72838-1

Chapitre 1
Dérivation, développements limités et intégration
1.1
1.1.1
Dérivation
Définition
Dans toute la suite I désignera un intervalle du type
]a, b[, ] − ∞, b[, ]a, +∞[.
Définition 1.1.1. (Dérivation, (Newton 1643-1727, Leibniz 1646-1716)).
Soit I un intervalle non vide et f :]a, b[→ R une fonction. Soit x0 un point de l’intervalle I. On dit que f est dérivable en
x0 si et seulement si la fonction taux d’accroissement
τx0 : x 7→
f (x) − f (x0 )
x − x0
admet une limite quand x tend vers x0 . Cette limite est appelée nombre dérivé de f en x0 , noté f 0 (x0 ) ou
f 0 (x0 ) =
df
dx (x0 )
:
df
f (x) − f (x0 )
(x0 ) = lim
= lim τx0 (x).
x→x0
x→x0
dx
x − x0
Remarque 1.1.2. On se ramène souvent à prendre une limite en 0 en posant x = x0 + h :
f 0 (x0 ) = lim τx0 (x0 + h) = lim
h→0
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
La fonction f est dite dérivable sur l’intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout point de I. On appelle dérivée
de f l’application
f0 : I →
x 7→
1.1.2
R
f 0 (x)
.
Interprétation géométrique
f (x0 )
Le taux d’accroissement f (x)−
est le coefficient directeur de la “corde” passant les points Mx0 = (x0 , f (x0 ) et Mx0 +h =
x−x0
(x0 + h, f (x0 + h)). Dire que f est dérivable en x0 signifie géométriquement que le graphe de f admet une tangente au point
(x0 , f (x0 )). Cette tangente est la droite limite des cordes (Mx0 Mx0 +h ). Cette tangente a pour équation
Tx0 , f (x0 ) : y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
1
Graphe( f ) = {(x, f (x)) | x ∈ I}
f (x0 + h)
(x0 + h, f (x0 + h))
y = f (x0 ) +
f (x0 +h)− f (x0 )
(x − x0 )
h
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
f (x0 ) + f 0 (x0 )h
y =
=
f (x0 )
(x0 , f (x0 ))
x0
x = x0 + h
Contre-exemple 1.1.3. La fonction x 7→ |x| n’est pas dérivable en 0. En effet
lim
h→0,h≥0
|h| h
|h| h
= = 1 et lim
= = −1
h→0,h≤0 h
h
h
h
Son graphe n’admet pas de tangente en 0.
|x|
1.1.3
Interprétation physique
f (t0 )
Si f (t) représente la position à l’instant t d’un mobile sur un axe, le quotient f (t)−
représente la vitesse moyenne du
t−t0
mobile entre les temps t et t0 alors que le nombre dérivée f 0 (t0 ) représente la vitesse moyenne du mobile au temps t0 .
1.1.4
Développement limité à l’ordre 1
Dire que f est dérivable en x0 de dérivée f 0 (x0 ) signifie qu’il existe une fonction “erreur” ε :]a, b[→ R telle que pour tout
x ∈]a, b[
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )ε(x)
avec limx→x0 ε(x) = 0.
Le produit (x − x0 )ε(x) représente l’erreur commise dans l’approximation de f par le polynôme f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
Remarque 1.1.4. La fonction erreur ε est tout simplement
ε :
x →
7
x0 →
7
f (x)− f (x0 )
x−x0
0
− f 0 (x0 )
.
L’écriture
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )ε(x)
est le développement limité à l’ordre 1 de f en x0 .
(x0 + h, f (x0 + h))
erreur = (x − x0 )ε(x)
(x0 + h, f (x0 ) + f 0 (x0 )h)
(x0 , f (x0 ))
x0
x = x0 + h
D’après ce qui précède, f admet un développement limité à l’ordre 1 en x0 si et seulement si f est dérivable en x0 .
1.1.5
Opérations sur les dérivées
Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I et à valeurs dans R.
1. La fonction f + g est dérivable et sa dérivée est la fonction
( f + g)0 = f 0 + g0 .
