cours d'électricité générale EGIDE MASAMA

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Chap. I COURANT ET RESISTANCE ELECTRIQUE
I.1 Le courant électrique
Il est possible d’électriser un matériau conducteur par exemple, par
frottement en mettant ce conducteur en contact avec un autre, le second devient
à son tour électrisé, c’est-à-dire qu’il a acquis une certaine charge Q. Donc lors
du contact de ces 2 corps, les charges se sont déplacées de l’un vers l’autre.
On défini alors le courant électrique par :
i=
𝑑𝑄
𝑑𝑡
[A] Ampère
(I.1) où 1C = 1A .1s
I.2 Densité du courant électrique
La raison physique du courant électrique est le déplacement des charges
électriques c’est-à-dire l’existence d’une vitesse organisée de celles-ci.
⃗⃗⃗ = 𝑉
⃗ 𝑑𝑡
𝑑𝑙
s
⃗⃗⃗ = 𝑉
⃗ 𝑑𝑡 (I.2)
𝑑𝑙
ds → q
Supposons un fil conducteur de section S dans lequel se trouvent n
⃗.
porteurs de charge animés d’une vitesse 𝒗
⃗⃗⃗⃗𝒏 un élement infinitésimal de la surface, la quantité de charges
Soit 𝒅𝟐 𝑺
électriques qui traversent cette surface pendant le temps dt et celles contenues
dans un volume dν tel que :
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
𝑑3 Q = n q 𝑑3 ν (I.3) où 𝑑3 ν = 𝑑𝑙
𝑑2 𝑆
𝑑3 Q = n q ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠 avec ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 = 𝑣 dt on aura
𝑑3 Q = n q 𝑣 dt ⃗⃗⃗⃗
𝑑2 𝑆 (I.4)
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Il apparait qu’à cette expression un vecteur qui décrit les caractéristiques
du milieu conducteur qu’on appelle : densité du courant électrique.
𝐽=nq𝑣
I=
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
[A/ m2]
1
𝑑𝑡
I = ∬ 𝑗𝑑 2 S
∬ 𝑑3 𝑄 =
(I.5)
1
𝑑𝑡
∬ 𝑗⃗ 𝑑 2 𝑆 dt
(I.6)
On dit que le courant dans un conducteur est le flux de la densité à travers
la section du fil. Il peut y avoir plusieurs espèces chargées (électrons, ions,…) en
présence de façon générale, on défini la densité du courant locale comme :
∑
𝐽 = 𝛼 𝑛𝛼 𝑞𝛼 ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝛼
De façon particulière lorsqu’on a un ou stol composé d’électrons en mouvement
ou d’ions immobiles d’où : 𝑗 = −𝑛𝑒 𝑞𝑒 𝑣𝑒
I.3 Loi d’ohm microscopique ou locale
Dans la plus part des conducteurs, on observe une certaine
proportionnalité entre la densité du courant et le champ électrostatique local.
𝐽 = 𝛾 𝐸⃗
(I.7)
Avec :
 𝛾 : coefficient de proportionnalité appelé « conductivité » du milieu.
On défini également 𝜌 =
1
𝛾
qu’on appelle « résistivité » du milieu.
La conductivité est une grandeur locale positive et dépendant uniquement
des propriétés du milieu.
Exemple : 𝛾𝑐𝑢 = 58 106 siemens/mètre [S/m] (conducteur)
𝛾𝑣𝑒𝑟𝑟𝑒 = 10−11 [S/m] (isolant) 1S = 1𝛺−1 = ohm
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On peut conclure que les lignes de champs électrostatique sont également
les lignes de courant indiquant le chemin pris par le courant électrique puisque 𝛾
> 0, le courant s’écoule dans la direction des potentiels de croissants.
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑣
𝐹 = q 𝐸⃗ = m + k 𝑣 (I.8)
𝑑𝑡
Avec :
 𝐹 : force à la quelle est soumise la charge ;
 k 𝑣 : frottement par collision que rencontre la charge de masse m à la
⃗.
vitesse 𝑣
En régime permanent (stationnaire) on aura : − la charge q attiendra une
vitesse nulle.
Où 𝜇 =
𝑞
appelé « mobilité » des charges.
𝑘
q 𝐸⃗ = k 𝑣 → 𝑣 =
𝜏=
𝑚
𝑘
(I.9)
𝑞
𝑘
𝐸⃗ Cette vitesse est atteinte en temps caractéristique.
appelé « temps de relaxation »
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑞
𝑚 𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑣 = 𝐸⃗ ↔ 𝑣 = 𝜇𝐸⃗ - 𝜏 𝑑𝑡 (I.10)
𝑘
𝑘 𝑑𝑡
Exemple : la densité numérique (du cuivre) d’électrons (nombre
d’électrons dans un volume).
𝑛𝑐 = 8 1028 𝑚−3
𝜏=
𝛾𝑐𝑢 𝑚𝑒
𝑒 2 𝑛𝑐
= 2 10−14 sec. Temps de relaxation entre 2 collisions.
La distance maximale parcourue par les électrons pendant ce temps
dépend de leur vitesse réelle et vaut :
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉
𝑉𝑚𝑜𝑦 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑡ℎ
Avec :
 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑡ℎ : vitesse d’agitation thermique.
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⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
La distance maximale parcourue 𝑉
𝑉𝑚𝑜𝑦 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑡ℎ
𝑘𝑇
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑡ℎ = √
𝑚𝑒
Où T : température ambiante, et pour le cuivre ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑡ℎ est égale à 105 m/s la
température ambiante.
𝑉𝑚𝑜𝑦
Exemple : pour un fil de cuivre de section égale à 1mm2 J = 106A/m2 et
est égale à 0,007 m/s.
On appelle « libre parcourt moyen » la distance maximale parcourue par
les électrons pendant le temps de relaxation 𝜏.
𝑙 = 𝜏 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑡ℎ
(I.11)
Pour le cuivre l = 𝑉𝑡ℎ 𝜏 = 2 10−9 m, 𝑙𝑐𝑢 > à la distance interatomique.
Notons que ce ne sont pas les collisions avec les ions qui sont la cause de la loi
d’ohm.
I.3.1 Loi d’ohm macroscopique : résistance d’un conducteur
Considérons une portion AB d’un conducteur parcourue par un courant I.
B
I
A
U = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = ∫ 𝐸⃗ dl
On défini par résistance d’un conducteur AB la relation :
R=
𝑈
𝐼
=
∫ 𝐸⃗ 𝑑𝑙
∬ 𝛾 𝐸⃗ 𝑑2 𝑆
𝐵
R=
∫𝐴 𝐸 𝑑𝑙
∬𝑆 𝛾𝐸⃗ 𝑑2 𝑆
[Ω] (I.12)
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Dans le cas simple d’un conducteur filiforme de longueur L et de section
S on aura :
R=
1𝐿
𝛾𝑆
R=𝜌
𝐿
𝑆
qui est le lieu entre la résistance d’un conducteur (loi d’ohm
macroscopique) et la résistivité (loi d’ohm microscopique)
𝜌=
𝑅𝑆
𝑅
𝜌
=
𝐿
𝑆
[𝛺𝑚]
𝐿
I.3.2 Association des résistances
a) En série
Soient n résistances 𝑅𝑖 mises bout à bout dans un circuit et parcourues par
un courant I.
U = 𝑉𝑜 + 𝑉𝑛 = (𝑉𝑜 + 𝑉1 ) + (𝑉1 + 𝑉2 ) + (𝑉2 + 𝑉3 ) + ⋯ + (𝑉𝑛−1 + 𝑉𝑛 )
= 𝑅1 𝐼 + 𝑅2 𝐼 + 𝑅3 𝐼 + ⋯ + 𝑅𝑛 𝐼
= (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + ⋯ + 𝑅𝑛 )𝐼
U = ∑𝑛𝑖=1 𝑅𝑖 𝐼 = R I (I.13) où ∑𝑛𝑖=1 𝑅𝑖 = R
V0
R1
V1
R2
V2
R3
V3
⋯
Rn
Vn
≡
vO
R
vn
Lorsqu’on associe n résistances en série, la résistance équivalente est la
somme des résistances.
b) En parallèle
Soient n résistance Ri mises en parallèle sous une tension 𝑈 = 𝑉1 − 𝑉2 ,
alimentées par un courant I.
𝑈 = 𝑉1 − 𝑉2 , 𝐼 = ∑𝑛𝑖=1 𝐼𝑖
𝐼=
𝑉1 −𝑉2
𝑅𝑖
=
𝑈
𝑅𝑖
= ∑𝑛𝑖=1
𝑈
𝑅𝑖
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U = U ∑𝑛
𝑖=1
1
𝑅𝑖
(I.14)
I
I1
R1
I2
I3
In-1
R2
R3
Rn-1
In
Rn
I
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Chap. II ELEMENT D’UN CIRCUIT ELECTRIQUE
II.1 Notion de circuit électrique
II.1.1 Quelques définitions
 Un circuit électrique est constitué d’un ensemble des dispositifs
appelés « dipôles reliés entre eux par un fil conducteur et formant ainsi
une structure fermée.
 Un nœud d’un circuit est une interconnexion où arrivent 3 fils ou plus.
 Une branche est un tronçon de circuit située entre deux nœuds.
 Une maille est un ensemble de branches formant une boucle fermée.
 Un dipôle s’insère dans un circuit par l’intermédiaire de 2 pôles, l’un par
où s’effectue l’entrée du courant (positif) et l’autre la sortie (négatif), il
est caractérisé par sa réponse à une différence de potentiel U c’est-à-dire
la courbe I = f(𝑈).
 Un dipôle passif a une courbe passant par l’origine.
 Un dipôle actif fourni un courant (positif ou négatif) même en l’absence
de la tension.
 On appelle dipôle linéaire tout dipôle dont la courbe caractéristique est
une droite.
Dans tout conducteur, la présence d’une résistivité entraine une chute de
tension (conséquence de la loi d’ohm) mais ceci étant mis en série avec les
dipôles, ou néglige en général la résistance des fils devant celles des dipôles.
Donc les fils situés entre 2 dipôles seront supposés équipotentiel.
II.1.2 Remarque
 Dans ce qui suit, on supposera que le courant est établi de façon
permanente dans un circuit c’est-à-dire que l’intensité est la même en tout
point de ce circuit.
 Lorsqu’on ferme un circuit (par exemple un interrupteur) il faut un temps
très court pour que les charges prennent connaissance de l’ensemble du
circuit. Ce temps correspond à celui pris par la lumière pour parcourir
l’ensemble du circuit. C’est ce temps qui compte pour nous, puisque c’est
celui du régime stationnaire.
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II.2 Puissance électrique
B
I
A
Soit un morceau de conducteur parcouru par un courant électrique, c’est
qu’il y a existence d’une différence de potentiel ddp entre A et B tel que VA >
VB puisqu’il y a une force 𝐹 = 𝑞. 𝐸⃗ donc nous pouvons dire qu’il existe une
⃗ à une particule de charge
puissance nécessaire pour communiquer une vitesse 𝑉
q quelconque.
⃗
𝑃𝑓 = 𝐹 . 𝑉
(II.1)
Puisque dans le conducteur il y a n porteurs de charges par unité de
volume, alors on doit définir la puissance totale P entre A et B.
𝐵
𝐵
⃗ 𝑉
⃗ 𝑑𝑆
P = ∭(𝑛. 𝑃𝑓 . 𝑑𝑉) = ∫𝐴 𝑑𝑙 ∬ 𝑛 . 𝑃𝑞 dS = ∫𝐴 𝑑𝑙 ∬ 𝑛 . q . 𝐸
𝐵
𝐵
⃗ dS) 𝐸⃗ ⃗⃗⃗
P = ∫𝐴 ∬(𝑛 . 𝑞 . 𝑉
𝑑𝑙 = ∫𝐴 𝑑𝑙 ∬(𝑗 𝑑𝑠) or
I
𝐵
⃗ ⃗⃗⃗
P = I ∫𝐴 𝐸
𝑑𝑙 = I (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 ) il s’en suit que
P = U.I (II.2)
Avec :
 P : puissance disponible totale entre A et B. Où U = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 > 0 : tension
électrique
Suivant la nature du dipôle ou récepteur placé entre A et B l’énergie
électrique disponible sera convertie sous une forme ou une autre.
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Exemple : Si le dipôle est une résistance R
A
R
B
La puissance disponible P servira qu’à faire chauffer R puisque U = R I cela
se traduit par une dissipation d’énergie sous forme de chaleur ou calorifique
appelée EFFET JOULE.
𝑃𝑗 = UI = RI2
(II.3)
Cette énergie électrique peut également être reconvertie en rayonnement
(lampe), énergie mécanique (moteur) énergie chimique (électrolyse), énergie
cinétique ordinaire (diode à vide)
Toute chaleur dégagée par un conducteur correspond à un gain en énergie.
Cela signifie que l’énergie cinétique a été communiquée au cristal par des
électrons de conduction.
II.3 Nécessité d’une force électromotrice
Si P = I (𝑉𝐴 − 𝑉𝐴 ) = 0, cela signifie qu’il n’y a pas de courant.
A
Pas de courant en régime permanent.
S’il y avait un courant, on aurait dit qu’il y a une force de coulomb qui
porte les charges. Si on veut constituer un circuit fermé, alors il faut fournir de
l’énergie en permanence pour qu’il y ait un courant permanent. Donc, il faut une
force autre que la force électrostatique qui doit permettre aux porteurs de
charges de remonter le potentiel.
Le siège de la force responsable du courant dans un circuit est appelé
« générateur »
A
B
Le courant circule de B vers A à
l’extérieur du générateur.
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En régime permanent les charges ne s’accumulent en aucun point du
circuit, il y a libre circulation des charges. Donc les charges traversent le
⃗⃗⃗⃗ le champ
générateur pour qu’il y ait le courant permanent. VB > VA → 𝐸𝑠
électrostatique dirigé de B vers A à l’intérieur du générateur. Il faut
nécessairement un champ supplémentaire « champ électromoteur », dirigé dans
le sens inverse de ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑠 et supérieur en module.
Si le générateur est en circuit ouvert, cela implique que le courant I soit
nul(𝐼 = 0), mais si VA – VB ǂ 0, il y a présence d’une autre force compensant
l’attraction coulombienne.
Alors la force totale s’exerçant sur une charge que s’écrira donc :
⃗⃗⃗⃗𝑆 + 𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗𝑚 )
𝐹 = 𝑞(𝐸
A l’équilibre et à l’absence du courant (I = 0)
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑆 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑚 = 0 ceci implique que la ddp aux bornes de générateur ouvert vaut :
𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗𝑚 ⃗⃗⃗
VA – VB = ∫𝐴 ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑆 ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 = − ∫ 𝐸
𝑑𝑙
𝐵
⃗⃗⃗ (II.4) [ V ]
VA – VB < → e = ∫𝐴 𝐸𝑚 𝑑𝑙
Avec :
 e : force électromotrice du générateur. e > 0
⃗⃗⃗⃗⃗𝑚 ǂ 0 à l’absence du
Puisque à l’intérieur du générateur, on a ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑆 = −𝐸
courant, ceci signifie qu’un générateur est un conducteur non équipotentiel. A
l’équilibre et dans le cas d’un circuit fermé (I ǂ 0), les porteurs de charges
responsables du courant I ǂ 0 subissent une force supplémentaire due aux
collisions se produisant à l’intérieur du conducteur.
 Pour un générateur idéal : les collisions sont négligeables et on obtient
VA – VB = − e.
 Pour un générateur non idéal (réel) : les collisions existantes se traduisent
par l’existence d’une résistance interne r(r)
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⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑚
𝐸⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑆 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑚
A
B
Selon le modèle de DRUDE nous aurons :
𝐵
𝑘
⃗⃗⃗⃗𝑆 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑚 − 𝑣) = 0, VA – VB + e
∫𝐴 (𝐸
𝑞
𝐵𝑘
VA – VB + e = ∫𝐴
𝑞
𝑣 ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 = ∫ 𝜌𝑗⃗⃗⃗
𝑑𝑙 = 𝑟 𝐼 ceci implique qu’aux bornes du
générateur se développe une tension qui vaut :
VA− VB = r I – e (II.5)
Avec :
 r I : chute de tension induite par la résistance interne du générateur.
Il existe plusieurs sortes de générateur selon la source d’énergie, la méthode
de conversion en énergie électrique.
On peut trouver :
 La pile électrique : énergie chimique ;
 Le générateur électrolytique : énergie mécanique (machine de Van de
Graof) ;
 Dynamo : énergie mécanique ;
 Pile solaire : énergie de rayonnement ;
 Thermocouple : énergie calorifique (En c : désordonnée)
Dans l’ensemble du circuit, la puissance totale qui doit être fournie en régime
permanent vaut :
P = ∭ 𝑛𝑃𝑞 𝑑𝑣 = ∮ ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 ∬ 𝑛𝐹 𝑣⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠
Circuit
Section
P = ∮ ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 ∬ 𝑛 𝑃 𝑞 ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠
Avec :
 𝑣 : volume total occupé par le conducteur fermant le circuit ;
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 𝐹 : force s’exerçant sur les charges mobiles q.
