cc analyse

Université Abdel Malek Essaadi 2017-8 / 1439 
École Nationale des Sciences Appliquées
de Tanger. 1ère année -AP1- 2e sem.
”I think it’s rarely about what you actually learn in class,
it’s mostly about things that you stay motivated to go and continue
to do on your own.” Maryam Mirzakhani 1977-2017.
2nd contrôle continu analyse durée : 1h35
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Nom : ...................................... Prénom : ...................................... Lieu : .......................
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exercice 1.
Pour quelles valeurs réelles de α, l’intégrale suivante est convergente
∫+∞
0
xαe−xdx
.......................................... α > −1............................................
exercice 2.
Pour quelles conditions sur les valeurs réelles aet b, l’intégrale suivante (de Bertrand)
est-elle convergente :
∫+∞
2
dx
xa(log x)b
................................... a > 1ou (a= 1 et b > 1) ...........................
exercice 3.
Pour quelles valeurs réelles de a, l’intégrale suivante est-elle convergente :
∫
π
2
0
(tg x)adx
......................................... −1< a < 1.....................................................
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Université Abdel Malek Essaadi 2016-7 / 1438 
exercice 4.
Pour quelles valeurs de α∈R, l’intégrale ∫+∞
0
dt
tαest-elle convergente ?
....................... Aucune, cette intégrale est divergente. ..........................
exercice 5.
Soit t7→ M(t)une courbe paramétrée plane, indéniment dérivable. Soit (comme vu
dans le cours) ple plus petit entier >0tel que ⃗ M(p)(t0)̸=⃗ 0et qle plus petit entier > p tel
que ⃗ M(q)(t0)∦⃗ M(p)(t0).
Dans le cas où le point M(t0)est un point de rebroussement de 2ème espèce, quelle est la
parité de pet q:
ppair, q impair pimpair, q impair ppair, q pair pimpair, q pair
exercice 6.
Résoudre sur R+∗l’équation diérentielle suivante :
y′log x+ 2xy2−y
x= 0
(indication : Poser y=zlog x)
y=log x
x2+C.........................................................................
exercice 7. Soit sur R∗
+l’équation diérentielle suivante : x2y′′ −3xy′+ 4y= 0
1) De manière générale, si on pose t=φ(x),y(x)devient une fonction Y(t). Donner y′
et y′′ en fonction des dérivées de Yet φ
y′=φ′Y′...................................................
y′′ =φ′′ Y′+φ′2Y′′ ...............................
2) Chercher la fonction φ(x) = ttelle l’équation exprimée en Ysoit à coecients constants :
φ(x) = log x............................................................
3) Donner sans la résoudre l’équation diérentielle en Y:
........... Y′′ −4Y′+ 4Y= 0................
§
bonne chance Page 2 /2