2. Le produit f g est dérivable et sa dérivée est la fonction
( f g)0 = f 0 g + f g0 .
3. Si de plus la fonction g ne s’annule pas, alors la fonction 1g est dérivable et sa dérivée est la fonction
0
1
g0
= − 2,
g
g
de même la fonction
f
g
est dérivable et sa dérivée est la fonction
0
f
f 0 g − f g0
=
.
g
g2
Proposition 1.1.5. (Dérivée des applications composées).
Soit u :]a, b[→]c, d[ et f :]c, d[→ R deux applications. La fonction composée
f ◦ u : x ∈]a, b[→ f (u(x))
est bien définie.
Soit x0 ∈]a, b[. Si u est dérivable en x0 , si f est dérivable en u(x0 ) alors f ◦ u est dérivable en x0 et
( f ◦ u)0 (x0 ) = f 0 (u(x0 ))u0 (x0 ).
Remarque 1.1.6. Moyen mnémotechnique avec les notations de Leibniz : si l’on note F = f ◦ u alors
dF
d f du
=
.
dx
du dx
Exemple 1.1.7. Considérons la fonction g : x 7→
√
x2 + 1. Cette fonction est la composée de
u : x 7→ x2 + 1 et f : y 7→
√
y
leur dérivée sont
1
u0 (x) = 2x et f 0 (y) = √
y
par application de la proposition précédente, la fonction g est dérivable et
2x
g0 (x) = √
.
x2 + 1
1.1.6
Fonction réciproque et dérivée
Si f :]a, b[→ R est une fonction strictement croissante ou strictement décroissante alors tout point de l’image de f admet
un unique antécédent, dit autrement, toute valeur de f est atteinte une seule fois.
Contre-exemple 1.1.8. La fonction x 7→ x2 définie sur R2 , le point 1 admet deux antécédents 1 et −1, mais cette fonction
n’est pas strictement monotone).
Sous l’hypothèse précédente, la fonction f est une bijection de ]a, b[ sur son image f (]a, b[).
On peut alors définir son application réciproque f −1 qui a une image de f associe son unique antécédent
f
:
]a, b[
x
q
−1
f (y)
]a, b[
→
7→
←
←
f (]a, b[)
f (x)
q
y
f (]a, b[) :
f −1 .
Graphe d’une application réciproque. Par définition
Graphe f = {(x, f (x)) | x ∈]a, b[, f (x) ∈ f (]a, b[)}
et
Graphe f −1 = {(y = f (x), f −1 (y) = x) | x ∈]a, b[, y = f (x) ∈ f (]a, b[)}
Ces graphes sont symétriques l’un par rapport à l’autre par rapport à la droite ∆ : y = x.
Remarquons en effet que la symétrie s∆ envoie le point (x, y) sur le point (y, x).
Exemple 1.1.9.
[0, +∞[ → [0, +∞[
x
→
x2
√
y
←
y
(.)2
√
.
1.
1.
0
Exemple 1.1.10.
] − ∞, +∞[ → ]0, +∞[
x
→ exp(x)
ln(y)
←
y
exp(.)
1.
ln(.)
−2.
−1.
0
−1.
−2.
Exemple 1.1.11.
[− π2 , π2 ] → [−1, 1]
x
→ sin (x)
arcsin(y) ←
y
1.
1.
arcsin(.)
sin (.)
−2.
−1.
1.
0
−1.
−2.
Exemple 1.1.12.
[0, π]
→ [−1, 1]
x
→ cos (x)
arccos(y) ←
y
3.
arccos(.)
2.
1.
cos (.)
−1.
0
1.
−1.
Exemple 1.1.13.
] − π2 , π2 [ →
R
x
→ tan(x)
arctan(y) ←
y
2.
3.
4.
3.
tan(.)
2.
y=
1.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
π
2
arctan(.)
1.
0
2.
3.
−1.
4.
y = − π2
−2.
−3.
x=
−4.
−π
2
x=
π
2
−5.
Proposition 1.1.14. (Dérivée d’une fonction réciproque).
Soit f :]a, b[→ R une fonction dérivable et strictement monotone. La fonction f admet une fonction réciproque f −1 dérivable.