P = ∮ ∬(𝑛 𝑞 𝑣 ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠)
P=I∮
⃗⃗⃗
𝐹 ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠
𝑞
⃗⃗⃗⃗
𝐹 𝑑𝑠
𝑞
=∮
⃗⃗⃗⃗
𝐹 𝑑𝑠
𝑞
𝑑𝑠)
∬(𝑗⃗⃗⃗⃗
= e I (II.6)
P=eI
e = ∑𝑘 𝑒𝑘 où les ek sont les f.e.m présentes les long du circuit (dipôles existant
dans le circuit).
Si eK > 0 correspond à un générateur (production d’énergie).
Si eK < 0 correspond à un récepteur (consommation d’énergie).
NB : Un moteur converti de l’énergie électrique en énergie mécanique et
correspond donc à un récepteur de f.e.m négative : on dit également qu’il
possède une force contre électromotrice f.c.e.m.
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Chap. III GRANDEUR ELECTRIQUE SINUSOIDALE
III.0 Rappel Mathématique
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de meme module (figure
Soit x l’angle entre deux vecteurs 𝑂𝐴
III.1). Le sinus de l’angle x est la mesure Om de la projection de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 sur un axe
perpendiculaire à ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 en prenant le module de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 comme unité, en appelant y
cette fonction sinus :
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
y = sin(𝑂𝐴
𝑂𝑀 ) = sin 𝑥 = Om avec ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 1
x se mesure en radians (1tour = 360° = 2𝜋 radian).
sin 𝑥 = Om
cos 𝑥 = On
y
Avec OM = 1
M
m
X
A’
X
A
n
0
Fig. III.1 : Définition des lignes trigonométriques.
y
a1
P
M
𝜶
M0
𝝋
0
X
a2
Fig. II.2
PO
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𝛼=𝜔f
𝜔=
2𝜋
𝑇
Lorsque x varie le point M décrit un cercle dit trigonométrique ; x est
considéré comme une grandeur algébrique, le sens choisi par convention comme
le sens positif est « le sens anti horlogique », c’est le sens trigonométrique.
Lorsque M0 et P0 circule sur la circonférence avec une même vitesse, la
séparation reste constante d’où la phase initiale reste constante.
Si nous parlons de retard, on voit l’angle que P0 devrait ouvrir pour
dériver au point M0.
Avec :
 M0 : position du mobile à l’instant 0 ;
 𝜔 : vitesse angulaire qui anime le mobile ;
 𝛼 : angle formé par MM0 ;
 𝜃 : temps nécessaire pour parcourir la distance ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃0 𝑀0
𝜃=
𝜑
𝜔
en divisant par t → 𝜃 =
𝜑
𝜔
=
𝜑
↔ 𝜃𝑓 =
2𝜋𝑓
𝜑
2𝜋
=
𝜃
𝑇
T : période.
Y
L’image de 0M sur l’axe des Y
se déplacent de -1 à 1
M
Y1 = 0M sin 𝛼 = a1 sin 𝛼
Y1
Avec : 0M = a1 et 𝛼 = 𝜔𝑡
a2
Y1 = a1 sin 𝜔𝑡 (III.1)
X1
0
X
Fig. III.3a
Notons que la fonction sinusoïdale est la plus simple des fonctions
alternatives. C’est pourquoi on s’efforce de rendre sinusoïdales les grandeurs
électrotechniques, en commençant par le flux magnétique dans les alternateurs,
où
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Y = 𝑌̂ sin 𝛼 (III.2)
Avec :
 𝑌̂ : amplitude maximale du signal mesurée avec la meme unité que la
grandeur Y (volt, ampère, ou weber).
Y
P
Y2
a2
X
0
X2
Fig. III.3b
𝑌̂ ≡ 𝑉𝑚 ≡ 𝐼𝑚 ≡ 𝑎
𝜇 = 𝑉𝑚 sin(𝜔𝑡 − 𝜑) et i = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 − 𝜑)
Y2 = OP sin(𝜔𝑡 − 𝜑) = a2 sin(𝜔𝑡 − 𝜑)
Y = a sin(ωt − φ)
La formule générale Y = a sin(ωt − φ) est une fonction sinusoïdale.
Avec :
 𝜑 : retard algébrique de Y2 sur Y1 (phase initiale ou déphasage) ;
 𝜔 : Pulsation en radian/second [rad/s].
y
a
3𝜋
2
𝜋
2
2𝜋
t
𝜋
Fig. IV : Représentation d’un mouvement sinusoïdale
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III.1 MESURE DE COURANTS ET DE TENSIONS EN SINUSOIDAL
Les appareils magnétoélectriques à redresseurs sont utilisés pour la
mesure des tensions et courants sinusoïdaux, mais on verra par quel moyen.
Donnant par simple lecture la valeur efficace en alternatif, les
ampèremètres et voltmètres non polarisés (ferromagnétique, électrodynamique,
thermique) donne à fortiori cette valeur en sinusoïdal, cas particulier de
l’alternatif.
Un ampèremètre magnétoélectrique est polarisé, il indique la valeur
moyenne du courant que le traverse : il ne dévie pas en courant alternatif, donc
en courant sinusoïdal. On souhaité cependant utiliser les qualités de ce type
d’appareil et pour cela, on l’associe à un redresseur. C’est un élément dont la
résistance dépend du sens du courant qui le traverse. Très faible pour un sens de
courant, cette résistance est très grande pour l’autre sens. Lorsqu’on dispose un
élément redresseur dans un circuit, une alternance du courant est pratiquement
supprimée à chaque période. On obtient un courant redressé simple alternance
comme sur la figure ci-bas.
Quatre éléments redresseurs, montés suivant le schéma de cette figure, laissent
passer les deux alternances dans l’ampèremètre, mais toujours dans le même
sens. On obtient un courant redressé double alternance i R dont la valeur
moyenne 𝑖̅𝑅 n’est pas nulle, donc capable de faire dévier un ampèremètre
magnétique.
iR
A
a)
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i = sin 𝜔𝑡
𝑖̅𝑅
t
0
b)
Figure : III- : a) appareil ferromagnétique ; b) signal mesuré en trait fort.
La déviation de l’appareil est proportionnelle à 𝑖̅𝑅 : pour une forme
donnée du courant i il y a une relation constante entre cette valeur moyenne et la
valeur efficace du courant efficace en supposant le courant sinusoïdal. Les
ampèremètres ou les voltmètres magnétoélectriques à redresseur ne sont
utilisables qu’en régime sinusoïdal.
En utilisant un seul équipage magnétoélectrique et en l’associant, ou non
avec un redresseur, des shunts ou des résistances série on constitue un
multimètre, appareil très rependu qui peut mesurer des courants ou des tensions
en continu ou en sinusoïdal. Ces multimètres contiennent parfois un
amplificateur électronique qui lui donne une très grande sensibilité.
III.2 Vecteur de Fresnel et ses propriétés
III.2.1 Vecteur de Fresnel
Si l’on considère l’ensemble des fonctions sinusoïdales
y = 𝑌̂ sin(𝜔𝑡 + 𝜑) = Y √2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) (III.2) ayant toutes la même fréquence,
par exemple 50Hz, donc même pulsation, l’une particulière est déterminée par
connaissance de la valeur efficace Y et de sa phase initiale𝜑.
On rappelle ces caractéristiques sur un dessin dans le plan dit « plan de
⃗⃗⃗⃗⃗ faisant avec l’axe xx’ un angle (𝑂𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ) égal
Fresnel » où figure un vecteur 𝑂𝐴
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à la phase initiale 𝜑 et de longueur mesurée à une échelle conventionnelle, et
égale à la valeur efficace Y. L’axe de référence xx’ est arbitrairement dessiné,
par exemple horizontal sur la figure ci-bas. Fig. III-5c
x
0
a)
X’
x
𝜑
0
𝜑
b)
I
V
i = Im 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 − 𝝋)
𝝁 = 𝑽𝒎 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 − 𝝋)
A
𝜑
x
X’
0
c)
X’
→ y = Y √2 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 − 𝝋)
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑌
⃗ = ⌊𝜑 Représente la fonction
𝑂𝐴
y.
Fig. III-5 : Représentation du vecteur de
Fresnel dans un plan.
En mathématique, on appelle Y la norme et 𝜑 l’argument du vecteur. Ce
vecteur est dit vecteur de Fresnel ou vecteur représentatif de la fonction
sinusoïdale y. On le note⃗⃗⃗𝑌.
On écrit souvent ce vecteur Y⌊𝜑, en rappelant la phase initiale dans une
⃗ = Y⌊𝜑. Il
équerre à coté de la valeur efficace ; d’où la correspondance ; y → 𝑌
est important de prendre garde que la phase initiale 𝜑 est déterminée par la
forme canonique de la fonction sinusoïdale
y = Y √2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
Lorsque la fonction est donnée sous une autre forme il faut la ramené à la
forme canonique en utilisant les relations trigonométriques entre sinus et
cosinus.
Exemples :
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𝜋
𝜋
2
2
1) y = Y√2 cos 𝜔𝑡 = Y √2 sin (𝜔𝑡 + ) → 𝜑 =
2) y = - Y √2 sin(𝜔𝑡) = Y √2 sin(𝜔𝑡 + 𝜋) → 𝜑 = 𝜋
𝜋
𝜋
3
3
2𝜋
3) y = Y √2 sin ( − 𝜔𝑡) = - Y √2 sin (𝜔𝑡 − )
𝜋
𝜋
3
2𝜋
3
= Y √2 sin (𝜔𝑡 − + 𝜋) → 𝜑 = 𝜋 − =
4) y = Y√2 cos (𝜔𝑡 −
→𝜑=−
2𝜋
3
3
) = Y √2 sin (𝜔𝑡 −
𝜋
𝜋
2
6
+ =−
3
2𝜋
3
𝜋
+ )
2
Remarquons que 𝜑 n’est defini qu’à 2𝜋 près, par exemple 𝜑 = + 𝜋
et 𝜑 = − 𝜋 caracterise la meme fonction sinusoidale de meme que
𝜑=+
2𝜋
3
et 𝜑 = −
4𝜋
3
.
Pour voir que telle grandeur est en avance par rapport à l’autre,
on regarde quel est le vecteur qu’a pris la position avant par rapport à
l’autre.
V
V : Vecteur de Fresnel associé à la tension V
I
I : Vecteur de Fresnel associé au courant I
𝜑
III.2.2 Recherche d’une valeur instantanée
Soit à déterminer graphiquement la valeur (𝑢)𝜏 = 𝑢√2 sin(𝜔𝜏 + 𝜑) que
prend la tension u à l’instant t= 𝜏.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ obtenu en
Projetons sur l’axe vertical de la figure ci-après le vecteur 𝑂𝑀
faisant tourner le vecteur 𝑢
⃗ d’un angle 𝛼 = 𝜔𝜏. La longueur de cette projection
mesurée à l’echelle de volts efficaces est :
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20
0m = u sin(𝜔𝜏 + 𝜑)
y
Il suffit de la multiplier par √2 pour
obtenir (𝑢)𝜏 = √2 0m.
M
m
Il est équivalent de mesurer 0m avec une
échelle de valeurs maximales dont
l’unité a une longueur de l’unité des
valeurs efficaces.
⃗
𝑈
𝛼
𝜑
0
X
0m = u sin(𝜔𝜏 + 𝜑)
Il est commode de donner 𝜏 en fonction de période, 𝛼 est alors la même
fraction de tour, par exemple :
𝜏=
𝑇
1 𝑡𝑜𝑢𝑟
2𝜋 𝜋
→ 𝛼 = 𝜔𝜏 =
𝑠𝑜𝑖𝑡
= 𝑟𝑎𝑑 𝑜𝑢 90°
4
4
4
2
III.2.3 Somme des fonctions sinusoïdales
Il s’agit de fonctions ayant la même période, donc la même fréquence,
mais dont les phases peuvent être différentes.
On démontrera (à la fin de ce point) la proposition suivante : la fonction i
somme de fonctions sinusoïdales 𝑖1 , 𝑖2 , ⋯ , 𝑖𝑛 est-elle-même une fonction
sinusoïdale dont le vecteur de Fresnel est la somme géométrique des vecteurs de
Fresnel des éléments, 𝑖1 , 𝑖2 , ⋯ , 𝑖𝑛 de la somme.
i = 𝑖1 , 𝑖2 , ⋯ , 𝑖𝑛 → 𝐼 = ⃗⃗𝐼1 + ⃗⃗⃗
𝐼2 + ⋯ + ⃗⃗⃗
𝐼𝑛 (III.3)
L’avantage de méthode de Fresnel est qu’elle permet d’appréhender les
grandeurs sinusoïdales sous forme vectorielle. Considérons 2 grandeurs
⃗ =𝑉
⃗⃗⃗1 + 𝑉
⃗⃗⃗2
sinusoïdales et voyons comment se fait la somme : 𝑉
V sin(𝜔𝑡 − 𝜑) = 𝑉1 sin(𝜔𝑡 − 𝜑1 ) + 𝑉2 sin(𝜔𝑡 − 𝜑2 ) (III.4)
V csc(𝜔𝑡 − 𝜑) = 𝑉1 cos(𝜔𝑡 − 𝜑1 ) + 𝑉2 cos(𝜔𝑡 − 𝜑2 ) (III.5)
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21
Comment trouver le module de déphasage
tan 𝜑 =
𝑉1 sin 𝜑1 +𝑉2 sin 𝜑2
𝑉1 cos 𝜑1 +𝑉2 cos 𝜑2
(III.6)
𝑉 2 = (𝑉1 sin 𝜑1 + 𝑉2 sin 𝜑2 )2 + (𝑉1 cos 𝜑1 + 𝑉2 cos 𝜑2 )2 (III.7)
Pour n grandeurs par exemple
𝑉𝑖 (𝑡) = 𝑉𝑖 √2 cos(𝜔𝑡 − 𝜑1 )
𝑉 (𝑡) = ∑𝑛𝑖=1 𝑉𝑖 (𝑡) = 𝑉√2 cos(𝜔𝑡 − 𝜑)
∑𝑛 (𝑉 sin 𝜑𝑖 )
𝑖=1 𝑖 cos 𝜑𝑖 )
tan 𝜑 = ∑𝑛𝑖=1(𝑉 𝑖
𝑉 2 = (∑𝑛𝑖=1 𝑖 (𝑉𝑖 cos 𝜑𝑖 ))2 + (∑𝑛𝑖=1 𝑖 (𝑉𝑖 sin 𝜑𝑖 ))2
𝑉1
𝜑2
𝜑1
𝜑
0
v
𝜑2
𝑉2
Exemple :
Soit 𝜑1 = 60°; cos 𝜑1 = 0,5; sin 𝜑1 = 0,866; 𝐼1 = 4 ↔ 4𝐴⌊60
𝜑2 = 45°; cos 𝜑2 = 0,707; sin 𝜑2 = 0,707; 𝐼2 = 2
2𝐴⌊45
Calculer le courant 𝐼 = ⃗⃗𝐼1 + ⃗⃗⃗
𝐼2 et 𝜑 (𝐼 , 𝑂𝑥).
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22
I=
𝐼1 cos 𝜑1 +𝐼2 cos 𝜑2
cos 𝜑
tan 𝜑 =
ou
𝐼1 sin 𝜑1 +𝐼2 sin 𝜑2
sin 𝜑
𝐼1 sin 𝜑1 +𝐼2 sin 𝜑2
𝐼1 cos 𝜑1 +𝐼2 cos 𝜑2
=
=𝐼
4 sin 60°+2 sin 45°
4 cos 60°+2 cos 45°
≅ 1,44
𝑎 → 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 tan 1,44 ↔ 𝜑 = 54°15′
I=
4 cos 60°+2 cos 45°
cos 54°15′
= 5,9𝐴 ↔ 5,9𝐴⌊54°15′
III.2.4 Fonction dérivée, fonction primitive.
On démontre la propriété fondamentale suivante : la fonction 𝜔 est la
fonction de même pulsation
𝑑𝑖
𝑑𝑖
. La fonction dérivée ( ) d’une fonction
𝑑𝑡
𝑑𝑡
sinusoidale du temps 𝑖 → 𝐼⌊𝜑 de pulsation 𝜔 est la fonction de meme pulsation
𝑑𝑖
𝜋
(𝑑𝑡) → 𝜔𝐼 ⌊𝜑 + 2
Démonstration : soit 𝑖 = 𝐼√2 cos(𝜔𝑡 − 𝜑)
𝑑𝑖
𝜋
→ ( ) = −𝐼√2𝜔 sin(𝜔𝑡 − 𝜑) = 𝐼𝜔√2 cos (𝜔𝑡 − 𝜑 + )
𝑑𝑡
2
𝑑𝑖
𝜋
Le vecteur de Fresnel de ( ) s’obtient en faisant tourner de + le vecteur
𝑑𝑡
2
de Fresnel de i et en le multipliant par 𝜔.
