gravité
décrit une courbe appelée ligne ou fibre moyenne en restant perpendiculaire à
celle ci.
RDM-
Page 4
Ligne ou fibre moyenne
S
G
Figure 1: Génération d’une poutre
La longueur L de la barre est grande devant la dimension sa section droite de
Le rayon de courbure R que prend la barre après déformation est grand
devant la dimension de la section droite de la barre
-Hypothèse de Bernoulli
R
Figure 2: Barre fléchie : Les sections restent planes et normales à la ligne
moyenne
RDM-
Page 5
-Hypothèse de Saint Venant
F
F
=
f
F
=
Figure 3 : Eprouvette en traction
Le principe énonce que dans la zone bleu, loin de la charge concentrée, les
tensions sont homogènes.
3 Chargements et appuis
La poutre est soumise à un système de forces et repose sur des appuis.
Types de force de contact: uniformément réparties, concentrées
Force de volume ( par exemple : pesanteur)
RDM-
Page 6
Figure 4: Test de mobile
P
q
Les appuis sont de trois type selon les actions de liaison
Schéma de l’appui
Appui simple: Action de liaison R2
perpendiculaire à l’axe de la barre.
Le déplacement vertical est bloqué
R2
RDM-
Page 7
Appui double: Action de liaison R1
(selon l’axe de la barre) et R2(
perpendiculaire à la barre). Les
déplacements horizontal et vertical
sont bloqués
R2
R1
R2
M3
R1
RDM-
Encastrement: Action de liaison R1
(selon l’axe de la barre) et R2(
perpendiculaire à la barre) et
souple M3. Les déplacements
horizontal et vertical sont bloqués
et la rotation de la section de la
barre au niveau de l’encastrement
est bloquée.
Page 8
CHAPITRE 2 : Caractéristiques géométriques des sections planes
Introduction
Afin de faire apparaitre l’intérêt d’aborder les caractéristiques des sections
droite de poutre, nous définissons la contrainte à travers le vecteur
contrainte
Considérons un domaine D soumis à un système de chargement de forces
extérieures
et
sont des forces de surfaces
Sont des forces de volume agissant en tout point M de D
D
M
RDM-
Page 9
Isolons D1, partie de D. D1 est en équilibre. Soit ∆ un élément de force
agissant sur un l’élément de surface ∆S repéré par sa normale .
∆
∆
D1
Le vecteur contrainte
,
agissant sur la facette dS de normale
Considérons le cas plan
Considérons le vecteur contrainte
pour normale
,
= lim
∆ →
,
est défini par:
∆
∆
agissant sur la facette dS de S ayant
σ21
dS
σ11
,
G
RDM-
Page 10
Désignons par σ11 la projection de
,
sur : C’est la contrainte agissant
dans la direction sur la facette de normale , c’est une contrainte normale
Désignons par σ21 la projection de
,
sur : C’est la contrainte agissant
dans la direction sur la facette de normale , c’est une contrainte
tangentielle
agissant sur la facette :
Elément de force selon
=
Soit dM le Couple de dF par rapport au centre de gravité :
=
Pour toute la section S
!
=
= "
!
!
D’après l’hypothèse de Bernoulli, nous pouvons supposer que la contrainte
normale est une fonction linéaire de la coordonnée x2
σ11=b x2
où b est une constante
Remplaçons dans M
= "
=" #
!
!
!
=# "
!
!
Définition :
L’intégrale $
!
!
est une caractéristique géométrique appelée moment
quadratique par rapport à l’axe
%
désigné par &
%
Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une
section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans
le Système international en m4.
RDM-
Page 11
Ceci nous donne l’expression de la contrainte normale
'
= #"
=
!
!
=#
&
%
= #& % (
!
!
& % est une caractéristique géométrique de la section droite de la barre
considérée.