La dérivée est
1
f −1 (y) = 0 −1
.
f ( f (y))
Démonstration. Remarquons que pour tout x appartenant à ]a, b[, nous avons l’égalité
f −1 ( f (x)) = x.
Si l’on dérive cette égalité nous obtenons
f 0 (x).( f −1 )0 ( f (x)) = 1
d’où l’on déduit
( f −1 )0 ( f (x)) =
1
f 0 (x)
en notant x = f −1 (y) et y = f (x) nous obtenons la relation
( f −1 )0 (y) =
1
f 0 ( f −1 (y))
.
Exemple 1.1.15. On applique cette formule aux exemples précédents :
1. f (x) = x2 , f 0 (x) = 2x
1
√
( .)0 (y) = √ .
2 y
2. f (x) = exp(x), f 0 (x) = exp(x)
(ln)0 (y) =
1
1
= .
exp(ln(y)) y
3. f (x) = sin (x), f 0 (x) = cos (x), pour tout y ∈] − 1, 1[
arcsin0 (y) =
1
1
1
=p
=p
2
cos (arcsin y)
1 − (sin (arcsin y))
1 − y2
4. f (x) = cos (x), f 0 (x) = −sin (x), pour tout y ∈] − 1, 1[
arccos0 (y) =
1
1
= −p
−sin (arccos(y)
1 − y2
5. f (x) = tan(x), f 0 (x) = 1 + tan2 (x), pour tout y ∈ R
arctan0 (y) =
1.2
1
1 + tan2 (arctan y)
=
1
.
1 + y2
Développements limités
Soit f :]a, b[→ R, une fontion dérivable. Si f 0 est dérivable, on note f 00 ou f (2) la dérivée de f 0 et on l’appelle dérivée
seconde de f . Si f est n-fois dérivable, on note f (n) la dérivée n-ième de f .
Définition 1.2.1. Soit f :]a; b[→ R une fonction. Soit x0 ∈]a, b[. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n en
x0 si et seulement si il existe un polynôme Pn,x0 de degré inférieur à n et une fonction erreur εn,x0 :]a, b[→ R telle que
∀x ∈]a, b[, f (x) = Pn,x0 + (x − x0 )n εn,x0 (x)
avec limx→x0 εn,x0 (x) = 0
Remarque 1.2.2. Cette fonction εn,x0 est totalement déterminée par
εn,x0
:
]a, b[
→
x 6= x0 7→
x0
7→
Exemple 1.2.3. La fonction x 7→
1
1−x
R
f (x)−Pn,x0 (x)
(x−x0 )n
0.
admet un développement limité à l’ordre n en 0 :
1
= 1 + x + ... + xn + xn εn,0 (x)
1−x
avec εn,0 (x) =
géométrique
x
1−x .
(1.1)
On vérifie bien que limx→x0 εn,0 (x) = 0. L’égalité 1.1 vient de la formule de sommation d’une série
1 + x + ... + xn =
1 − xn+1
.
1−x
Dans le dessin suivant nous traçons les approximations suivantes de x 7→
1
1−x
:
1. x 7→ 1 + x
2. x 7→ 1 + x + x2
3. x 7→ 1 + x + x2 + x3
Observez comme l’approximation devient de plus en plus précise localement au point (0, 1) :
y = 1 + x + x2
y = 1 + x + x2 + x3
1.
y = 1+x
y=
−1.
1
1−x
0
−1.
Plus l’on monte en degré plus l’approximation est précise.
Proposition 1.2.4. (Unicité d’un développement limité).
Si f admet un développement limité à l’ordre n en x0 , celui-ci est unique.
