n un entier

Racine'nième'arithmétique'
!
€
a
!et!
€
b
!sont!des!nombres!strictement!positifs!;!
€
n
!un!entier!
€
≥2
!
!
I. Définition'
!
€
a
n
!est!le!nombre!positif!dont!la!puissance!
€
nième
!est!égale!à!
€
a
.!
Autrement!dit!:!
€
a
n
( )
n
=a
!ou!encore!:!
!
€
xn=a
x>0
 ⇔x=a
n
!
!
Remarque! 1!:! si!
€
n
! est! pair,! l’équation!
€
xn=a
! a! deux! solutions!
€
x= ± a
n
! (exemple!:!
€
x4=16 ⇔x= ±2
)! et! l’équation!
€
xn=−a
! n’a! pas! de! solution! (comme! par! exemple!
€
x4=−16
).!Autrement!dit!
€
−a
n
!n’existe!pas!si!
€
n
!est!pair.!
!
Remarque! 2!:! si!
€
n
! est! impair,! l’équation!
€
xn=a
! a! une! solution! unique! positive!
€
x=a
n
!
(exple!:!
€
x3=27 ⇔x=3
)! et! l’équation!
€
xn=−a
! a! une! solution! unique! négative!
€
x=−a
n=−a n
!(exple!:!
€
x3=−27 ⇔x=−3
).!Autrement!dit,!
€
−a
n=−a n
!si!
€
n
!est!impair.!
!
Remarque!3!:!si!
€
n=2
!on!écrit!
€
a
!au!lieu!de!
€
a
2
!
!
II. Ecriture'de'la'racine'nième'de'
€
a
'sous'forme'd’une'puissance'
1. Définition!de!
€
a
1
n
!
!
On!définit!
€
a
1
n
!en!supposant!que!cette!puissance!de!
€
a
!suit!les!mêmes!règles!de!calcul!que!
les!puissances!entières.!

Alors!
€
a
1
n
n
=a
.!Ainsi!
€
a
1
n
!vérifie!l’équation!
€
xn=a
.!
On!montre!que!
€
a
1
n
!est!égal!à!
€
a
n
!et!on!a!
€
an
( )
1
n=an
n=a
!
!
2. Propriétés!des!racines!nième!
!
€
0
n=0=0
1
n
!
€
1
n=1=1
1
n
!
€
an
n=a
n
( )
n
=a=an
( )
1
n=a
1
n
n
!
€
ab
n=a n×b n=ab
( )
1
n=a
1
n×b
1
n
!
€
a
b
n=a
n
b
n
! !
€
a
b
1
n
=a
1
n
b
1
n
!
et!aussi!(avec!
€
m≥2
)!:!
€
a
m
n=a
nm =a n
m
! !
€
a
1
m
1
n
=a
1
mn =a
1
n
1
m
!
!
(exple!:!
€
64
3=64
3=64 6=2
)!
!
3.
€
a−1
n=1
a
n=1
a
1
n
!
!
Exercice!:!écrire!l’expression!
€
53
( )
1
3×125
3
( )
−1
!sous!la!forme!d’une!seule!puissance.!
!