2.1 Quelques notions de propriétés de surfaces planes
2.1.1 Moments statiques et moments quadratiques
Moment statique d’une aire plane
Définition : Le moment statique m∆ d’une aire plane S par rapport à l’axe ∆ est
défini par :
)∆ = " *+
RDM-
Page 12
∆
dS
r
O
Par conséquent, le moment statique de l’aire S par rapport à
), = "
+
Et le moment statique de l’aire S par rapport à
), = "
est défini par
est défini par :
+
2.1.2 Centre de gravité G de l’aire S
Soit G le centre de gravité de l’aire S
RDM-
Page 13
∆
G
G
rG
G
dS
r
O
La distance rG du centre de gravité G de l’aire S à l’axe ∆ est obtenue par :
*- =
$ *+
=
)∆
Les coordonnées x1G et x2G du centre de gravité sont obtenues par :
-
),
=
-
=
),
Si l’aire S est subdivisée en surfaces simples Si (i=1,n) de centre de gravité
Gi(x1Gi,, x2Gi) chacune, alors le centre de gravité G a pour coordonnées
-
= .
/
/
-/
-
= .
/
/
-/
2.1.3 Moments quadratiques ( ou moments d’inertie)
Le moment quadratique (ou d’inertie) de la section S par rapport à l’axe D est
défini par :
RDM-
Page 14
0∆ = " * +
Par conséquent, le moment d’inertie de l’aire S par rapport à
0, = "
est défini par :
+
est défini par :
Et le moment d’inertie de l’aire S par rapport à
0, = "
+
Remarque : les moments d’inertie sont toujours positifs.
2.1.4 Rayon de giration
Par définition le rayon de giration 1,2 (par rapport à un axe
de référence ) est :
1,2 = 3
0,
S est la surface de la barre considérée
En introduisant le module de Young
40,
1,2 = 3
4
Ce paramètre est utilisé dans la notion de flambement en calculant ce que l’on
appelé l’élancement de la barre λ défini par λ =
/62
7
2.1.5 Produit d’inertie
Le produit d’inertie I∆∆’ de l’aire S par rapport aux deux axes concourants ∆ et
∆’ est défini par
RDM-
Page 15
∆’
∆
dS
r
r’
O
0∆∆′ = " **′+
Par conséquent, le produit d’inertie de l’aire S par rapport à
définis par :
0,
,
= "
et
est
+
Dans la suite du cours et dans la pratique, on utilise des axes orthonormés.
Remarque : Dans le cas ou l’un des axes est axe de symétrie, de l’aire S, le
produit d’inertie est nul, soit
0,
,
= 0
Définition: Dans le cas où le produit d’inertie est nul, on dit que les axes
et
sont des axes principaux d’inertie. Dans ce cas les moments d’inertie sont
appelés moment d’inertie principaux.
On notera dans ce cas:
RDM-
Page 16
Moments d’inertie principaux
0, = 0: = 0 , 0, = 0: = 0 ,
Direction principales d’inertie
= ;
= ;
Dans le cas où les axes principaux passent par le centre de gravité, on dira que
les axes principaux sont des axes centraux. Les moments d’inertie sont appelés
alors moments d’inertie centraux.
2.1.6 Moment polaire
r
O
Le moment polaire I0 de la section plane S par rapport à l’origine O est défini
par :
&< = " = !
RDM-
= " >
!
+
!
!@
= &
!
+&
Page 17
2.1.7 Moment relatifs à des axes parallèles
Considérons le cas où ∆ et ∆’ sont parallèles et que ∆ passe par le centre de
gravité G.
′
∆
x’1G
∆’
dS
r
G
r’’
x’2G
′
O
On se donne I∆, Ix1, Ix2 et Ix1x2,
On se propose de déduire I∆’, Ix’1, Ix’2 et Ix’1x’2 à partir des données ci-dessus.
Ecrivons, à partir des définitions des moments d’inertie,
0∆A = " * A + = "
* A + *′′
+ = " * A +B + " *′A + + " 2* A *′A +
0∆ = " * +
" *′A + = *′A " + = *′A
RDM-
Page 18
" 2* A *′A + = 2* AA " *′+ = 2* AA )∆ = 0
0∆A = 0∆ + *′A
On peut déduire donc :
0,A2 = 0,2 +
0,AD = 0,D +
A
A
-
-
Le produit d’inertie,
0,A2,AD = "
0,A2,AD = "
+
+ +"
-
+
-
+ +"
-
-
+
+ +"
-
-
+
A partir des définitions et conditions du cas présent, nous avons:
"
"