𝜔I
𝑑𝑖
= 𝐼𝜔
𝑑𝑡
𝜔I
𝐼
𝑑𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗
Fonction dérivée 𝑑𝑡 = 0𝐴
0
𝐼
𝐼
0
0
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝜔2 𝐼
B
𝑑2 𝑖
= 𝐼𝜔2
𝑑𝑡 2
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑧
𝑂𝐶
=i
𝐼
𝜔
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C
23
𝐼
Fonction primitive d’une
fonction sinusoïdale est
𝜋
déphasée de en arriere de
𝜋
z = 𝜔 ⌊𝜑 − 2
La dérivée
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= I⌊𝜑 = 𝑖
2
celle-ci et son module est divisé
par 𝜔
Cette fonction z est la primitive de i
Remarque : le vecteur de Fresnel n’est pas seulement une notation simple, il
possède des propriétés qui le rendent indispensable pour une première étude des
courants alternatifs sinusoïdaux.
III.2.5 Méthode symbolique
Elle revient à représenter les grandeurs électriques sinusoïdales dans un
plan complet.
En mathématique nous avons : a + bi = z
En électricité nous avons : x + jy = z
Avec :
 y : partie imaginaire et ;
 x : partie réelle.
Y
X = 𝜌 cos 𝜃
M
Y = 𝜌 sin 𝜃
𝜌
𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan
𝑦
𝑥
𝜃
X
Si on donne dans un problème i [10,30°] cela signifie que le courant I = 10A et
le déphasage𝜃 = 30°.
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24
Le conjugué de z = 𝑥 + 𝑗𝑦 𝑒𝑠𝑡 𝑥 − 𝑗𝑦.
L’exponentielle est 𝑒 𝑗𝜃 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦𝑗 sin 𝜃
Z = 𝑥 + 𝑗𝑦 → 𝜌𝑒 𝑗𝜃 = z
 La somme de 2 nombres complexes implique, la somme des 2 parties
réelles entre elles et des parties imaginaire aussi ;
 Le produit de 2 nombres complexes 𝑍1 𝑍2
𝑍1 = 𝑥1 + 𝑗𝑦1 𝑒𝑡 𝑍2 = 𝑥2 + 𝑗𝑦2
𝑍1 + 𝑍2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑗(𝑦1 + 𝑦2 )
𝑍1 − 𝑍2 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑗(𝑦1 − 𝑦2 )
𝑍1 𝑍2 = 𝜌1 𝑒 𝑗𝜃 . 𝜌2 𝑒 𝑗𝜃 = 𝜌1 𝜌2 𝑒 𝑗𝜃
Exemple :
𝑒 = 200√2 sin(𝜔𝑡 − 110°)
Z = (4 + 3j ) Ω
~
1
1
𝑍
𝜌
L’inverse d’un nombre complexe : = 𝑒 −𝑗𝜃 et 𝑣(𝑡) = 𝑉√2 cos(𝜔𝑡 − 𝜑), son
nombre complexe 𝑉̅ = 𝑉𝑒 −𝑗(𝜔𝑡−𝜑) on divise par √2 V(𝑡)
Comprendre : comment trouver la grandeur sous forme exponentielle à partir
d’une forme complexe.
𝑉̅ = 𝑉𝑒 −𝑗(𝜔𝑡−𝜑)
̅
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝑗𝜔 𝑉𝑒 −𝑗(𝜔𝑡−𝜑) = 𝑗𝜔𝑉̅ Avec rotation de
𝑉𝑒
∫ 𝑉̅ 𝑑𝑡 =
𝜋
2
−𝑗(𝜔𝑡−𝜑)
𝑗𝜔
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25
III.2.6 Grandeur périodique quelconque
Une grandeur périodique est décomposable en une série des grandeurs
sinusoïdales pures, ceci de façon unique. La convergence de cette série a lieu en
tout point où la fonction n’est pas discontinue.
 Le premier terme ou fondamentale du développement est à la fréquence f
de la fonction étudiée ;
 Les autres termes ou harmoniques possèdent des fréquences multiples.
𝑓(𝑡) = 𝐴0 + ∑ 𝐴𝑛 cos 𝜔𝑓 + ∑ 𝐵𝑛 sin 𝜔𝑓
Avec :
1
𝑇
 𝐴0 : la moyenne de la fonction étudiée : 𝐴0 = ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ;
𝑇
2
𝑇
 𝐴𝑛 : l’amplitude du terme en cas du rang n : 𝐴𝑛 = ∫0 𝑓(𝑡) cos 𝑛 𝜔𝑓 𝑑𝑡;
𝑇
2
𝑇
 𝐵𝑛 : l’amplitude du terme en sinus : 𝐵𝑛 = ∫0 𝑓(𝑡) sin 𝑛 𝜔𝑓 𝑑𝑡.
𝑇
Quelques cas de simplification :
 Pour une fonction paire, il n’y a pas de termes en sinus ;
 Pour une fonction impaire, il n’y a pas de termes en cosinus ;
 Alternance symétrique : c’est quand la fonction est représentée par
𝑇
𝑓 (𝑡 + ) = − 𝑓(𝑡) seuls les harmoniques impaires existent.
2
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26
Chap. IV PUISSANCE EN SINUSOIDAL OU EN COURANT
ALTERNATIF
IV. 1 Puissance active
IV. 1. 1 Déphasage
a) Définition : Lorsqu’on s’occupe d’une seule grandeur, un courant par
exemple, on peut l’écrire sans phase initiale :
𝑖 = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 = 𝐼√2 sin 𝜔𝑡.
Soit 𝐼⌊0°
Cela revient à prendre comme origine des temps, un des instants où le
courant i s’annule en passant des valeurs négatives aux valeurs positives.
Mais ordinairement d’autres grandeurs sinusoïdales interviennent dans le
phénomène et doivent être considérées en même temps que i. Soit e l’une
d’entre elles. En général, e ne s’annule pas aux mêmes instants que i, il faut
introduire dans son expressions mathématique un angle de phase initiale :
𝑒 = 𝐸𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝐸√2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) Soit 𝐸⌊𝜑
𝜑 est appelé déphasage entre i et e, c’est donc l’angle entre les deux vecteurs de
Fresnel de ces 2 fonctions.
⃗⃗⃗⃗
𝐸1 est déphasé de 30° avant par rapport à ⃗𝐼.
𝜑1 =30°
⃗⃗⃗⃗
𝐸1
𝜑1
⃗⃗⃗⃗
⃗
𝐸2 est déphasé de 30° arrière par rapport à 𝐼.
𝐼
x
𝜑2
⃗⃗⃗⃗
𝐸2
𝜑2 = 30°
Fig. IV-1
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27
1
𝑇
1
𝑇
𝑃 = ∫0 𝑢 𝑖 𝑑𝑡
𝑇
Avec : u = e
𝑃 = ∫0 𝐸𝑚 sin(𝜔𝑡 − 𝜑)𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡
𝑇
Or
sin 𝑥 sin(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑦 − cos(2𝑥 − 𝑦 −)
𝑇
1
𝑃 = ∫0 [𝐼𝑚 𝐸𝑚
𝑇
𝑃=
𝐸𝑚 𝐼𝑚
cos 𝜑
2
𝑇
1
−
𝐼𝑚 𝐸𝑚
2
cos(2𝜔𝑡 − 𝜑)] 𝑑𝑡
1
𝑇
[cos 𝜑 ∫0 𝑑𝑡 − ∫0 cos(𝜔𝑡 − 𝜑)]
𝑇
𝑇
2
1
1
Cette partie est nulle car la valeur
moyenne d’une fonction sin est nulle
↔𝑃=
𝐸𝑚 𝐼𝑚
2
cos 𝜑.
Or 𝐼𝑚 = √2. 𝐼 et 𝐸𝑚 = √2 𝐸
𝑃=
𝐸𝑚 𝐼𝑚
√2 √2
cos 𝜑 → 𝑃 = 𝐸. 𝐼 cos 𝜑 (IV.1)
Générateur
Récepteur (moteur)
4
𝜑
1
Un moteur est un récepteur capable
de développer une (puissance)
énergie électromagnétique.
Un générateur fournit une puissance
positive.
3
2
P = U I cos 𝜑
Récepteur
Générateur
[W] [V] [A] Energie fluctuante.
Fig. IV-2
 Dans un circuit purement inductif, le courant est déphasé en arrière
𝜋
de par rapport à la tension.
2
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28
𝑓=
𝜌
𝑇
𝑒𝑡 𝑓 ′ = 2𝑓 → 𝑇′ =
𝑇
𝐸 𝐼
4 𝑚 𝑚
𝑊𝐿 = ∫0
2
𝑊𝐿 =
𝐸𝑚 𝐼𝑚
𝑒−𝐿
𝑑𝑖
2
𝑊𝐿 =
𝜌
𝜋
cos (2𝜔𝑡 − ) 𝑑𝑡 Energie fluctuante.
2
𝑑𝑖
∫0 sin 2𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑜𝑟 𝑒 = 𝐿 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝐸𝑚 = 𝐿𝜔 𝐼𝑚
𝑇
4
𝐿𝜔𝐼𝑚 𝐼𝑚
→ 𝑊𝐿 =
2
𝑇
4
=0;
𝑑𝑡
𝑇
2
=
𝜋
2𝜔
𝜋
2𝜔
1
1
1
2
×
(− 2𝜔) [cos 2𝜔𝑡]0 = 2 𝐿𝜔𝐼𝑚
𝜔
2
𝐿𝐼𝑚
(IV.2) Energie emmagasinée dans une inductance.
2
 Dans un circuit purement capacitif on a la tension qui est déphasé
𝜋
en arrière de par rapport au courant.
2
𝑇
𝑊𝐶 = ∫04
𝑞
Or 𝑒 =
𝑐
𝑊𝐶 = −
𝑊𝐶 =
1
𝐸𝑚 𝐼𝑚
2
𝜋
cos (2𝜔𝑡 + ) 𝑑𝑡 = −
2
𝐸𝑚 𝐼𝑚
2
𝑇
4
∫0 sin 2𝜔𝑡 𝑑𝑡
𝑞
→ 𝑒 = 0 → 𝑞 = 𝑐. 𝑒 𝑜ù 𝐼𝑚 = 𝑐. 𝜔. 𝐸𝑚
𝑐
𝐶.𝜔𝐸𝑚 𝐸𝑚
2
𝜋
2𝜔
1
(− 2𝜔) [cos 2𝜔𝑡]0
𝜋
2𝜔
2 1
𝐶. 𝜔𝐸𝑚
[ cos 2𝜔]
2
2𝜔
0
1
2
𝑊𝐶 = 𝐶. 𝐸𝑚
(IV.3) Energie emmagasinée par une capacité pendant que E et I
2
varient.
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29
Energie emmagasinée
t
Energie déchargée
a) charge purement capacité
L’existence d’une inductance et d’une capacité est à l’origine
d’une énergie fluctuante
P inst
P inst
P cste
I
U
b) Charge purement résistive
Fig IV-3
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
30
b) Avance et retard
On dit avec précision que 𝜑 est en l’avance de 𝜇 sur i, car elle correspond
à une avance de phase en temps. (cfr Chap. III).
IV. 1.2 Facteur de puissance
Soit {
𝑖 = 𝐼√2 sin 𝜔𝑡
𝑢 = 𝑈√2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
Respectivement le courant dans un élément de circuit et la tension entre
ses bornes (conventions habituelles des récepteurs).
La puissance instantanée est :
𝑝 = 𝑢. 𝑖 = 2 𝑈. 𝐼 sin 𝜔𝑡. sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
= 𝑈. 𝐼[cos 𝜑 − cos(2𝜔𝑡 + 𝜑)]
Le premier terme du crochet est constant ; le second est une fonction
alternative moyenne nulle. La moyenne de la fonction périodique p se réduit à la
partie constante.
𝑃 = 𝑈. 𝐼 cos 𝜑
C’est la formule de la puissance en courants sinusoïdaux. Le facteur de
puissance est :
𝑘 = cos 𝜑 (𝐼𝑉. 4)
Pour améliorer le cos 𝜑, on place un condensateur en parallele avec la
charge.
Considérons un circuit électrique où la tension est considérée comme
l’origine et le courant en arrière par rapport à la tension.
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31
𝑆 = √𝑃2 + 𝑄 2
𝐼𝑎 = 𝐼 cos 𝜑
𝐼 sin 𝜑 = 𝐼𝑟
P
U

I

S
Une inductance
absorbe la puissance
réactive ;
Une capacité fournie
la puissance réactive.
Q
Si la charge est purement :
1. Inductance : on aura 𝑄 = 𝑈. 𝐼 sin 𝜑 𝑜ù 𝜑 =
𝜋
2
𝑄 = +𝑈. 𝐼 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝐿
2. Capacitive : on aura 𝑄 = 𝑈. 𝐼 sin 𝜑 𝑜ù 𝜑 = −
𝜋
2
𝑄 = −𝑈. 𝐼 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝐶
Notes : Suite à l’effet Kelvin la résistance D.C est inférieure et différente qu’en
A.C : 𝑅𝐷𝐶 < 𝑅𝐴𝐶
L’effet pelliculaire peut être négligeable pour des fréquences
industrielles 50-60Hz et pour des faibles sections et en machines
électriques pour des grosses sections, cet effet n’est pas négligeable.
Pertes fer : 𝑃𝑓 . AC > 𝑃𝑓 . 𝐷𝐶 d’où 𝑅𝐴𝐶 > 𝑅𝐷𝐶
Puissance par la méthode symbolique
0
̅ = 𝑈𝑒 −𝑗𝜑1 𝑒𝑡 𝐼 ̅ = 𝐼𝑒 −𝑗𝜑2
𝑈
𝑃 = 𝑈𝑒 −𝑗𝜑1 𝐼𝑒 𝑗𝜑2 𝑒𝑡 𝐼 ̅ = 𝑈𝐼𝑒 𝑗(𝜑2 −𝜑1 )
𝜑2
𝜑1
U
P : partie réelle
𝜌
Q : partie imaginaire
I
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32
IV. 2. 2 Courant actif et courant réactif
a) Définition
En posant 𝐼𝑎 = 𝐼 cos 𝜑 et 𝐼𝑟 = 𝐼 sin 𝜑 les puissances s’écrivent : 𝑃 = 𝑈𝐼𝑎
et 𝑄 = 𝑈𝐼𝑟 .
⃗ et la direction
Lorsqu’on décompose 𝐼 suivant la direction de 𝑈
⃗ a pour mesure 𝐼𝑎 = 𝐼 cos 𝜑 et la
perpendiculaire, la composante en phase avec 𝑈
⃗ a pour mesure 𝐼𝑟 = 𝐼 sin 𝜑.
composante en quadrature avec 𝑈
⃗ qui apporte la puissance active
𝐼𝑎 : courant actif en phase avec 𝑈
𝑃 = 𝑈𝐼𝑎
On appelle
⃗ qui apporte la puissance
𝐼𝑟 : Courant réactif en quadrature avec 𝑈
réactive 𝑄 = 𝑈𝐼𝑟 .
⃗⃗⃗
𝐼𝑎
𝐼 = √𝐼𝑎2 + 𝐼𝑟2
𝜑
𝐼
⃗⃗𝐼𝑟
b) Théorème de Boucherot
Dans l’ensemble d’un réseau sans changement de fréquence, il y a
conservation de puissance active d’une part et de puissance réactive de l’autre.
𝜑2
𝑈1
𝑈3
U
𝜑3
𝑈2
I
𝜑1
𝜑
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33
I
U
𝑍1
𝑈1
𝑍2
𝑈2
𝑍3
𝑈3
𝐼. 𝑈 cos 𝜑 = (𝑈1 cos 𝜑1 + 𝑈2 cos 𝜑2 + 𝑈3 cos 𝜑3 ). 𝐼 (𝐼𝑉. 6)
𝐼. 𝑈 sin 𝜑 = (𝑈1 sin 𝜑1 + 𝑈2 sin 𝜑2 + 𝑈3 sin 𝜑3 ). 𝐼 (𝐼𝑉. 7)
𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3
𝑄 = 𝑄1 + Q 2 + Q 3
IV. 3 Intérêt des grandeurs sinusoïdales
IV. 3. 1 Valeur moyenne
La valeur moyenne d’un courant sur une durée, est la valeur en D. C qui
transporterait la même quantité d’électricité (de charge) en une période T.
1
𝑇
𝑇
1
𝐼𝑚𝑜𝑦 = 𝐼0 = ∫0 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 , 𝑈𝑚𝑜𝑦 = 𝑈0 ∫0 𝑢(𝑡)𝑑𝑡 = 0.
