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cc analyse

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2017-8 / 1439 ‫هـ‬
Université Abdel Malek Essaadi
École Nationale des Sciences Appliquées
de Tanger. 1ère année -AP1- 2e sem.
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akhani 1977-2
Maryam Mirz
”
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ow
ur
yo
to do on
2nd contrôle continu analyse
durée : 1h35
===================================================
Nom : ...................................... Prénom : ...................................... Lieu : .......................
===================================================
exercice 1.
Pour quelles valeurs réelles de α, l’intégrale suivante est convergente
∫ +∞
xα e−x dx
0
.......................................... α > −1
............................................
exercice 2.
Pour quelles conditions sur les valeurs réelles a et b, l’intégrale suivante (de Bertrand)
est-elle convergente :
∫ +∞
dx
a
x (log x)b
2
...................................
a > 1 ou (a = 1 et b > 1)
...........................
exercice 3.
Pour quelles valeurs réelles de a, l’intégrale suivante est-elle convergente :
∫ π
2
(tg x)a dx
0
.........................................
—
−1 < a < 1 .....................................................
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2016-7 / 1438 ‫ه‬
Université Abdel Malek Essaadi
exercice 4.
∫
Pour quelles valeurs de α ∈ R, l’intégrale
0
.......................
+∞
dt
tα
est-elle convergente ?
Aucune, cette intégrale est divergente.
..........................
exercice 5.
Soit t 7→ M (t) une courbe paramétrée plane, indéfiniment dérivable. Soit (comme vu
dans le cours) p le plus petit entier > 0 tel que M⃗(p) (t0 ) ̸= ⃗0 et q le plus petit entier > p tel
que M⃗(q) (t0 ) ∦ M⃗(p) (t0 ).
Dans le cas où le point M (t0 ) est un point de rebroussement de 2ème espèce, quelle est la
parité de p et q :
p pair, q impair
p impair, q impair
p pair, q pair
p impair, q pair
exercice 6.
Résoudre sur R+∗ l’équation différentielle suivante :
y
y ′ log x + 2xy 2 − = 0
x
(indication : Poser y = z log x )
y=
log x
x2 + C
exercice 7.
.........................................................................
Soit sur R∗+ l’équation différentielle suivante : x2 y ′′ − 3xy ′ + 4y = 0
1) De manière générale, si on pose t = φ(x),
et y ′′ en fonction des dérivées de Y et φ
y(x) devient une fonction Y (t). Donner y ′
y ′ = φ′ Y ′ ...................................................
y ′′ = φ′′ Y ′ + φ′ 2 Y ′′ ...............................
2) Chercher la fonction φ(x) = t telle l’équation exprimée en Y soit à coefficients constants :
φ(x) = log x ............................................................
3) Donner sans la résoudre l’équation différentielle en Y :
........... Y ′′ − 4Y ′ + 4Y = 0.
§
bonne chance
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...............
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