+ = 0,
"
-
+ =
-
+ =
"
-
"
+ =
0,A2 ,AD = 0,
RDM-
+ =
"
-
,
,
+
- ),
+ =
-
-
- ),
=0
=0
-
-
Page 19
2.2Formules de changement de repères
Moment quadratique principaux et direction principales d’inertie
Soit donnés les moments d’inertie Ix1 et Ix2 et le produit d’inertie Ix1x2 de la
section plane S rapportée au système d’axes et
On se propose de déduire, à partir de ces données, les moments d’inertie et
produit d’inertie de cette section rapportée au système d’axes ′ et ′
′
′
dS
A
A
θ
O
Par définition, on a :
RDM-
0,A = "
A
+
0,A = "
A
+
Page 20
0,A
,A
="
′ ′ +
Les coordonnées x’i sont déduites à partir de xi en utilisant les formules
suivantes :
E
A
A
=
cos I +
= − sin I +
Soit (P) la matrice définie par :
L = M
cos I
sin I
sin I (
cos I
−sin I
N
cos I
Nous pouvons écrire vectoriellement les relations de changement de repère:
A
Soit :
= t(P)
cos I
O AP = M
−sin I
A
sin I
NM N
cos I
En reprenant les définitions et les formules de changement de repères, nous
déduisons
0,A = $
0,A = $
0,A = $
0,A
,A
=$
sin I + + $
− sin I +
cos I + − 2 $
0,A = 0, cos I + 0, sin I − 20,
0,A = $
cos I +
RDM-
+ = $
A
A
+ = $
cos I + + $
cos I +
sin I + + 2 $
0,A = 0, sin I + 0, cos I + 20,
′ ′ + =$
,
cos I +
,
cos I
+ =
sin I cos I +
sin I cos I
sin I
+ =
sin I cos I +
sin I cos I
sin I
−
sin I +
Page 21
0,A
,A
= "
0,A
,A
−
cos I sin I + + "
= 0, − 0,
cos I sin I + 0,
cos I − sin θ dS
cos I − sin θ
,
Les formules de changement de repère pour les moments et produit d’inertie
sont résumées par les relations suivantes :
0,A = 0, cos I + 0, sin I − 20,
0,A
,A
0,A = 0, sin I + 0, cos I + 20,
= 0, − 0,
cos I sin I + 0,
,
,
,
sin I cos I
sin I cos I
cos I − sin θ
Remarque :
0,A + 0,A = 0, + 0,
Définissons la matrice (I) par :
0 = M
0,
−0,
,
−0,
0,
,
N
Les expressions ci-dessus peuvent être écrites sous forme matricielle en
utilisant la matrice de (P) :
(I’)=t(P) (I) (P)
Soit :
RDM-
Page 22
0
M ,A
−0,A ,A
−0,A ,A
N
0,A
cos I
= M
−sin I
sin I
0
NM ,
−0,
cos I
,
−0,
0,
,
A partir de (I) symétrique, nous pouvons affirmer que :
NM
cos I
sin I
−sin I
N
cos I
Il existe un système d’axes ;/ tel que (I) est diagonalisé.
0 = M
0
0
0
N
0
I1 et I2 sont les moments quadratiques principaux et ;/ sont les directions
principales.
I1 et I2 sont solution du polynôme caractéristique :
Et ;/ sont telle que :
RDM-
0 − 0/
T,
−0, ,
−0, ,
T=0
0, − 0/
0 ;/ = 0/ ;/
Page 23
Exemple 01 :
Soit une barre de section droite en L représentée sur la figure ci dessous.
60
360
6
O
300 cm
1. On demande de trouver les moments d’inertie 0, , 0, et le produit
d’inertie 0, , .
2. Calculer les moments d’inertie 0/ et directions principale d’inertie ;/
(i=1,2).
Réponse :
Moments et produit d’inertie :
0, =
0,
,
0,
6 ∗ 36X 24 ∗ 6X
+
= 95040 \)]
3
3
30 ∗ 6X 6 ∗ 30X
=
+
= 56160 \)]
3
3
= 6 ∗ 36 ∗ 18 + 6 ∗ 30 ∗ 3 ∗ 16 = 19440 \)]
La matrice d’inertie (I) est donc
RDM-
Page 24
95040 −19440
0 = `
a
−19440 56160
Moments d’inertie principaux :
Ils sont solution du polynôme caractéristique
bcd
Où >0 ̿ @ est la matrice identité.
T
0 − 0/ >0 ̿ @ = 0
95040 − 0/
−19440
−19440
T=0
56160 − 0/
Nous obtenons les moments d’inertie, solutions du polynôme caractéristique,
0 = 103092,3 \)]
0 = 48107,7 \)]
Les directions principales ;/ sont telle que
0 . ;/ = 0/ ;/
RDM-
Page 25
Téléchargement
Random flashcards
amour

4 Cartes mariam kasouh

Commune de paris

0 Cartes Edune

Anatomie membre inf

0 Cartes Axelle Bailleau

Fonction exponentielle.

3 Cartes axlb48

Créer des cartes mémoire