𝑇
𝑇
𝐼0 = 0 en A. C, or il y a déplacement des charges, voila pourquoi nous
travaillons avec une demi-période.
𝐼0 =
1
𝑇⁄
2 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑇 ∫0
2
2
𝑇
2
2
𝑇⁄
2 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
= ∫0
𝑇
𝑈𝑂 = ∫0 𝑢(𝑡)𝑑𝑡 → 𝑈0 =
𝑇
2𝑈𝑚𝑎𝑥
𝑇
= 𝐼𝑚𝑎𝑥 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡
[−
cos 𝜔𝑡
𝜔
]
𝑇⁄
2
0
2
= 𝑉𝑚𝑎𝑥 (𝐼𝑉. 8)
𝜋
Cette tension est la même pour un redressement double alternance.
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34
IV. 3. 2 Valeur efficace
Considérons que un conducteur de longueur l parcouru par un courant I
pendant un temps t produit une chaleur dont l’expression 𝑄 = 0,24 𝑅𝐼 2 𝑡 ;
𝑤 = 𝑅𝐼 2 𝑡.
La valeur efficace d’un courant alternatif est l’équivalent du courant
continu qui produirait la même quantité de chaleur pendant le même temps.
𝑇
𝑃 = 𝑅𝐼 2 ; 𝑑𝑤 = 𝑃𝑑𝑡 = 𝑅𝐼 2 𝑑𝑡 → 𝑤 = ∫0 𝑅𝑖 2 𝑑𝑡 (𝐴. 𝐶)
𝑇
w = R𝐼 2 𝑇 (𝐷. 𝐶).
𝑅𝐼 2 𝑇 = ∫0 𝑅𝑖 2 𝑑𝑡
𝑇
1
→ 𝐼 2 = ∫0 𝑖 2 𝑑𝑡 →
𝑇
1
𝑇
𝐼 = ∫0 𝑖 2 𝑑𝑡
𝑇
Déterminons la valeur efficace de la tension.
𝑇⁄
1
𝑉 2 = 𝑇 ∫0 2(𝑉𝑚𝑎𝑥 cos 𝜔𝑡)2 𝑑𝑡 𝑜𝑟 cos 𝑥 2 =
⁄
2
2
→𝑉 =
𝑉=
2
𝑡
2
𝑉𝑚𝑎𝑥
[
𝑇
2
𝑉𝑚𝑎𝑥
+
sin 2𝜔𝑡
4
]
𝑇⁄
2
0
=
sin 2𝑥+1
2
2
𝑉𝑚𝑎𝑥
2
(𝐼𝑉. 9)
√2
𝑉𝑚𝑎𝑥 = √2 𝑉𝑒𝑓𝑓
(𝐼𝑉. 10)
Le facteur de forme d’une fonction périodique est par définition le rapport
𝐹=
𝑉𝑒𝑓𝑓
𝑉𝑚𝑜𝑦
=
𝑉𝑚𝑎𝑥 ⁄√2
2𝑉𝑚𝑎𝑥 ⁄𝜋
= 1,11
IV. 3. 3 Valeur efficace d’une grandeur périodique quelconque
La valeur périodique peut être décomposée en des grandeurs périodiques.
𝑦 = 𝑦 sin(𝜔𝑡 − 𝜑1 ) + 𝑦2 sin(𝜔𝑡 − 𝜑2 ) + ⋯ + 𝑦𝑛 sin(𝜔𝑡 − 𝜑𝑛 ) qui est une
grandeur périodique quelconque qui n’est pas forcément une grandeur
alternative.
1
𝑇
2
𝑦𝑒𝑓𝑓
= ∑ ∫0 𝑦𝑝2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑝𝜔𝑡 − 𝜑𝑝 )𝑑𝑡
𝑇
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35
2
+ ∑ ∫ 𝑦𝑛 𝑦𝑛 sin(𝜔𝑡𝑚 − 𝜑𝑚 ) sin(𝑛𝜔𝑡 − 𝜑𝑛 )𝑑𝑡
𝑇
(IV.11)
Or tout le terme souligné peut être transformé en une série de cosinus.
1
𝑇
𝑇
→ {∫0 cos[(𝑚 + 𝑛)𝜔𝑡 − (𝜑𝑚 + 𝜑𝑛 )]𝑑𝑡 − ∫0 cos[(𝑚 − 𝑛)𝜔𝑡 −
𝑇
(𝜑𝑛 − 𝜑𝑚 )]𝑑𝑡}
Etant donné que l’intégrale d’une grandeur sinusoïdale dans un intervalle
d’un nombre entier de période est nul, les termes ainsi développés seront nuls.
𝑙
𝑇
2
L’intégrale du 1° terme s’écrit 𝑦𝑒𝑓𝑓
= ∑ ∫0 𝑦𝑃2
𝑇
𝑦𝑒𝑓𝑓 = √
𝑦1 +𝑦2 +𝑦3 +⋯
2
𝑑𝑡
2
=∑
𝑦𝑃2
2
(𝐼𝑉. 12)
(𝐼𝑉. 13) 𝑎𝑣𝑒𝑐: 𝑦𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ′ ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒
2
2
2
𝑦𝑒𝑓𝑓 = √𝑦1𝑒𝑓𝑓
+ 𝑦2𝑒𝑓𝑓
+ 𝑦3𝑒𝑓𝑓
+ ⋯ (𝐼𝑉. 14) 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , ⋯ 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠
Efficaces des harmoniques.
Force électromotrice et courants non sinusoïdaux
Les grandeurs électriques alternatives ne renferment que des grandeurs
d’ordre impair. Dès lors l’expression d’une grandeur électrique non sinusoïdale
est :
𝑢 = 𝑈1 √2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑1 ) + 𝑈3 √3 sin(3𝜔𝑡 + 𝜑3 ) + 𝑈5 √2 sin(5𝜔𝑡 + 𝜑5 ) + ⋯
L’allure de flux dans le transformateur ne sera pas nécessairement sinusoïdale.
𝜇
En une période de l’harmonique
fondamental, nous aurons 3
périodes de l’harmonique
d’ordre 3
t
Fig a)
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
36
Fig b)
Fig c)
Les figures ci-dessus données représentent les formes d’ondes que l’on
rencontre dans la pratique :
 Fig a) : un maximum positif de l’harmonique 3coincide avec un
maximum positif de la sinusoïde fondamentale ;
 Fig b) : un maximum négatif de l’harmonique 3 coïncide avec un
maximum positif de sinusoïde fondamentale ;
 Fig c) : un zéro de l’harmonique 3 coïncide avec un maximum de la
sinusoïde fondamentale.
Inconvénient des harmoniques
 Dans le réseau ils donnent lieu à des perturbations téléphoniques
puisqu’ils atteignent des fréquences musicales, de plus, ils causent des
surtensions en cas d’amplification par résonnance.
 Dans les machines :
a) Ils sont une cause des pertes parfois importantes dans le fer et dans
le cuivre par courant de Foucault ;
b) Ils accroissent les champs électriques et les contraintes
diélectriques dans les isolants parce que la tension de crête est plus
élevée pour une onde déformée pointue que pour une sinusoïde de
même tension efficace ;
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37
c)
Dans les machines asynchrones, les flux glissants harmoniques
développent des couples parasites sur l’arbre. Pour éviter les
harmoniques on fait, le circuit sur base des alliages adaptés
IV. 3. 4 Courants pseudo périodiques (circuit oscillant)
C’est un courant n’est pas forcement périodique mais qui est à moitié
périodique mais qui est à moitié périodique.
Nous allons analyser mathématiquement le circuit oscillant. Le courant de
déplacement et la force contre électromotrice fcém.
Considérons le schéma ci-après :
e
K
G
Si nous fermons l’interrupteur k le condensateur se charge positivement
pour une armature et négativement sur une autre (potentiel de charge fcém).
Cette charge est opposée à la fém et elle s’appellera fcém, nous constaterons
qu’il y a un déplacement des charges qui est un courant de charge et non un
courant de conduction. La conduction électrique est la communication du
mouvement d’un (électrique) électron aux autres (cas de billes alignées).
Pendant la charge le champ électrique varie (champ aux bornes du
condensateur, le champ est fonction de la tension). Ce champ (diélectrique) est
le siège d’un courant de déplacement.
𝐽=𝜀
𝑑𝐸
(𝐼𝑉. 15)
𝑑𝑡
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38
La décharge d’un conducteur dans un circuit inductif
Soit un condensateur de capacité C chargé d’une quantité d’électricité 𝑄0
est brusquement fermé au moyen d’un interrupteur k sur un circuit dont la
résistance totale est R et l’inductance L.
En désignant, au cours de la charge par :
 𝜇 : la ddp entre armature à l’instant t ;
 𝑞 : la charge du condensateur à l’instant t et ;
 𝑞 + 𝑑𝑞 : la charge du condensateur à l’instant 𝑡 + 𝑑𝑡.
Les fém agissant dans le circuit à l’instant t sont :
𝑞
1) 𝜇 = il y aura une fém d’auto-induction au niveau de la bobine ;
𝑐
2) − 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= fém d’auto-induction.
R
L
C
K
Par la loi d’Ohm
𝑞
𝑐
− 𝐿
𝑖=−
𝑑𝑖
= 𝑅𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑞
→ − 𝐿
𝑐
↔𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡 2
(ici nous sommes dans le cas d’une décharge voilà le sens du signe − ).
𝑑
𝑑𝑞
𝑑𝑞
(− 𝑑𝑡 ) = 𝑅 (− 𝑑𝑡 ) (𝐼𝑉. 16)
𝑑𝑡
+𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑞
+ = 0 Ici plusieurs cas peuvent se présenter on sait que
𝑐
l’intégrale de l’équation différentielle est de forme :
𝑅
𝑞 = 𝐴𝑒 −2𝐿𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) ( 𝐼𝑉. 17)
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39
𝑅
𝑅
𝑖 = 𝐴𝑒 −2𝐿𝑡 [ cos(𝜔𝑡 + 𝜑)]
2𝐿
𝑖=
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑅
𝑅
= 𝐴𝑒 −2𝐿𝑡 [ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) + sin(𝜔𝑡 + 𝜑)] (𝐼𝑉. 18)
2𝐿
Ces expressions sont celles des grandeurs sinusoïdales amorties c’est-àdire différentes de la grandeur sinusoïdale par le fait que leur amplitude décroit
suivant une progression géométrique.
La pseudo pulsation des ces grandeur est
𝐿
2
4 −𝑅
1
𝜔=√ 𝐶 2 =√ −
4𝐿
𝐿𝐶
𝑅2
4𝐿2
(𝐼𝑉. 19)
q
𝑄0
a)
0
t
i
b)
0
t
Fig : Grandeurs sinusoïdales amorties : a) charge électrique, b) courant
électrique.
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
40
Les constantes A et 𝜑 s’obtiennent par conditions initiales c’est-à-dire en
exprimant qu’à l’instant 𝑡 = 0, on a 𝑞 = 𝑞0 .
a) Charge partant de 𝑄0 (𝑞0 ) commence par décroitre, mais au lieu de s’annuler
définitivement, change de signe et subit une série d’oscillations représentées par
une sinusoïde amortie entre les valeurs correspondant à 2 courbes exponentielles
𝑞
symétriques voir la figure ci-haut. Il en sera de même pour la tension 𝜇 = aux
𝑐
bornes de C.
b) Le courant de charge partant de 0 varie suivant la même loi (sinusoïde
amortie).
c) Le courant et la charge s’annulent à intervalle de temps qui sont égaux et dont
la valeur
𝑇=
2𝜋
→ 𝑇=
𝜔
2𝜋
2
√ 1 −𝑅2
Pseudo période
𝐿𝐶 4𝐿
Si R est négligeable la pseudo période dévient :
𝑇=
2𝜋
√
1
𝐿𝐶
↔
𝑇=
2𝜋
1
√𝐿𝐶
↔
𝑇 = 2𝜋√𝐿𝐶
(IV.20)
Cette expression est appelée
formule de THOMSON
d) Les amplitudes décroissent d’autant plus rapidement que l’exposant négatif
que − 𝑅⁄2𝐿 est plus grand.
Pour les courants non sinusoïdaux (harmoniques) il apparait clairement
qu’il y a naissance d’une puissance déformatrice D qui a pour conséquence, la
réduction de la puissance active disponible dans le réseau, d’où
𝑠 = √𝑃2 + 𝑄2 + 𝐷2 → 𝑃 = √𝑆 2 − 𝑄2 − 𝐷2
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41
Chap. V ANALYSE DES CIRCUITS LINEAIRES EN COURANT
ALTERNATIF
V.1 Analyse des circuits par la loi des mailles
𝑍𝐴
𝑍𝐶
𝑍𝐸
2
3
𝑉𝑚 = 𝑉𝐴
~
1
𝑍𝐵
~
𝑉𝐵= 𝑉𝑛
𝑍𝐷
Fig. V-1
Il suffit d’établir les différentes équations des différentes mailles du
réseau puis les résoudre.
 Donner un sens à un courant fictif ;
 Etablir les équations des mailles. Loi de Kirchhoff (la somme des chutes
de tension est égale à la somme des sources de tension).
𝐼1 𝑍𝐴 + (𝐼1 − 𝐼2 )𝑍𝐵 = 𝑉𝐴
(1)
𝐼2 𝑍𝐶 + (𝐼2 − 𝐼1 )𝑍𝐵 + (𝐼2 + 𝐼3 )𝑍𝐷 = 0
𝐼3 𝑍𝐸 + (𝐼2 + 𝐼3 )𝑍𝐷 = 𝑉𝐵
(2)
(3)
Méthodes pour déterminer le nombre des mailles
Méthode graphique
1
1
2
3
2
1
3
3
~
~
4
2
4
Fig. V-2
4
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
42
Pour la méthode graphique, ici il suffit d’éliminer toutes les boucles et le
nombre de boucles éliminé correspond donc au nombre de mailles.
Méthode directe
Compter le nombre des branches et le nombre des nœuds.
 7 branches ;
 4 nœuds.
Nombre de mailles = Nbre branches – (Nbre nœuds −1)
7 − (4 − 1) = 4 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠.
En général, on notera les équations des mailles par la méthode suivante :
𝑍11 𝐼1 ± 𝑍12 𝐼2 ± 𝑍13 𝐼3 = 𝑉1
±𝑍21 𝐼1 + 𝑍22 𝐼2 ± 𝑍23 𝐼3 = 𝑉2
±𝑍31 𝐼1 ± 𝑍32 𝐼2 + 𝑍33 𝐼3 = 𝑉3
𝑍11 : 𝐼𝑚𝑝é𝑑𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 1è𝑟𝑒 maille
𝑍22 : 𝐼𝑚𝑝é𝑑𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 2è𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒
𝑍33 : 𝐼𝑚𝑝é𝑑𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎3è𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒
𝑍12 : 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝é𝑑𝑎𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 à 𝑙𝑎 1° 𝑒𝑡 à 𝑙𝑎 2° 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒.
Matrice d’impédance
𝑍11
[±𝑍21
±𝑍31
±𝑍12
𝑍22
±𝑍32
±𝑍13 𝐼1
𝑉1
±𝑍23 ] [𝐼2 ] = [𝑉2 ]
𝑉3
𝑍33 𝐼3
[𝑍][𝐼] = [𝑉]
Exemple :
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43
𝑗4𝛺
−𝑗8𝛺
1
10Ω
2
5⌊30° 𝑉
8Ω
5Ω
3
10⌊0° V
𝑗4𝛺
3Ω
4 nœuds et 6 branches : 6 − (4 − 1) = 3 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠.
𝑍11 = −8𝑗 + 5 + 10 = (15 − 8𝑗 )𝛺
𝑍12 = 𝑍21 = −10𝛺
𝑍13 = 𝑍31 = −5𝛺
𝑍23 = 𝑍32 = −8𝛺
𝑍22 = (18 − 4𝑗 )𝛺
𝑍33 = (16 − 4𝑗 )𝛺.
(15 − 8𝐽 )𝐼1
−10𝐼1
−5𝐼1
−10𝐼2
(18 + 4𝑗)𝐼2
−8𝐼2
−5𝐼3 = 0
−8𝐼3 = −5⌊30°
(16 + 4𝑗)𝐼3 = 10⌊0°
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44
V.2 Analyse des circuits par la méthode des nœuds
Cette méthode consiste à déterminer la différence de potentiel entre
différents nœuds par rapport au nœud de référence. Le nœud de référence est
celui par lequel beaucoup de nœud aboutissent (cfr fig. V-1).