Démonstration. Supposons que f admette deux développements limités en 0 :
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + ... + an (x − x0 )n + (x − x0 )n ε(x) = b0 + ... + bn (x − x0 )n + (x − x0 )n η(x)
avec limx→x0 ε(x) = limx→x0 η(x) = 0. Notons i le plus petit entier tel que ai et bi sont différents, par différence on obtient
donc
(ai − bi )(x − x0 )i + ... + (an − bn )(x − x0 )n + (x − x0 )n (ε(x) − η(x)) = 0,
on divise alors tout par (x − x0 )i et l’on obtient
(ai − bi ) + (ai+1 − bi+1 )(x − x0 ) + ... + (an − bn )(x − x0 )n−i + (x − x0 )n−i (ε(x) − η(x)) = 0
on fait alors tendre x vers x0 et l’on obtient ai = bi . Contradiction. On obtient ainsi que ai = bi pour tout i et l’on conclut que
ε(x) = η(x).
La proposition suivante, montre que sous certaines conditions un développement limité existe toujours.
Proposition 1.2.5. (Formule de Taylor-Young) (Taylor (1685-1731)).
Si f :]a, b[→ R est n-fois dérivable alors f admet un développement limité à l’ordre n : il existe une fonction erreur εn,x0 :
]a, b[→ R telle que pour tout x ∈]a, b[
f (x) = Tn,x0 (x) + (x − x0 )n εn,x0 (x)
avec
1 (2)
1
f (x0 )(x − x0 )2 + ... + f (n) (x0 )(x − x0 )n
2!
n!
= 0. Le polynôme Tn,x0 (x) est appelé polynôme de Taylor de f en x0 à l’ordre n.
Tn,x0 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
et limx→x0 εn,x0
Démonstration. Donnons les principales idées de preuve. La preuve se fait par récurrence sur n.
Si n = 1 l’existence du développement limité est donnée par la dérivabilité voir la section précédente.
Supposons la formule vraie pour toute fonction n-fois dérivable sur ]a, b[ en tout point x0 de ]a, b[. Considérons une fonction
(n + 1) fois dérivable sur ]a, b[. Sa dérivée f 0 vérifie les hypothèses de l’hypothèse de récurrence. Par conséquent pour tout
point x0 de ]a, b[ elle admet un développement limité à l’ordre n que l’on peut intégrer par le théorème d’intégration terme à
terme ci-dessous. On conclut alors par le théorème de récurrence.
Remarque 1.2.6. (Exactitude de la formule pour les polynômes). Soit P un polynôme à coefficients réels de degré d, pour
tout α réel on a
P(k) (α)
P(d) (α)
P(x) = P(α) + P(1) (α)(x − α) + ... +
(x − α)k + ... +
(x − α)d .
k!
d!
Démonstration. Soit P un polynôme à coefficients réels, de degré d. Par divisions euclidiennes successives on obtient une
écriture de P sous la forme
P(x) = a0 + a1 (x − α) + ... + ak (x − α)k + ... + ad (x − α)d .
(k)
Montrons l’égalité pour tout k : ak = P k!(α) .
Ecrivons P(x) = ∑di=0 ai (x − α)i . Montrons par récurrence sur l’ordre de dérivation la formule
P(k) (x) = ∑ ai (i.(i − 1)...(i − k + 1))(x − α)i−k .
i≥k
1. En dérivant la formule P(x) = ∑di=0 ai (x − α)i nous obtenons l’égalité P0 (x) = ∑di=1 iai (x − α)i−1 qui est de la forme
souhaitée.
2. On suppose la formule vraie à l’ordre k. En la dérivant on obtient la formule à l’ordre k + 1.
3. On conclut par le principe de récurrence.
Ainsi en évaluant en α nous obtenons
P(k) (α) = ak k!.
Remarque 1.2.7. Attention admettre un développement limité à l’ordre 2 en un point n’implique pas que la fonction soit
dérivable deux fois ! Par exemple la fonction
f : x 7→ 1 + x + x2 + x3 sin
1
x
prolongée par 0 en 0 admet comme développement limité
1
f (x) = 1 + x + x2 + x2 (xsin )
x
mais n’est pas deux fois dérivables.
