Remarque 1.1.6. Moyen mnémotechnique avec les notations de Leibniz : si l’on note F=f◦ualors
dF
dx =d f
du
du
dx .
Exemple 1.1.7. Considérons la fonction g:x7→ √x2+1. Cette fonction est la composée de
u:x7→ x2+1 et f:y7→ √y
leur dérivée sont
u0(x) = 2xet f0(y) = 1
√y
par application de la proposition précédente, la fonction gest dérivable et
g0(x) = 2x
√x2+1.
1.1.6 Fonction réciproque et dérivée
Si f:]a,b[→Rest une fonction strictement croissante ou strictement décroissante alors tout point de l’image de fadmet
un unique antécédent, dit autrement, toute valeur de fest atteinte une seule fois.
Contre-exemple 1.1.8. La fonction x7→ x2définie sur R2, le point 1 admet deux antécédents 1 et −1, mais cette fonction
n’est pas strictement monotone).
Sous l’hypothèse précédente, la fonction fest une bijection de ]a,b[sur son image f(]a,b[).
On peut alors définir son application réciproque f −1qui a une image de fassocie son unique antécédent
f:]a,b[→f(]a,b[)
x7→ f(x)
q q
f−1(y)←y
]a,b[←f(]a,b[) :f−1.
Graphe d’une application réciproque. Par définition
Graphe f={(x,f(x)) |x∈]a,b[,f(x)∈f(]a,b[)}
et
Graphe f−1={(y=f(x),f−1(y) = x)|x∈]a,b[,y=f(x)∈f(]a,b[)}
Ces graphes sont symétriques l’un par rapport à l’autre par rapport à la droite ∆:y=x.
Remarquons en effet que la symétrie s∆envoie le point (x,y)sur le point (y,x).
Exemple 1.1.9.
[0,+∞[→[0,+∞[
x→x2
√y←y