𝑉1 −𝑉𝑚
𝑍𝐴
+
𝑉1
𝑍𝐵
+
𝑉1 −𝑉2
𝑍𝐶
=0
𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼𝐶 = 0
1° 𝑛𝑜𝑒𝑢𝑑
𝐼𝐶 + 𝐼𝐷 − 𝐼𝐸 = 0
2°𝑛𝑜𝑒𝑢𝑑
𝑉1 −𝑉2
=0
𝑍𝐶
1
𝑍
+
𝑉2
𝑍𝐷
−
𝑉2 −𝑉𝑛
𝑍𝐸
(1)
(2)
= 𝑦: 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 [𝛺−1 ] = [𝑆𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑠]
→ 𝑦𝐴 (𝑉1 − 𝑉𝑚 ) + 𝑦𝐵 𝑉1 + 𝑦𝐶 (𝑉1 − 𝑉2 ) = 0 (1)′
𝑦𝐶 (𝑉1 − 𝑉2 ) + 𝑦𝐷 𝑉2 − 𝑦𝐸 (𝑉1 − 𝑉𝑚 ) = 0 (2)′
𝑦11 𝑉1 ± 𝑦12 𝑉2 ± 𝑦13 𝑉3 = 𝐼1
{±𝑦21 𝑉1 + 𝑦22 𝑉2 ± 𝑦23 𝑉3 = 𝐼2
±𝑦31 𝑉1 ± 𝑦32 𝑉2 + 𝑦33 𝑉3 = 𝐼3
V. 3 Méthode de Thevenin et Norton
𝑍𝐴
~
𝑍𝐵
𝑍𝐶
A
𝑍𝐷
𝑍1
𝑍2
B
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
𝑍3
45
V. 3. 1 Théorème de Thevenin
Tout réseau linéaire actif de sortie A et B peut être remplacé par le
générateur de Thevenin.
𝑍𝑡ℎ
A
𝑉𝑡ℎ
𝐼1 =
𝑍1
𝑉𝑡ℎ
𝑍𝑡ℎ +𝑍1
Le générateur de Thevenin est
une source de tension en série
avec une impédance.
B
𝑉𝑡ℎ : Tension qui apparait aux bornes A-B, on la détermine par l’une des
méthodes vues précédemment.
𝑍𝑡ℎ : On court circuite le générateur puis on calcule Z équivalente ou encore on
mesure l’impédance du réseau par l’Ohmmètre. 𝑍𝑡ℎ est aussi appelée
impédance interne de Thevenin.
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 :
−𝑗5𝛺
50⌊0° 𝑉
A
5Ω
~
I
Calculer la tension de
Thevenin et
l’impédance 𝑍𝑡ℎ .
𝑗5𝛺
B
Solution
𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝐴𝐵 = 𝐼(5 + 5𝑗) → 𝐼 =
50⌊0°
5−5𝑗+5𝑗
= 10⌊0° 𝐴
𝑉𝑡ℎ = 10(5 + 5𝑗) → 𝐼 = 50 + 50𝑗 = 70,7⌊45° 𝑉
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46
𝑍𝑡ℎ =
−5𝑗(5+5𝑗)
−5𝑗+5+5𝑗
= (5 − 5𝑗)𝛺
A
Calculer 𝐼1 si
𝑍𝑡ℎ = 5 − 5𝑗
70,7⌊45°
𝑍1
𝑉𝑡ℎ
5 − 5𝑗
𝑍1 = 5 − 5𝑗
B
𝐼1 =
𝐼1 =
𝑉𝑡ℎ
𝑍𝑡ℎ +𝑍1
70,7⌊45°
5−5𝑗+5−5𝑗
=
70,7⌊45°
10−10𝑗
=
70,7⌊45°
14,4⌊−45°
= 5,5⌊90°
V. 3. 2 Théorème de Norton
Ici on remplacera le réseau par une source de courant en parallèle avec
une résistance.
A
𝐼𝑁 = 𝐼𝑁
𝑍𝑁
𝑍𝑁 +𝑍
Diviseur
de courant
𝐼𝑁
𝑍𝑁
Z
B
𝐼𝑁 est le courant qui passe
lorsque A et B sont court
circuités
NB : Pour un même réseau 𝑅𝑡ℎ = 𝑅𝑁
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47
Exemple :
A
𝐼𝑁 =
−5𝑗𝛺
50⌊0°
−𝑗5
=
50⌊0°
5⌊−90°
5Ω
𝐼𝑁
~
𝐼𝑁 = 1𝑂⌊90°
𝑗5𝛺
B
A
𝑍𝑁 = (5 − 5𝑗)𝛺
10⌊90° 𝐼𝑁
B
V. 4 Transfiguration
𝑌 → ∆ : Etoile vers Triangle
𝑍𝐵
𝑍𝐴 =
𝑍𝐵 =
𝑍1
𝑍3
𝑍𝐴
𝑍2
𝑍𝐶 =
𝑍𝐶
𝑁
𝑍3
𝑁
𝑍2
𝑁
𝑍3
Avec :
𝑁 = 𝑍1 𝑍2 + 𝑍2 𝑍3 + 𝑍1 𝑍3
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48
∆→ 𝑌 : Triangle vers étoile
𝑍1 =
𝑍𝐴 𝑍𝐵
𝑍2 =
𝑍𝐴 𝑍𝐶
𝑍3 =
𝑍𝐵 𝑍𝐴
𝑃
𝑃
𝑃
𝑃 = 𝑍𝐴 + 𝑍𝐵 + 𝑍𝐶
V. 5 Les théorèmes de Thevenin et Norton
Exercices (1) : Théorème de Thevenin
Lorsqu’on a un réseau actif linéaire dont les bornes de sortie sont A et B,
nous devons calculer la tension V’ et l’impédance z’.
A
A
Réseau
actif
linéaire
Z’
V’
B
B
5Ω
~
𝑗3𝛺
2Ω
55,8⌊−17,4°
6Ω
𝑗5𝛺
1
A
2
B
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49
Maille 1 : 𝐼1 5 + (𝐼1 − 𝐼2 )5𝛺𝑗 = 55,8⌊17,4°
Maille 2 : (𝐼2 − 𝐼1 )𝑗5𝛺 + (2 + 𝑗3)𝐼2 + 𝐼2 6 = 𝑂
(5 + 5𝑗)𝐼1 − 𝑗5𝐼2 = 55⌊−17°
−𝑗5𝐼1 + (8 + 𝑗8)𝐼2 = 0
5 + 5𝑗
[
−𝑗5
−𝑗5 𝐼1
55,8⌊−17,4°
]
][ ] = [
8 + 𝑗8 𝐼2
0
𝐼1 =
(55,8⌊−17,4°)(8+𝑗8)−0
𝐼1 =
631,098⌊27,6°
𝐼2 =
𝐼2 =
=
(5+5𝑗)(8+8𝑗)−(𝑗5)2
83,81⌊72,64°
83,81⌊72,6°
40+40𝑗+40𝑗+25−40
=
−5𝑗 55,8⌊−17,4°
83,81⌊72,64°
631,098⌊27,6°
25+80𝑗
=
5⌊90° 55,8⌊−17,4°
83,81⌊72,64°
↔ 𝐼2 = 3,32⌊0°𝐴
𝑉 ′ = 3. 32⌊0°. 6 = 20⌊0° 𝑉
𝑍′ =
=
↔ 𝐼1 = 7,53⌊−45°
(5+5𝑗) 55,8⌊−17,4°
|
|
−5𝑗
0
83,81⌊72,64°
279⌊72,6°
55,8⌊−17,4° 11,31⌊45°
5Ω
2Ω
5𝑗5
[5+𝑗5+(2+3𝑗)]6
5𝑗5
(5+𝑗5+2+3𝑗+6)
j3Ω
j5Ω
(5+𝑗5)(2+3𝑗)
]6
5+𝑗5
5𝑗5 (5+𝑗5)(8+3𝑗)
(5+𝑗5+
)
5+𝑗5
5𝑗5
𝑍′ =
𝑍′ =
𝑍′ =
[5+𝑗5+
5𝑗5+(5+𝑗5)(2+3𝑗)
]6
5+𝑗5
5𝑗5+(5+𝑗5)(8+3𝑗)
5+𝑗5
[
(50𝑗−5)6
25+80𝑗
=
=
300𝑗−30
25+80𝑗
6Ω
A
B
(5𝑗5+10+15𝑗+10𝑗−15)6
5𝑗5+40+15𝑗+40𝑗−15
=
60𝑗−6
5+16𝑗
=
60,29⌊95,71°
16,76⌊72,64°
𝑍 ′ = 3,59⌊23,06° 𝛺
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50
3,59⌊23,06° 𝛺
4Ω
~
V’
~
6𝑉1
16,76
→
⌊90° − 72,64° = 20⌊0°
6𝑉1
16,76
𝑉1 =
20⌊0° 𝑉
⌊17,38° = 20⌊0°
20°⌊0° .16,76
6⌊17,36°
= 57,87⌊−17,36°
𝑉1 = 57,87⌊−17,36° V
Exercices (2) : Théorème de Norton
M
A
A
I’
I
B
Z’
B
Pour déterminer le courant I’ débité par le réseau, on court circuite la
sortie AB.
Même question que (1)
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
51
𝐼1 5 + (𝐼1 − 𝐼2 )𝑗5 = 55,8⌊−17,4°
(2 + 𝑗3)𝐼2 + (𝐼2 − 𝐼1 )𝑗5 = 0
{
(5 + 𝑗5)𝐼1 + (−𝑗5)𝐼2 = 55,8⌊−17,4°
→ −𝑗5𝐼1 + (2 + 8𝑗)𝐼2 = 0
𝐼2 = 𝐼 ′ =
|
5+𝑗5 55,8⌊−17,4°
|
−𝑗5
0
5+𝑗5 −𝑗5
|
|
−𝑗5 2+8𝑗
↔ 𝐼 ′ = 3,32⌊0 𝐴
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52
Chap. VI Eléments passifs et leur groupement
VI. 1 L’impédance et ses composantes
VI. 1. 1 Elément passif en alternatif
En courant alternatif, comme en continu, un élément de circuit est dit
passif lorsque toute l’énergie qui lui est apporté par le courant s’y transforme par
effet Joule. Cette définition exclut les machines tournantes (moteurs et
générateurs) et aussi les circuits qui sont en induction mutuelle
(transformateurs).
En courant continu, en régime établi, les champs électriques et
magnétiques sont invariables : le seul phénomène à considérer est l’effet Joule si
bien qu’une seule donnée, la résistance, suffit à caractériser un élément passif.
En courant alternatif les phénomènes sont plus complexes, même pour les
éléments suffisamment petits pour que l’on puisse y considérer l’état comme
quasi-stationnaire, en négligeant les phénomènes de propagation.
Le champ magnétique, fonction alternative du temps produit des fém
d’induction dans le conducteur-lui-meme : ce sont des effets d’auto induction.
Si bien que, tout au long d’un conducteur parcouru par un courant
alternatif, il se produit en permanence et simultanément :
 Des effets Joules ;
 Des effets d’auto induction ;
 Des effets de capacité.
VI. 1. 2 L’impédance
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
53
Fig. VI-1 :
Expérience. (A l’aide d’un auto-transformateur, spécial qui est branché)
A l’aide d’un auto transformateur, transformateur spécial qui est branché
au réseau par son primaire, donne au secondaire des tensions réglables,
appliquons à un élément de circuit, formé d’une bobine B, en série avec un
rhéostat Rh une tension sinusoïdale réglable de 0 à 220 V.
Le voltmètre, l’ampèremètre et le wattmètre et mesurent respectivement
pour chaque expérience U, I et P. Les résultats sont consignés dans le tableau ciaprès.
Z = U⁄ 𝑰
S=UI
𝐜𝐨𝐬 𝝋
= 𝑷⁄𝑺
183
16
0.63
183
66
0.70
105
183
149
0.70
185
183
264
0.70
U
I
P
55
0.30
10
110
0.60
47
165
0.90
220
1.20
Mesures
calculs
L’oscilloscope indique que le courant est, comme la tension, pratiquement
sinusoïdal et qu’il est en retard sur celle-ci d’environ 1⁄8 de période, ce qui
confirme le calcul de cos 𝜑 et précise le sens du déphasage.
Nous constatons que :
 Le rapport U/I et ;
 Le déphase 𝜑 gardent la même valeur pour toutes les tensions.
Le rapport constant U/I est appelé « impédance » de l’élément de circuit. Il se
mesure en ohm (voltmètre/ ampère) comme la résistance en continu. On le
représente ordinairement par la lettre z, d’où :
𝑈 =𝑍×𝐼
(𝑉𝐼. 1)
Tension efficace = impédance × courant efficace
volts
ohms
ampères
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
54
L’expression (VI.1) est tout à fait analogue à la formule de la loi d’ohm en
continu 𝑈 = 𝑅. 𝐼
Mais il y a une différence essentielle entre z (alternatif) et R(continu) c’est
que l’impédance z dépend de la fréquence.
Exemple : Appliquons à l’élément de circuit une tension de 110V − 25Hz
𝑃 = 74 𝑊
𝑓 = 25 𝐻𝑧 | 𝐼 = 0,75 D’où par calcul Z = 147 Ω, cos 𝜑 = 0,88
𝑈 = 110 𝑉
(Au lieu de 183Ω et 0,7 pour 50Hz)
VI. 1. 3 Impédance vectorielle
En continu, pour donner la relation entre le courant et la tension aux
bornes d’un élément passif une seule constante suffit, la résistance R en ohms.
En alternatif, pour une fréquence donné, il faut deux caractéristique z et
𝜑.
Pour définition on appelle impédance vectorielle, l’ensemble de ces deux
caractéristiques réunies dans le symbole Z⌊𝜑. Nous allons donc écrire la relation
⃗ 𝑒𝑡 𝐼 , vecteurs représentant respectivement la tension aux bornes u et le
en 𝑈
vecteur courant i sous la forme symbolique.
𝑈 = 𝑍⌊𝜑 𝐼
(VI.2)
Le signe de la multiplication signifie ci que pour passer du vecteur 𝑖 au
vecteur 𝑢
⃗ , on applique au vecteur 𝐼 le traitement suivant la figure VII-2 :
 Multiplication de la norme par le nombre z ;
 Rotation de l’angle 𝜑 dans le sens des avances.
En mathématique, on dit que 𝑧⌊𝜑 est un operateur agissant sur le vecteur 𝐼
dans le cas particulier où z = 1, le vecteur tourne seulement de l’angle 𝜑 et I⌊𝜑
est un operateur de rotation. Ordinairement on met le signe de la multiplication
⃗ = 𝑍⌊𝜑𝐼
et on écrit 𝑈
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55
⃗
𝑈
𝑈 = 50. 𝐼 = 100𝑉
z
45°
0
𝑖 = 2𝐴
𝑧 sin 𝜑 = 𝑥
𝜑
𝐼
𝑍 cos 𝜑 = R
0
Fig VI-2
x
Fig VI-3
VI. 1. 4 Vecteur impédance et ses composantes
Par définition, le vecteur impédance est un vecteur de norme z (de
longueur z à l’échelle conventionnelle pour les ohms) et faisant un angle 𝜑 avec
un axe conventionnellement choisi fig VI-3.
a) Résistance : 𝑃 = 𝑈 𝐼 cos 𝜑 remplaçons U par Z I
P = 𝐼 2 𝑍 cos 𝜑 Or selon Joule 𝑃 = 𝐼 2 𝑅. → 𝑍 cos 𝜑 = 𝑅
b) Réactance : 𝑄 = 𝑈𝐼 sin 𝜑 remplaçons U par ZI
𝑄 = 𝐼 2 𝑍 sin 𝜑 [𝑣𝑎𝑟𝑠] par définition, on appelle réactance X, la
composante Zsin 𝜑 → 𝑍 sin 𝜑 = 𝑥 [𝛺] → 𝑄 = 𝐼 2 𝑋
c) Puissance : la puissance apparente 𝑆 = 𝑈𝐼 peut s’écrire 𝑍𝐼 2 en [𝑉. 𝐴] d’où :
𝑆 = 𝑍𝐼 2
𝑃 = 𝑅𝐼 2
𝑄 = 𝑋𝐼 2
[𝑉𝐴]
[𝑊]
[𝑉𝑎𝑟]
Avec Z, R et X en ohms.
En multipliant par 𝐼 2 les cotés du triangle rectangle de 𝑧 on obtient un triangle
semblable dont l’hypoténuse est S et les cotés respectivement P et Q.
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56
VI. 2 Les éléments purs
VI. 2. 1 Qu’est ce qu’un élément pur ?
C’est un élément tel que l’un des trois phénomènes :
 Effet Joule ;
 Auto induction et ;
 Capacité.
L’importe suffisamment sur les autres pour qu’on puisse le prendre seul en
considération en négligeant les autres. Nous avons donc trois sortes d’éléments
purs à savoir :
 Les résistances sans inductions ni capacités ;
 Les inductions sans résistances ni capacités et ;
 Les capacités sans résistances ni auto inductances.
Nous allons donc procéder leurs études.