Remarque 1.2.8. Attention le développement limité d’une fonction peut être nul à tout ordre en un point x0 sans que la
fonction soit elle même nulle sur un voisinage :
( −1
x2
si x 6= 0
x 7→ e
0
sinon
1.2.1
Développements usuels en 0
Par application de la formule de Taylor-Young et des opérations sur les développements limités qui suivent nous obtenons
les développements limités des fonctions usuelles en 0 à l’ordre n ou 2n :
ex = 1 + x +
1 2
1
x + ... + xn + xn εn (x)
2!
n!
eix + e−ix
1
1
1 2n
= 1 − x2 + x4 + ... + (−1)n
x + x2n ε2n (x)
2
2!
4!
2n!
eix − e−ix
1
1
1
sin (x) =
= x − x3 + x5 + ... + (−1)n
x2n+1 + x2n+1 ε2n+1 (x)
2i
3!
5!
(2n + 1)!
cos (x) =
ch (x) =
ex + e−x
1
1
1 2n
= 1 + x2 + x4 + ... +
x + x2n ε2n (x)
2
2!
4!
2n!
sh (x) =
ex − e−x
1
1
1
= x + x3 + x5 + ... +
x2n+1 + x2n+1 ε2n+1 (x)
2
3!
5!
(2n + 1)!
(1 + x)α = 1 + αx +
Exemple :
√
1 + x = 1 + 12 x − 81 x2 + x2 ε2 (x).
α(α − 1) 2
α(α − 1)...(α − n + 1) n
x + ... +
x + xn εn (x)
2!
n!
1
= 1 + x + ... + xn + xn εn (x)
1−x
1
= 1 − x + ... + (−1)n xn + xn εn (x)
1+x
1
1 n+1
ln(1 − x) = −x − x2 − ... −
x + xn+1 εn+1 (x)
2
n+1
1
(−1)n+1 n+1
ln(1 + x) = x − x2 − ... +
x + xn+1 εn+1 (x)
2
n+1
tout ceci avec la convergence vers 0 des diverses fonctions x 7→ εk (x) lorsque x tend vers 0, pour k = n, n + 1, 2n, 2n + 1.
Remarque 1.2.9 (Où l’on se ramène à un développement limité en 0). On peut calculer le développement limité d’une
fonction f en un point x0 en se ramenant à calculer le développement limité en 0 de la fonction h 7→ f (x0 + h).
Par exemple la fonction x 7→ 1x admet un développement limité en 1. On le calcul à partir du développement limité en 0
1
de la fonction h 7→ 1+h
:
1
= 1 − h + h2 + ... + (−1)n+1 hn + hn εn (h)
1+h
1
= 1 − (x − 1) + (x − 1)2 + ... + (−1)n+1 (x − 1)n + (x − 1)εn (x − 1)
x
avec limh→0 εn (h) = 0.
1.2.2
Utilisations des développements limités
L’approximation fournie par la théorie des développements limités rend de grand service dans les problèmes suivants
2x
Calculs de limite Calculons la limite quand x tend vers 0 de la fonction sin 3x−sin
.
x
On utilise le développement limité à l’ordre 2 des fonctions sin 3x et sin 2x : pour tout réel x nous avons
sin 3x = 3x + x2 ε2 (x) et sin 2x = 2x + x2 η2 (x)
où ε2 et η2 sont deux fonctions qui tendent vers 0 quand x tend 0.
On obtient alors pour tout réel x
sin 3x − sin 2x (3x + x2 ε2 (x)) − (2x + x2 η2 (x))
=
= 1 + x(ε2 (x) − η2 (x)).
x
x
Nous pouvons ainsi conclure
sin 3x − sin 2x
= 1.
x→0
x
lim
Position d’une courbe par rapport à sa tangente Considérons la fonction sin 3x et précisons la position du graphe par
rapport à sa tangente en 0. En effectuant le développement limité à l’ordre 3 en 0 nous obtenons
sin 3x = x −
1 3
x + x3 ε3 (x).
3!
La tangente en 0 est la droite y = x. Ainsi nous avons l’approximation
sin 3x − x ' −
1 3
x .
3!
ceci induit les inégalités
pour 0 ≤ x << 1 on a, sin 3x ≤ x
et
pour 0 ≥ x >> −1 on a, sin 3x ≥ x
ce qui signifie qu’au voisinage de 0, le graphe de cette fonction est sous sa tangente pour x > 0 et au-dessus de sa tangente
pour x < 0.
−1.
0
1.
−1.
Asymptote et position d’une courbe
√ par rapport à son asymptote.
On considère la fonction f (x) = x2 + x + 1. On pose h = 1x et F(h) = f (x).
√
1
1 + h + h2 .
1. Nous avons F(h) = |h|
2. On suppose h ≥ 0. On a donc
F(h) =
1p
1
3
1
1 + h + h2 = (1 + h + h2 + o(h2 ))
h
h
2
8
c’est à dire
F(h) =
1 1 3
+ + h + o(h).
h 2 8
En remplaçant h par 1/x nous obtenons
1 3
1
f (x) = x + + + o
2 8x
x
appelé développement asymptotique à l’ordre 1 de f en +∞.
La courbe représentative de f admet au voisinage de +∞ une asymptote d’équation y = x + 12 avec
1
3
f (x) − x +
'
2
8x
(par un raisonnement analogue au précédent) on en déduit que cette différence est positive au voisinage de +∞, la
courbe est au dessus de son asymptote.
3. On suppose h ≤ 0. En ce cas
F(h) = −
1p
1 1 3
1 + h + h2 = − − − h + o(h)
h
h 2 8
d’où le développement asymptotique
1 3
1
f (x) = −x − − + o
.
2 8x
x
La courbe représentative de f admet au voisinage de −∞ une asymptote d’équation y = −x − 12 et nous avons au
voisinage de −∞
1
3
f (x) − (−x − ) ' −
2
8x
qui entraîne qu’au voisinage de −∞, le graphe est au dessus de cette asymptote.
6.
4.
2.
−6.
−4.
−2.
2.
0
4.
−2.
1.2.3
Opérations sur les développements limités
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ]a, b[ et admettant un développement limité à l’ordre n en un point
x0 : il existe donc deux polynômes Pn,x0 (x) et Qn,x0 (x) de degré inférieur à n et deux fonctions erreurs εn (x) et ηn (x) qui
tendent vers 0 quand x tend vers 0 et telle que
f (x) = Pn,x0 (x) + (x − x0 )n εn (x)
g(x) = Qn,x0 (x) + (x − x0 )n ηn (x)
Somme La fonction somme f + g admet un développement limité à l’ordre n au point x0
( f + g)(x) = f (x) + g(x) = P(x) + Q(x) + (x − x0 )n (εn (x) + ηn (x))
avec limx→x0 (εn (x) + ηn (x)) = 0.
Produit La fonction f × g admet un développement limité à l’ordre n en x0 obtenu en faisant le produit des développements
limités à l’ordre n de f et de g et en le tronquant à l’ordre n.
Exemple 1.2.10. Considérons
f (x) =
1
= 1 + x + x2 + x2 ε(x)
1−x
et
g(x) = cos x = 1 −
x2
+ x2 η(x)
2
avec limx→0 ε(x) = limx→0 η(x) = 0.
On effectue le produit et on obtient
f (x).g(x) = (1 + x + x2 + x2 ε(x))(1 −
x2
+ x2 η(x))
2
que l’on calcule comme suit, en tronquant à l’ordre 2
−
f (x)g(x) = 1
1 2
2x
+ x2 η(x)
− 21 x3 + x3 η(x)
+ x
+
− 12 x4 + x4 η(x)
x2
+ x2 ε(x)
= 1 + x +
1 2
2x
+
− 12 x4 + x4 ε(x)η(x)
x2 γ(x)
avec
x
x2
γ(x) = η(x) + ε(x) − + xη(x) − (1 + ε(x)) + x2 η(x) + η(x)ε(x)
2
2
qui est bien une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers 0.
Développement limité d’une composée
Soit u :]a, b[→ R et f :]c, d[⊂ u(]a, b[) → R deux fonctions.