VI. 2. 2 Résistance pure
Nous rappelons que 𝑈 = 𝑅𝐼 et que dans ce cas 𝜑 = 1 d’où 𝑥 = 0, 𝑍 =
𝑅, l’impédance se réduit en une résistance et pour les puissances :
𝑆 = 𝑅𝐼 2 ; 𝑃 = 𝑅𝐼 2 ; 𝑄 = 0.
VI. 2. 3 Inductance pure
Soit une inductance L henry (H) d’une bobine et R sa résistance. En
adoptant le même sens positif pour le courant et fém on a successivement.
Tension + fém = chute ohmique
𝑢 + 𝑒 = 𝑖𝑅; 𝑒 = −𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
→𝑢=𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖
Pour une inductance pure 𝑅𝑖 = 0 → 𝑢 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
En sinusoïdal, nous utilisons la représentation de Fresnel. Pour passer de
𝑑𝑖
vecteur 𝐼 représentant i au vecteur représentant ( ) il faut :
𝑑𝑡
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57
 Faire tourner 𝐼 de 𝜋⁄2 ;
 Multiplier son module par 𝜔.
⃗ il faut en outre multiplier le module par L. On obtient les
Pour obtenir 𝑈
relations :
𝑈 = 𝐿𝜔𝐼; 𝜌 = +
𝜋
2
R
I
𝑖
𝑈 = 𝑅𝑖
L
i
𝑖
C
𝑑𝑢
𝑖=𝐶
𝑑𝑡
𝑈 = 𝑅𝐼
⃗
𝑈
𝑑𝑖
𝑈=𝐿
𝑑𝑡
i
⃗
𝑈
𝑖
𝑈 = 𝐿𝜔𝐼
𝜋
2
−𝜋
2
⃗
𝑈
U
𝐼 = 𝐶𝜔𝑈
Fig VI-4 : Relation entre tension et courant pour les éléments purs
Une inductance pure a donc pour impédance 𝑍 =
𝜋
𝑈
𝐼
= 𝐿𝜔 et pour
impédance vectorielle 𝑍 = 𝐿𝜔 ⌊ ce vecteur admet pour composantes :
2
 La résistance 𝑅 = 0 ;
 La réactance 𝑋 = 𝐿𝜔 (positive).
L’impédance Z se réduit à la réactance les puissances s’écrivent :
𝑆 = 𝐿𝜔𝐼 2 ; 𝑃 = 0; 𝑄 = 𝐿𝜔𝐼 2 (Positive).
VI. 2. 4 Capacité pure
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58
A.C
~
𝑙1
𝑖
B
100 𝜇𝐹
A
𝑙2
𝑖
D.C
Fig. VII-5
Expérience : le montage est celui de la figure VI-5. Grace au commutateur à
deux directions, les bornes du condensateur de capacité 100𝜇𝐹 peuvent être
connectées soit sur une source de tension continue, soit sur une source de
tension alternative. Deux petites lampes sont insérées sur les fils de connexion.
Lorsqu’on applique la tension continue, les 2 lampes jettent un bref
éclair, puis redeviennent sombres en régime permanent.
Lorsqu’on applique la tension alternative, les deux lampes brillent en
permanence.
 En D.C, en régime établi, cette charge est constante 𝑄 = 𝐶𝑈 et aucune
charge ne parcourt les fils de connexion dans lesquels le courant est nul :
le condensateur constitue une coupure du circuit.
Pendant les phénomènes transitoires qui se produisent à la fermeture
du commutateur, une quantité d’électricité égale à + 𝑄 parcourt le fil (et la
lampe en série) qui réunit l’armature A à la borne (+) c’est un courant
transitoire qui produit l’éclair de la lampe.
Mais pendant le même temps, une charge + 𝑄 quitte l’autre armature
B et parcourt le fil qui la relie à la borne (−) : d’où dans ce fil un courant
exactement égal à chaque instant à celui qui parcourt l’autre fil de connexion.
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59
En apparence, tout se passe comme si un courant traversait le condensateur
pendant le régime transitoire.
En A.C, en régime établi, le condensateur se charge et se décharge
dans un sens, puis dans l’autre 50 fois par seconde : un courant
alternatif « permanent » le condensateur.
Il faut bien entendu, appliquer au mot « traverser » le sens expliqué en
continu : le courant qui arrive à une armature à la même valeur instantanée
que le courant qui parcourt l’autre armature.
Sachant que ∆𝑞 = 𝑖∆𝑡, or 𝑞 = 𝐶𝑢
∆𝑞 = 𝐶 ∆𝑢 = 𝑖 ∆𝑡 : d’où 𝑖 = 𝐶
∆𝑢
∆𝑡
𝑑𝑢
→𝑖 =𝐶( )
𝑑𝑡
⃗ à 𝐼 , on procède par une
Dans le plan de Fresnel pour passer de 𝑈
1
rotation de + 𝜋⁄2 et une multiplication par 𝐶𝜔. D’où 𝐼 = 𝑈𝐶ω ou U =
avec
Cω
𝜋
𝜑=
2
La capacité pure a donc une impédance 𝑍 = 𝑈⁄𝐼 = 1⁄𝐶𝜔 et pour
impédance vectorielle 𝑍 =
1
𝐶𝜔
⌊− 𝜋⁄2. Ce vecteur admet pour composantes :
 La résistance R = 0 ;
 La réactance 𝑥 = −
1
𝐶𝜔
(négative)
Les puissances s’écrivent : 𝑆 =
𝐼2
𝐶𝜔
; 𝑃 = 0; 𝑄 = −
𝐼2
𝐶𝜔
Le condensateur est un générateur de puissance réactive.
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60
VI. 3 Eléments purs réel
VI. 3. 1 Les résistances
a) En fréquences industrielles
Lorsque la section d’un fil conducteur est très grande, il se produit un
effet d’auto-induction à l’intérieur du conducteur : les lignes de courant sont
rejetées vers la surface externe. La partie centrale ne participant que peu ou pas
du tant à la conduction, un conducteur cylindrique massif conduit le courant
comme le ferait un tube d’épaisseur e, le section utile est plus petite que la
section géométrie : la résistance en A.C est plus grande qu’en D.C.
b) En radiofréquence
En radiofréquences la peau devient très mince, par exemple pour le
cuivre, à la fréquence de 50106 𝐻𝑧 = 50 𝑀𝐻𝑧, elle n’est plus que de 10𝜇𝑚.
VI. 3. 2 Les inductances
En fréquences industrielles dans un bobinage masse, surtout s’il entoure
un circuit ferromagnétique, les effets d’auto-induction sont très prépondérants.
Cependant, si les effets de capacité sont ordinairement négligeables, la
résistance n’est généralement pas suffisamment petite pour qu’on puisse la
négliger.
La relation entre 𝜇 𝑒𝑡 𝑖 s’écrit alors :𝜇 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖
C’est précisément la relation entre 𝜇 𝑒𝑡 𝑖 pour un élément de circuit formé
d’une inductance pure L et d’une résistance pure R mis en série. La bobine est
équivalente à cet ensemble dont nous (étudions) étudierons les propriétés dans
les lignes qui suivent.
VI. 3. 3 Les condensateurs
Les condensateurs réels sont des capacités pratiquement pures aux
fréquences industrielles.
Il en est de même en haute fréquence lorsque l’isolant entre les armatures
est l’air. Lorsque cet isolant est un solide (mica, papier,…) il s’y produit des
pertes d’énergie analogue aux pertes par hystérésis magnétique. Le condensateur
est alors équivalent à une capacité pure en série avec une petite résistance.
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61
VI. 4 Eléments en série
VI. 4. 1 Inductance et résistance en série
a) Inductance et résistance pures
Cherchons l’impédance 𝑍⌊𝜑 de l’ensemble ; pour cela dressons un tableau
des résistances et réactances.
Pour l’inductance
R
X
0
𝐿𝜔
𝑍
L𝜔
𝜋
2
𝜑
Pour la résistance
R
0
R
𝑍 = √𝑅 2 + 𝐿2 𝜔 2
Pour l’ensemble
𝐿𝜔
R
tan 𝜑 =
𝐿𝜔
𝑅
Ici R et L sont en série.
D’où 𝑍 = √𝑅2 + 𝐿2 𝜔2
tan 𝜑 =
𝐿𝜔
𝑅
𝑅
𝐿𝜔
𝑍
𝑍
; cos 𝜑 = ; sin 𝜑 =
En traduisant la figure ci-haut on a : 𝑍 = ⃗⃗⃗⃗
𝑍1 + ⃗⃗⃗⃗
𝑍2
Avec :
 ⃗⃗⃗⃗
𝑍1 = 𝑅⌊0 ;
 𝑍 = 𝐿𝜔⌊𝜋⁄2 .
Les puissances deviennent : 𝑆 = 𝑍𝐼 2 ; 𝑃 = 𝑅𝐼 2 ; 𝑄 = 𝐿𝜔𝐼 2
b) Bobine réelle
Elle est équivalente à l’ensemble R, L en série. Lorsque la bobine est sans
fer, R est égal à la résistance r du fil bobine.
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62
Mais lorsque le bobinage insère un noyau en fer, la puissance 𝑃 = 𝑅𝐼 2
doit rendre compte de toute l’énergie dégradée par seconde en énergie
calorifique, aussi bien celle par effet Joule dans le cuivre 𝑟𝐼 2 que celle résultant
des pertes dans le fer (hystérésis et courant de Foucault) 𝑃𝑓 .
D’où 𝑅𝐼 2 = 𝑟𝐼 2 + 𝑃𝑓 ou 𝑅 = 𝑟 +
𝑃𝑓
⁄2
𝐼
La résistance équivalente R est ordinairement bien supérieur à r
Rappelons que le fer ne doit pas être saturé pour que le courant dans la bobine
reste sinusoïdal.
VI. 4. 2 Inductance, capacité et résistance en série
Pour déterminer l’impédance vectorielle 𝑍⌊𝜑 de cet ensemble, dressons
un tableau des résistances et des réactances.
R
X
Inductance
0
L𝜔
Capacité
0
Résistance
R
0
Ensemble
R
𝐿𝜔 −
L’impédance 𝑍 = √𝑅2 + (𝐿𝜔 −
1
1
𝑅
𝐶𝜔
tan 𝜑 = [𝐿𝜔 −
−
1
𝐶𝜔
1
𝐶𝜔
1
𝐶𝜔
)
]
La figure ci-après représente le diagramme des tensions et le diagramme des
impédances qui s’en déduit en devisant les modules de tous les vecteurs tension
par I. On y constate que :
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63
 Les rôles de l’inductance et de la capacité sont antagonistes ;
 La tension aux bornes de la capacité 𝐼⁄𝐶𝜔 et celle aux bornes de
l’inductance 𝐿𝜔. 𝐼 peuvent être beaucoup plus grandes que la tension U
aux bornes de l’ensemble, il y a « surtension »
o 𝜑 > 0 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐿𝜔 >
1
𝐶𝜔
, l’élément est récepteur de puissance
réactive, il est dit inductif ;
o 𝜑 < 0 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐿𝜔 <
1
𝐶𝜔
, l’élément est générateur de puissance
réactive, il est dit capacité.
VI. 4. 3 Résonance
L
R
C
𝑈𝐿
𝑈𝑅
𝑈𝐶
U
1
𝐶𝜔
𝑈𝑅 = 𝑅𝐼
𝑈𝐿
𝑍
𝜑
U
𝐿𝜔
𝑈𝐿 = 𝐿𝜔𝐼
𝜑
𝑈𝐶
𝑈𝐿
R
𝑈𝑅
𝐼
1
𝑈𝐶 =
𝐶𝜔
𝑍 = √𝑅 2 + (𝐿𝜔 −
tan 𝜑 =
On dit qu’il y a résonance lorsque 𝐿𝜔 =
1
𝐶𝜔
1 2
)
𝐶𝜔
𝐿𝜔 − 1⁄𝐶𝜔
𝑅
; ce qui s’écrit aussi 𝐿𝐶𝜔2 =
1
La résonance s’explique dans le cas où la réactance s’annule alors et
l’impédance Z se réduit à la résistance R : c’est la valeur minimale qu’elle
puisse prendre.
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64
Lorsque, de plus, la résistance est petite devant la valeur absolue
commune des réactances de la capacité (
1
𝐶𝜔
) et de l’inductance (𝐿𝜔) le courant
est intense : la surtension devient très grande.
16V
~
160 V
V
V
C
Appliquons aux bornes de l’ensemble une tension de 16 V-50Hz et
mesurons avec un voltmètre.
 La tension aux bornes du condensateur, 160 V ;
 La tension aux bornes de la bobine, environ 161 V.
La surtension se définit comme le rapport entre la tension aux bornes du
condensateur et la tension aux bornes de l’ensemble, ici 160/16 = 10
Explication : l’impédance de l’ensemble se réduit à la résistance. D’où un
courant :
𝐼=
1
𝐶𝜔
16
32
= 0,5 𝐴 𝑜ù 𝑋 = 𝐿𝜔 = 320𝑟, 𝑅 = 32𝛺
= 𝐿𝜔 = 320 𝛺 𝑠𝑜𝑖𝑡
1
320.314
= 𝐶 → 𝐶 = 10−5 𝐹 = 10𝜇𝐹.
On appelle « facteur de qualité » Q d’une bobine (a ne pas confondre avec
la puissance réactive) est le rapport 𝑄 =
𝑅é𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒
𝑅é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒
=
𝐿𝜔
𝑅
Lorsque on met une bobine en résonance avec un condensateur la
surtension est égale au facteur de qualité de la bobine.
En haute fréquence on réalise des bobinages dont le facteur de qualité est
supérieur à plusieurs centaines.
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65
VI. 5 Eléments en parallèle
VI. 5. 1 Formules générales
𝑖1
⃗
𝑈
𝜑1
𝑍2 ⌊𝜑
𝑖2
𝑖
𝐼 = ⃗⃗𝐼1 + ⃗⃗𝐼⃗2 + ⃗⃗𝐼⃗3
𝑍1 ⌊𝜑
𝑖
𝜑
𝜑2
𝑍3 ⌊𝜑
𝑖3
𝜑3
U
𝐼1 =
𝐼2 =
𝐼3 =
𝑈
𝑍1
𝑈
𝑍2
𝑈
𝑍3
VI. 5. 2 Résistance, inductance et capacité en parallèle
Les trois éléments sont supposés purs. D’où
𝑈
⃗⃗⃗⃗
𝑍1 = 𝑅⌊0; 𝐼𝑅 = ∶ 𝐼⃗⃗⃗𝑅 𝑒𝑛 𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑈;
𝑅
𝜋
⃗⃗⃗⃗
𝑍2 = 𝐿𝜔 ⌊+ ∶ 𝐼𝐿 =
2
𝑈
𝐿𝜔
∶ ⃗⃗⃗
𝐼𝐿 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑖è𝑟𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑈;
𝜋
⃗⃗⃗⃗
𝑍3 = 1/𝐶𝜔 ⌊− ∶ 𝐼𝐶 = 𝑈𝐶𝜔 ∶ ⃗⃗⃗
𝐼𝐿 en quadrature avant avec U.
2
1 2
1
2
1
⃗ ).
𝐼 = 𝑈√( ) + ( − 𝐶𝜔) tan 𝜑 = 𝑅 [ − 𝐶𝜔] avec 𝜑 = (𝐼 , 𝑈
𝑅
𝐶𝜔
𝐿𝜔
D’où l’impédance de l’ensemble est 𝑍 =
1
2
2
√( 1 ) +( 1 −𝐶𝜔)
𝑅
𝐿𝜔
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66
La formule donnant tan 𝜑 est valable algébriquement :
o 𝜑 > 0 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐿𝜔 > 𝐶𝜔, le circuit est inductif ;
o 𝜑 < 0 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐿𝜔 < 𝐶𝜔, le circuit est capacité.
𝐼⃗⃗⃗𝑅
⃗
𝑈
⃗⃗⃗
𝐼𝑅 =
𝑈
⌊0
𝑅
R
𝑖
⃗⃗⃗
𝐼𝐿
𝐼
⃗⃗𝐼⃗𝐿 =
L
𝑈
⌊−𝜋/2
𝐿𝜔
𝑖
C
⃗⃗⃗
𝐼𝐶
⃗⃗⃗
𝐼𝐶 = 𝑈𝐶𝜔⌊𝜋/2
U
VI. 5. 3 Résonance parallèle
Plaçons-nous dans l’hypothèse où une inductance pure L (sans résistance)
est mise en parallèle avec un condensateur de capacité C, parfait lui aussi,
l’élément résistant étant supprimé. Les formules du paragraphe précédent
s’appliquent encore en supposant que la résistance de la 3° branche devient
infinie. Il suffit donc d’y faire 1/R = 0 ; d’où
𝐼 = 𝑈[
1
𝐿𝜔
− Cω] 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒
1
𝐿𝜔
= 𝐶𝜔, le courant total I est nul,
quelle que soit la grandeur de la tension U. L’ensemble L, C en parallèle oppose
un obstacle infranchissable aux courants de pulsation 𝜔 : c’est pourquoi on dit
d’une façon imagée qu’il constitue un circuit « bouchon » (pour cette pulsation).
On dit encore qu’il y a résonance parallèle. La condition s’écrit, comme pour la
résonance série : 𝐿𝐶𝜔2 = 1 → 𝐼1 =
𝑈
𝐿𝜔
𝑒𝑡 𝐼2 = 𝑈𝐶𝜔 ne sont pas nuls.
𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 = 0 ↔ 𝑖1 = −𝑖2
VI. 5. 4 Conséquences et applications de la résonance
Les phénomènes de résonance peuvent produire de grandes surtensions ou
de grandes surintensités.
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67
 En électrotechnique, ils peuvent se produire que dans des circonstances
exceptionnelles où des courant parasites de fréquences harmoniques
150Hz, 250Hz (et plus) prennent naissance. Ce sont des accidents
heureusement très rares, qui peuvent produire de grands désordre dans le
réseau ;
 En haute fréquence (télécom) au contraire, un usage systématique de la
résistance afin de multiplier d’une façon sélective une petite tension par la
surtension d’une réactance série, un petit courant par surintensité d’une
résonance parallèle.
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68
CHAP. VII RESEAUX ALTERNATIFS
VII. 1 Les éléments actifs
VII. 1. 1 Loi d’ohm pour un élément actif
En alternatif, comme en continu, un élément actif est un élément dans
lequel il se produit une transformation d’énergie de la forme électrique à la
forme mécanique (moteur) ou inversement (générateur) : l’élément comporte
alors un électromoteur de force électromotrice e.
L’élément actif est en outre le siège :
 D’un phénomène d’auto induction caractérisé par une inductance propre
L.
 D’un effet Joule caractérisé par une résistance R.
Avec nos conventions de signe habituelles ou a :
 Pour un récepteur (moteur) 𝑢 = 𝑒 + (𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖) ; (VII.1)
 Pour un générateur (alternateur) 𝑢 = 𝑒 − (𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖) ; (VII.2)
𝑑𝑖
La somme (𝐿 + 𝑅𝑖) remplace le terme unique de chute de tension
𝑑𝑡
ohmique R.I qui apparait en courant continu : on l’appelle chute interne de
𝑑𝑖
tension ; elle est constituée de deux termes : 𝐿 , proportionnel à
𝑑𝑡
l’inductance, R.i, proportionnel à la résistance.
Seul ce dernier terme correspond à une perte de puissance active.
VII. 1. 2 Les diagrammes vectoriels
En électrotechnique des courants sinusoïdaux, celle que nous étudions ici,
les relations (1) et (2) se traduisent par des diagrammes vectoriels.
a) Cas d’un récepteur
⃗⃗⃗⃗⃗ de module R.I
Le diagramme est celui de la figure VII-1 a), sur lequel 𝐴𝐵
est en phase avec 𝐼 ; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 de module 𝐿𝜔𝐼 est en quadrature avant sur 𝐼 .
Ce qui s’écrit en posant :
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69
𝐿𝜔 = 𝑋,
𝑍 = √𝑅2 + 𝐿2 𝜔 2
tan 𝜑 =
𝐿𝜔
𝑅
⃗ = 𝐸⃗ + 𝑍⌊𝜑 𝐼
𝑈
𝑍⌊𝜑 est l’impédance vectorielle interne du récepteur, elle remplace, la
résistance dans la formule des récepteurs en courant continu (𝑈 = 𝐸 + 𝑅𝐼)
Ses composantes sont :
 La réactance interne X ;
 La résistance interne R.
R
𝑒
L
L
R
U
𝑒
U
⃗ = 𝐸⃗ − 𝑍⌊𝜑 𝐼
𝑈
⃗ = 𝐸⃗ + 𝑍⌊𝜑 𝐼
𝑈
C
⃗
𝑈
zI
0
XI
A
𝐸⃗
⃗
𝑈
RI
B
𝐼
a) Récepteur
b) Générateur
Figure VII-1 : convention des signes et diagramme vectoriels
b) Cas d’un générateur
Le diagramme est représenté par la figure VII-1 b) ; la relation vectorielle
⃗ = 𝐸⃗ − 𝑍⌊𝜑 𝐼
s’écrit : 𝑈
Par rapport au cas du récepteur, il y a changement de signe devant le
terme de chute de tension 𝑍⌊𝜑 𝐼
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70
⃗ et 𝐸⃗ . Ce qui correspond à
Sur le graphique, cela revient à échanger 𝑈
écrire la relation du générateur sous la forme.
⃗ = 𝐸⃗ + 𝑍⌊𝜑 𝐼
𝑈
Exemple : Fém d’un alternateur
Traitons le problème suivant.
Quel que soit le courant débité, la tension aux bornes d’un alternateur doit
être maintenue constante et égale à 10 000 V- 50Hz par le réglage de la force
électromotrice.
L’impédance interne réduit à une réacteur 𝑥 = 1𝛺 (R étant faible devant
x).
Déterminer la fém dans le cas suivant :
1°) à vide ;
2°) pour un courant de 10 000 A en phase avec la tension (cos 𝜑 = 1) ;
3°) pour un courant de 10 000 A en quadrature AB avec la tension (cos 𝜑 = 0).
Solution
1°) 𝐸 = 𝑈 = 10 000𝑉
2°) 𝐸 = √(10 000)2 + (10 000)2 = 14140V
3°) 𝐸 = 10000 + 10000 = 20000𝑉
𝐸⃗
XI
⃗
𝑈
E= 14140V
xI
I=0
E=U=10000V
𝜋/2
a) cas général
U
I
XI
U
𝐸 = 20000
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71
Figure VII-2 : Le fém d’un alternateur.
Le diagramme de la figure VII-1 b) se simplifie (RI = 0 puisque R = 0) et
prend la forme générale de la figure VII-2 a) qui donne dans les cas particuliers
envisagés dont la solution est ci-haut.
Remarquez la grande importante de la chute de tension interne de ZI =
10 000 V ; mais cette chute de tension est purement inductive, elle n’affecte pas
le rendement. Elle oblige cependant à régler dans de très larges limites la fém de
l’alternateur, pour maintenir une tension constante aux bornes, particulièrement
dans des cas débits sur récepteur inductif.
VII. 1. 3 Caractéristiques d’un élément actif
Théoriquement, pour caractériser complètement un élément actif il faut
donner sa fém et son impédance vectorielle interne. Pratiquement, ce qui
intéresse l’utilisation c’est simplement la tension aux bornes de U et le courant
absorbé en grandeur et en phase. Par exemple, on caractérise un petit moteur
alternatif en spécifiant :
U = 220 V ; I = 2 A ; cos 𝜑 = 0, 85
Il est sous entendu que le courant est en retard sur la tension.
Les caractéristiques d’un élément se rapportent toujours à des conditions
d’emploi déterminées. Ainsi les spécifications indiquées dans les
(caractéristiques) catalogues de constructeurs sont relatifs à un certains régime
de fonctionnement nominal, considéré comme le plus avantageux compte tenu
du prix d’achat, du rendement et de la longévité.
Ordinairement, on donne pour le régime nominal une spécification plus
complète, concernant en outre la vitesse de rotation, le rendement,
l’échauffement, le type d’isolant,…
VII. 2 Réseau à courant alternatif
VII. 2. 1 Réseau à tension constante
Elément en parallèle. Nous avons dit que l’énergie électrique était
distribuée très généralement à tension constante : la société distributrice
s’engage à maintenir une certaine tension (127V ; 220V ; 380V,…) chez
l’abonné, quelque soit courant dans l’installation de cet abonné.
I.S.T.A-Lubumbashi 𝑮𝟏 Electricité Par Ass Ir Egide KASAMA MUMBA
72
Il en résulte que la tension nominale est une caractéristique fondamentale
d’un récepteur ; la tension à ses bornes ne doit guère s’écarter de cette valeur
nominale, sinon le fonctionnement devient mauvais et, même l’appareil risque
d’être détruit. Toutes les ménagères le savent, qui indiquent à l’utilisateur et
vendeur d’électroménager quelle est « leur tension ».
Le problème qui se pose le plus souvent est le suivant :
Déterminer le courant total (valeur efficace I, phase 𝜑) absorbé par un
ensemble de récepteurs en parallèle chaque récepteur étant caractérisé par le
courant qui le parcourt et son facteur de puissance.
VII. 2. 2 Calcul des caractéristiques du courant total
a) Calcul par les courants
⃗ et
La décomposition des vecteurs courants sur la direction de référence 𝑈
sur une direction perpendiculaire. Le théorème des projections permet d’écrire :
𝐼 cos 𝜑 = 𝐼1 cos 𝜑1 + 𝐼2 cos 𝜑2 + ⋯
𝐼 sin 𝜑 = 𝐼2 sin 𝜑1 + 𝐼2 sin 𝜑2 + ⋯
(𝑉𝐼𝐼. 1)
Ce qui conduit à l’énoncé :
 Le courant actif est égal à la somme des courants actifs partiels ;
 Le courant réactif est égal à la somme des courants réactifs partiels.
b) Calcul par les puissances
Multiplions tous les termes de deux égalités (1) par U.
𝑈𝐼 cos 𝜑 = 𝑈𝐼1 cos 𝜑1 + 𝑈𝐼2 cos 𝜑2 + ⋯
𝑈𝐼 sin 𝜑 = 𝑈𝐼1 sin 𝜑1 + 𝑈𝐼2 sin 𝜑2 + ⋯
→
𝑃 = 𝑈𝐼1 cos 𝜑1 + 𝑈𝐼2 cos 𝜑2 + ⋯ = 𝑃1 + 𝑃2 + ⋯
𝑄 = 𝑈𝐼1 sin 𝜑1 + 𝑈𝐼2 sin 𝜑2 + ⋯ = 𝑄1 + 𝑄2 + ⋯
Le résultat s’énonce donc comme suit :
La puissance (active) de l’ensemble des récepteurs est égale à la somme
des puissances de chacun d’eux ; il en est de meme pour les puissances
réactives.
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73
Ce que l’on exprime en disant : il y a conservation des puissances active
et réactive.
VII. 3 Importance industrielle du facteur de puissance
VII. 3. 1 Son influence sur la puissance absorbée
Une installation électrique quelconque (appartenant, atelier, usine,…)
possède des lampes, des fours, des radiateurs, des moteurs, ect… Elle reçoit une
puissance active P du réseau de distribution qui l’alimente.
Mais la distribution se fait toujours en tension sinusoïdale de valeur
efficace constante U (220V, 380V,…) : il en résulte que la valeur efficace I de
courant absorbé est, pour une puissance P donnée, inversement proportionnelle
au facteur de puissance K
𝐼=
𝑃
𝑘𝑈
Pour une puissance active à distribuée, le courant à fournir et d’autant plus
grand que le facteur puissance est petit.
Exemple :
P = 1kW ; U = 220V le réseau doit fournir :
I = 5A si cos 𝜑 = 𝑘 = 0,90
I = 7A si sin 𝜑 = 𝑘 = 0,60.
VII. 3. 2 Conséquence pratique d’un faible facteur de puissance
Le courant dans la ligne d’alimentation est plus interne, ce qui entraine :
1°) des pertes par effet Joule supplémentaires ;
2°) des chutes de tension plus élevées (donc des risques de perturbations dans la
tension de distribution)
Pour réduire ces pertes, il faut diminuer la résistance des conducteurs,
donc augmenter leur section, ce qui entraine.
1°) une consommation de cuivre plus importante ;
2°) l’emploi de pylônes et d’isolateurs mécaniquement plus résistants, ect.
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74
On dit qu’il faut surdimensionné la ligne.
Les alternateurs et les transformateurs qui alimentent la ligne doivent
aussi être surdimensionnés.
Ainsi un faible cos 𝜑 des usagers entraine pour la société de distribution
d’énergie (en R D C Snel, en Zambie Zesco) un « surdimensionnement » général
des installations : pour fournir une puissance k. U. I, elle doit construire un
réseau capable, dans les meilleures conditions d’exploitation, de débiter la
puissance U. I.
VII. 3. 3 Réaction de la société distributrice d’énergie
Pour forcer ses abonnés à réaliser un bon facteur de puissance, la société
sincère dans ses contrats de fourniture d’énergie électrique certaines stipulations.
Il faut d’abord préciser que, dans la majorité des cas, le courant i absorbé par
une installation est pratiquement sinusoïdal (comme la tension u fournie par la
société) : il en résulte que le facteur de puissance est alors égal à cos 𝜑, 𝜑 étant
le déphasage de i par rapport à u.
Le prix de base du kilowatt-heure, en haute tension (ex 20kV) est fixé en général
pour cos 𝜑 = 0,857(c’est-à-dire à tan 𝜑 = 0, 6).
 Une bonification (diminution du prix du kwh) est accordé si
cos 𝜑 > 0,857 ;
 Une pénalisation (augmentation du prix du kWh) est imposée si
cos 𝜑 < 0,857
VII. 3. 4 Facteur de puissance moyen
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75
Chap. VIII Tensions et courants triphasés
VIII. 1 Tensions triphasées
Les alternateurs industriels comportent 3 bobinages identiques,
régulièrement disposés autour de l’axe de rotation avec des décalages respectifs
d’un tiers de tour. Ils comportent donc 6 bornes dont 3 homologues sont
connectées à un même fil de la distribution dit fil neutre ; les 3 autres bornes
étant respectivement connectées à 3 fils dits de phase.
VIII. 1. 1 Tensions simples
Un tel alternateur et un tel réseau de distribution sont dits triphasés.
Les alternateurs qui alimentent ce réseau maintiennent entre les bornes 1,
2, 3 et la borne neutre des tensions notées 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 que l’on appelle « tensions
simples
3
1
2
3
N
N
N
N
1
S
2
1, 2 et 3 : Fils de phase
N
Figure VIII-1
Propriétés
 Avec un voltmètre branché entre le neutre et successivement les bornes 1,
2, 3 mesurons les valeurs efficaces 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 des trois tensions simples :
elles ont la même valeur (en général 220V sur la SNEL)
 A l’aide d’un (oscilloscope) oscillographe bi courbe faisons apparaitre :
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76
 Sur la première voie, la tension 𝑣1 ;
 Sur la seconde, la tension 𝑣2 , puis 𝑣3 .
Décalquons sur le même papier transparent les trois courbes, nous obtenons les
sinusoïdes représentées ci-bas.
v
𝑉̂
𝑣1
𝑣2
𝑣3
0
t
T
T/3
T/3
T/3
Fig VIII-2 : Tensions sinusoïdales.
𝑣2 (t) est identique à 𝑣1 (t) mais en retard de 1/3 de période ou, ce qui revient au
même, déphasé en arrière de
donc de
4𝜋
3
2𝜋
3
de même 𝑣3 est déphasé en arrière de
2𝜋
3
sur 𝑣2 ,
par rapport à 𝑣1 .
𝑣1 = 𝑉√2 sin 𝜔𝑡
𝑣2 = 𝑉√2 sin (𝜔𝑡 −
𝑣3 = 𝑉√2 sin (𝜔𝑡 −
2𝜋
3
4𝜋
3
)
(VIII. 1) système équilibré en tension.
)
Les vecteurs correspondant à ces tensions sont ⃗⃗⃗
𝑉1 , ⃗⃗⃗
𝑉2 , ⃗⃗⃗
𝑉3 dont la somme
est nulle.
→ 𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 = 0 mais 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 3𝑉 ≠ 0 (tensions efficaces).
VIII. 1. 2 Tensions composées
a) Définition
Ce sont les 3 tensions prises entre 2 bornes ou 2 fils de phase. 1-2 ; 2-3 ;
3-1, sont dites tensions composées.
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77
b) Propriétés
Soit les fils 1 et 2 disposés de manière ci-après :
𝑣12 = Potentiel du fil 1- potentiel du fil 2.
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ 12 = 𝑉
⃗1 − 𝑉
⃗ 2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣12 = 𝑣1 − 𝑣2 ; 𝑈
𝑂𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐵 = 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑈12
B
H
𝜋/3
0
𝐴1
⃗⃗⃗
𝑉1
⃗⃗⃗
𝑉2
2𝜋⁄
3
𝐴2
Fig VIII-3 : Relation tension composée et simple
2𝜋
Soit le triangle OA, B, 𝐴̂ =
3
̅̅̅̅ = 𝑈 = 2𝑂𝐻 → 𝑂𝐻 = 𝐻𝐵
𝑂𝐵
𝜋
2𝑂𝐻 = 2𝑉 sin = 𝑉 √3
3
→ 𝑈 = 𝑉√3 ou 𝜑 =
𝜋
6
𝜋
En considérant 𝑣1 comme origine des axes, on a : 𝑢12 = 𝑈√2 sin (𝜔𝑡 + )
6
Fig VIII-3 : Relation tension composée et tension simple.
𝜋
2𝜋
6
3
→ 𝑢23 = 𝑈√2 sin (𝜔𝑡 + −
𝜋
4𝜋
6
3
𝑢31 = 𝑈√2 sin (𝜔𝑡 + −
)
)
Les tensions composées constituent elles aussi un système triphasé
équilibré.
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78
𝜋
Valeur efficace 𝑈 = 𝑉 √3 déphasées de sur la tension simple.
6
𝑢12 + 𝑢23 + 𝑢31 = 0
Exemple : V = 220V et U = 380V.
Remarque : Il est à noter que la tension 𝑢13 opposée à 𝑢31 ne forme pas un
système triphasé équilibré avec 𝑢12 et 𝑢23 , il est donc nécessaire de
respecter l’ordre des phases (succession des phases) afin de l’obtenir.
VIII. 2 Couplage des récepteurs triphasés
Le groupement de trois récepteurs monophasés, alimentés chacun par
l’une des trois tensions d’un système triphasé équilibré constitue un récepteur
triphasé.
Le couplage des trois phases peut se faire de deux façons différentes.
VIII. 2. 1 Couplage en étoile : symbole Y ou y
1
⃗⃗𝑖1
𝑉2
𝑉1
2
𝑖2
⃗⃗⃗
𝑉3
3
𝑖3
⃗⃗⃗
𝑖⃗⃗⃗𝑁
N
Fig. VIII-4 : Montage en étoile d’un récepteur triphasé.
Les 3 bornes du récepteur ont une borne commune reliée au neutre ; les 3
autres sont connectées aux fils de phase 1, 2, 3. La borne commune est appelée
centre de l’étoile.
𝐼𝑝ℎ = 𝐼𝑙
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 𝑖𝑁
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79
a) Récepteur triphasé équilibré
Si les 3 phases sont identiques alors on dit que le récepteur est équilibré.
Ce qui implique que 𝑖1 , 𝑖2 , 𝑒𝑡 𝑖3 :
 Ont la même valeur efficace I ;
 Sont déphasés du même angle 𝜑, respectivement par rapport aux tensions
𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 .
Sachant que ces dernières sont déphasées des
2𝜋
3
les unes par rapport aux
autres, il en est de même pour 𝑖1 , 𝑖2 , 𝑒𝑡 𝑖3 :
𝑖1 = 𝐼√2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑣1 = 𝑉√2 sin 𝜔𝑡
𝑖2 = 𝐼√2 sin (𝜔𝑡 + 𝜑 −
2𝜋
2𝜋
𝑖3 = 𝐼√2 sin (𝜔𝑡 + 𝜑 −
4𝜋
3
4𝜋
𝑣 = 𝑉√2 sin (𝜔𝑡 −
)
3 Puisque 2
3
)
𝑣3 = 𝑉√2 sin (𝜔𝑡 −
3
)
)
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 𝑖𝑁 = 0.
⃗⃗⃗
𝑉3
𝜑
2𝜋
3
⃗⃗⃗
𝑉1
𝜑
𝜑
2𝜋
3
⃗⃗𝐼1
⃗⃗⃗
𝑉2
Fig. VIII-5 : Les courants forment un système 3 équilibré
b) Récepteur triphasé déséquilibré
Ici les 3 récepteurs
Ici les 3 phases du récepteur sont différentes.
→ 𝑖𝑁 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 ≠ 0
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80
Si l’on se décide de supprimer le fil neutre, les tensions aux bornes des 3
phases cessent elles aussi de constituer un système équilibré : les phases sont
alors soumises à des tensions supérieures ou inférieures à V. Le fonctionnement
est tout à fait défectueux, car les appareils ont été choisis pour fonctionner sous
la tension V, certains peuvent même être détériorés par une suite de surtension
trop importante.
En régime déséquilibré le neutre est indispensable.
VIII. 2. 2 Couplage triangle : symbole D ou d
Les 3 phases du récepteurs sont connectées en série de façon à former un
circuit fermé, un triangle : les 3 bornes communes, sommets du triangle sont
isolées aux fils de phase 1, 2, et 3. Trois fils de distribution (sans fil neutre) sont
donc suffisants.
Chaque phase du récepteur est soumise à l’une des tensions
composées 𝑈 = 𝑉 √3, les tensions appliquées constituent toujours un système
équilibré même si le récepteur 3~ ne l’est pas. La tension appliquée à une phase
est indépendante des courants fournis aux autres phases.
Le montage triangle, alimenté par une ligne à 3 fils, assure l’indépendance
des 3 phases du récepteur (contrairement à ce qui se passe en étoile sans neutre).
𝑖1
1
𝑗1
𝑗3
𝑖2
𝜋
6
𝐽1
𝐽3
2
𝑖3
⃗⃗⃗
𝐼3
𝐽2
⃗⃗⃗
𝐼2
𝑗2
𝐽3
⃗⃗𝐼1
𝐽2
3
H
𝐽1
Fig VIII-6 : Montage triangle
d’un récepteur triphasé.
A
Fig VIII-7 : Les courants de
ligne constituent un système
triphasé équilibré.
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𝜋
3
81
a) Récepteur triphasé équilibre
Soit 𝑗1 , 𝑗2 , 𝑗3 les courants de phases, ils composent un système équilibré
dont leur valeur efficace commune est J.
Les courants de phase sont :
𝑖1 = 𝑗1 − 𝑗3 → ⃗⃗𝐼1 = ⃗⃗𝐽1 − 𝐽⃗⃗⃗3
𝑖2 = 𝑗2 − 𝑗1 → ⃗⃗⃗
𝐼2 = ⃗⃗⃗
𝐽2 − ⃗⃗𝐽1
𝑖3 = 𝑗3 − 𝑗2 → ⃗⃗⃗
𝐼3 = ⃗⃗⃗
𝐽3 − ⃗⃗⃗
𝐽2
Selon le diagramme, il est évident :
 Que le système soit équilibré ;
 Les courants de ligne ont une valeur efficace 𝐼 = 𝐽√3 ;
𝜋
 Les courants de ligne sont déphasés en arrière de sur le système des
6
courants des phases.
b) Récepteur triphasé déséquilibré
A partir des tensions composées, on cherche le courant dans chacune des
phases, soit ⃗⃗𝐽1 , ⃗⃗⃗
𝐽2 , ⃗⃗⃗
𝐽3 , puis on en déduit vectoriellement le courant dans chacun
des fils de la ligne.
⃗⃗𝐼1 = ⃗⃗𝐽1 − ⃗⃗⃗
𝐽3 , ⃗⃗⃗
𝐼2 = ⃗⃗⃗
𝐽2 − ⃗⃗𝐽1 , et ⃗⃗⃗
𝐼3 = ⃗⃗⃗
𝐽3 − ⃗⃗⃗
𝐽2
VIII. 3 Réseau de distribution triphasé
VIII. 3. 1 Constitution
Les alternateurs qui produisent l’énergie électrique possède trois phases
branchées en étoile ou en triangle ; ils sont connectés à un transformateur qui
fait passer la tension à plusieurs certaines de kilovolts (132kV, 120kV, 220kV,
380kV,…)
L’énergie est ensuite transportée par des lignes triphasées hautes tension.
Quelque soit le couplage des alternateurs, une ligne H.T ne comporte que 3 fils
(sans neutre).
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82
VIII. 3. 2 Branchement des récepteurs
a) Récepteurs triphasés
Ces récepteurs, couplés soit en étoile soit en triangle, sont alimentés par
les fils de phase.
Ces deux montages possibles permettent le fonctionnement sur deux
réseaux triphasés ayant des tensions différentes : en effet si V est la tension qui
doit être normalement appliquée à chacune des phases d’un récepteur triphasée,
celui-ci pourra être alimenté par une ligne dont la tension composée est : V si
l’appareil est couplé en triangle ; 𝑉 √3 si l’appareil est couplé en étoile.
Couplage Y
Couplage ∆
Fig VIII-7 : Plaque à bornes d’un récepteur triphasé
C’est pourquoi la plaque signalétique d’un récepteur triphasé indique
généralement deux tensions ; lorsque l’indication est, par exemple 220V- 380V,
le couplage doit être :
 Y si la tension composée de la ligne est 220V ;
 ∆ si la tension composée de la ligne est 380V.
b) Récepteurs monophasés
Ces récepteurs peuvent être branchés comme nous l’avons vu, entre :
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83
 Un fil de phase et le neutre ;
 Deux fils de phase.
La société distributrice d’énergie offre ainsi deux tensions différentes pour
les appareils monophasés : par exemple :
 220V et 380V ;
 230V et 400V ;
 240V et 415V.
VIII. 3. 3 I intérêts des circuits triphasés
Ces intérêts se situent à 3 niveaux :
a) Au niveau de la production
Un alternateur triphasé est beaucoup moins volumineux, bien meilleur
marché, plus économique qu’alternateur monophasé de même puissance.
b) Au niveau du transport
Il faut en 3~ :
 4 fils (dont un fil neutre de section plus faible que celle des autres fils) si
les courants risques d’être déséquilibrés (cas du réseau de distribution
SNEL en RDC, EDF en France, Eskom en RSA,…) en B.T ;
 3 fils si les courants sont pratiquement toujours équilibrés (cas des
réseaux de transport SNEL, ZESCO en H.T).
En monophasé pour une même tension entre fils de ligne, pour une même
puissance transportée, ces mêmes pertes en ligne, il faudrait 2 fil au lieu de 3,
mais de section double. Soit au total un tiers de plus de cuivre pour la ligne 1~.
c) Au niveau de l’utilisation
Le moteur le plus répandu dans l’industrie, le moteur asynchrone est
triphasé : il n’a pas d’équivalent en monophasé. De plus, une ligne triphasée
offre aux usagers, monophasés ou triphasés, deux tensions différentes.
Pour toutes ces raisons, l’énergie électrique est distribuée, dans tous les
pays du monde, sous forme des tensions et des courants triphasés.
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84
Chap. IX Puissance en triphasé
IX. 1 Puissance consommée par un récepteur triphasé
IX. 1. 1 Puissance active, réactive et apparente
La plupart des récepteurs triphasés sont équilibrés ; par exemple, les
moteurs triphasés comportent trois phases identiques. Celles-ci peuvent être
couplés en étoile ou en triangle.
Considérons un récepteur triphasé équilibre alimenté par une ligne pour
laquelle :
 U : est la tension composée ;
 I : le courant dans les fils.
a) Récepteur couplé en étoile
Chaque phase est soumise à la tension simple 𝑉 =
𝑈
√3
et est parcourue par
le courant I ; elle absorbe une puissance active (Fig. IX-1a)
𝑃1 = 𝑉𝐼 cos 𝜑 =
𝑈
√3
𝐼 cos 𝜑 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜑 = (𝐼⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
𝑉1 )
La puissance active P consommé globalement par le récepteur triphasé est
égale à la somme des puissances actives consommées par chacune des phases,
donc :
𝑃 = 3. 𝑃1 = 3
𝑈
√3
𝑃 = √3𝑈𝐼 cos 𝜑
. 𝐼 cos 𝜑 = √3𝑈𝐼 cos 𝜑 [𝑊]
[𝑊] (𝐼𝑋. 2)
On peut même montrer que la puissance réactive développée par le
récepteur est :
𝑄 = √3𝑈𝐼 sin 𝜑 [𝑉𝑎𝑟𝑠] (𝐼𝑋. 2)
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85
Y
En
I
∆
En
I
1
V
U
j
U
2
𝑉=
𝑈
𝑗=
√3
𝐼
√3
3
b)
a)
Figure IX-1 : puissance en triphasé
b) Récepteur couplé en triangle
Chaque phase est soumise à la tension composée U et parcourue par le
courant 𝑗 =
𝐼
√3
; elle absorbe donc une puissance active (Fig IX-1 b) ).
𝑃1 = 𝑈𝐽 cos 𝜑 = 𝑈
𝐼
√3
cos 𝜑 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜑 = (𝐽⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑈12 )
Le récepteur triphasé consomme la puissance active totale
𝑃 = 3𝑃1 = 3𝑈
𝐼
√3
cos 𝜑 = √3𝑈𝐼 cos 𝜑
𝑃 = √3𝑈𝐼 cos 𝜑
De même 𝑄 = √3𝑈𝐼 sin 𝜑
c) Conclusion
Que le récepteur soit couplé en étoile ou en triangle les puissances active
et réactive qu’il absorbe sont données par les mêmes formules :
𝑃 = √3𝑈𝐼 cos 𝜑
𝑄 = √3𝑈𝐼 sin 𝜑
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86
U et I sont des grandeurs mesurées sur la ligne ; au contraire 𝜑 est relatif à
une phase au récepteur ; cos 𝜑 est le facteur de puissance de chacun des trois
récepteurs : on dit, par extension, que c’est le facteur de puissance du récepteur
triphasé.
Si on applique la même relation qu’en monophasé.
𝑆 = √𝑃2 + 𝑄2 , on obtient 𝑆 = √3𝑈2 𝐼 2 cos 𝜑 2 + 3𝑈 2 𝐼 2 sin 𝜑 2
𝑆 = √3𝑈𝐼√cos 𝜑 2 + sin 𝜑 2 → 𝑆 = √3𝑈𝐼 Voltampères
𝑆 = √3𝑈𝐼
triphasé.
(V.A) par définition, c’est la puissance apparente du récepteur
IX. 1. 2 Remarques
 L’étude précédente montre qu’il n’y a pas à se préoccuper du mode de
couplage (Y ou ∆) d’un récepteur pour calculer sa puissance à partir de
son facteur de puissance et des grandeurs en lignes ;
 Il ne faut pas conclure qu’on ne modifie pas la puissance de ce récepteur,
lorsqu’on change son mode de couplage tout en gardant la même ligne
d’alimentation, donc la même tension composée U. Par exemple, le
passage du couplage étoile au couplage triangle triple le courant en ligne
ainsi que la puissance.
Soient U la tension entre phases et Z l’impédance d’un élément du récepteur.
Dans le cas d’un couplage triangle, la tension est appliquée entre les extrémités
de chacun des récepteurs élémentaires. Le courant dans chaque élément
𝑈 √3
est 𝑗 = 𝑈⁄𝑧 ; 𝐼𝑑 = 𝑗√3 =
le courant en ligne.
𝑍
Dans le cas d’un couplage étoile, la tension appliquée aux bornes des chaque
récepteur élémentaire est V = U/√3. Le courant dans une branche de l’étoile, qui
est aussi le courant en ligne, est :
𝐼𝑦 =
𝑉
𝑍
=
𝑈
√3 𝑍
↔ 𝐼𝑑 = 3𝐼𝑦
En passant du couplage étoile au couplage triangle, le courant dans la ligne
d’alimentation est triplé. Il en est de même pour la puissance du récepteur,
puisque la tension reste la même ainsi que le facteur de puissance.
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87
Si le fonctionnement en étoile correspond à la puissance nominale, le passage
en triangle peut entrainer une destruction de l’appareil, l’échauffement devenant
excessif.
Inversement, un appareil fonctionnant normalement en triangle est sousalimenté en couplage étoile.
Il est toujours possible d’imaginer qu’un récepteur triphasé dont on connait la
puissance et le facteur de puissance, mais dont on ignore le couplage, est couplé
en étoile. En effet, considérons le récepteur de la figure IX-2 : si le cos 𝜑 est son
facteur de puissance, cela signifie que les tensions sont déphasées de l’angle 𝜑
par rapport aux courants dans le récepteur de construction vectorielle de la
figure IX-3 (faire seulement sur une phase) montre que c’est aussi l’angle de
déphasage entre les tensions simples de la ligne et les courants dans les fils de la
ligne. Par suite si l’on remplace le récepteur D par un récepteur Y.
𝑖1
1
𝑉1
𝑢31
𝑢12
𝑗3
𝑗1
𝑗2
𝑖2
2
𝑣2
𝑢23
𝑖3
𝑣3
3
Fig. IX-2 : Tout récepteur peut être considéré comme s’il était en étoile.
 De même facteur de puissance cos 𝜑 ;
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88
 De même puissance active P. Les courants dans les fils de ligne resterait
inchangés.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑈12
𝜋
6
⃗⃗⃗
𝑉1
𝜑
𝜋
6
𝑗⃗⃗1
𝑉1 ) = (𝑗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑈12 ) = 𝜑
(𝐼⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
⃗⃗𝐼1
Fig. IX-3 : mesure du déphase tension-courant 𝜑.
IX. 1. 3 Méthode de résolution des problèmes en triphasé
Lorsque tous les récepteurs sont équilibrés, il existe essentiellement deux
méthodes de résolution ; pour les mettre en évidence proposons-nous le
problème suivant.
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