Si u admet un développement limité à l’ordre n en x0
u(x) = Pn,x0 (x) + (x − x0 )n ε(x)
avec limx→x0 ε(x) = 0, si f admet un développement limité à l’ordre n en u(x0 )
f (y) = Qn,u(x0 ) (y) + (y − u(x0 ))n η(y)
alors f ◦ u admet un développement limité à l’ordre n en x0 obtenu comme suit
1. on remplace y par u(x)
f (u(x)) = Qn,u(x0 ) (u(x)) + (u(x) − u(x0 ))n η(u(x))
2. on remplace u(x) par son développement limité :
f (u(x)) = Qn,u(x0 ) (Pn,x0 (x) + (x − x0 )n ε(x)) + (u(x) − u(x0 ))n η(Pn,x0 (x) + (x − x0 )n ε(x))
3. on développe, les termes d’ordre ≤ n forment le polynôme d’approximation, les autres forment le terme d’erreur.
Exemple 1.2.11. Donnons le développement limité en 0 à l’ordre 2 de la fonction g(x) =
1. On regarde u(x) = sin x et f (y) =
1
1−y
1
1−sin x
définie sur ] − π/2, π/2[.
de sorte que g(x) = f (u(x)).
2. On effectue le développement limité à l’ordre 2 de sin x en 0
u(x) = x + x2 ε(x).
avec limx→0 ε(x) = 0.
3. On effectue le développement limité à l’ordre 2 de f en u(0) = 0
f (y) = 1 + y + y2 + y2 η(y),
avec limy→0 η(y) = 0.
4. On compose :
f (u(x)) = 1 + (x + x2 ε(x)) + (x + x2 ε(x))2 + (x + x2 ε(x))2 η(x + x2 ε(x)).
5. On développe
f (u(x)) = 1
+ x
x2 ε(x)
+
+ x2 +
2x3 ε(x) + x4 ε(x)2
+ (x + x2 ε(x))2 η(x + x2 ε(x))
= 1 + x + x2 +
x2 γ(x)
avec
γ(x) = ε(x) + 2xε(x) + x2 ε(x)2 + (1 + xε(x))2 η(x + x2 ε(x)).
Notations de Landau
On utilise la notation de Landau suivante : toute fonction de la forme xn ε(x) avec limx→0 ε(x) = 0 sera notée o(xn ). Ceci est
un abus de notation car on ne voit plus la dépendance en ε. Il faut donc être prudent dans son utilisation. Donnons les règles
d’utilisation :
o(xn ) + o(xn ) = o(xn )
en effet ces o(xn ) s’écrivent sous la forme
o(xn ) = xn ε(x) et o(xn ) = xn η(x)
et en sommant on obtient
xn ε(x) + xn η(x) = xn (ε(x) + η(x))
qui est bien un o(xn ) car
lim (ε(x) + η(x)) = lim ε(x) + lim η(x) = 0.
x→0
x→0
x→0
De même
o(xn ).o(xm ) = o(xn+m ).
Une fonction o(xn ) est aussi un o(xn−k ) : cette fonction s’écrit en effet sous la forme xn ε(x) avec limx→0 ε(x) = 0, on peut
donc l’écrire sous la forme xn−k (xk ε(x)) et l’on a toujours limx→0 xk ε(x) = 0.
On étend cette notion à o((x − x0 )n ) qui symbolise une fonction de la forme (x − x0 )n ε(x) avec limx→x0 ε(x) = 0.
Reprenons le calculs précédent :
f (u(x)) = 1
+
o(x2 )
+ x2 +
o(x2 )
+
o(x2 )
+ x
= 1 + x + x2 + o(x2 ).
Intégration et dérivation d’un développement limité Soit f :]a, b[→ R une fonction dérivable, si la dérivée f 0 admet
un développement limité à l’ordre n en un point x0
f 0 (x) = f 0 (x0 ) + q1 (x − x0 ) + ... + qn (x − x0 )n + (x − x0 )n ε(x)
alors f admet un développement limité à l’ordre n + 1 obtenu en intégrant terme à terme à partir de la formule suivante (que
nous reverrons dans le paragraphe suivant)
Z
f (x) − f (x0 ) =
x0
x
f 0 (t)dt
c’est à dire
f (x) − f (x0 ) =
Z x
x0
f 0 (x0 )dt +
Z x
x0
q1 (t − x0 )dt + ... +
donc
f (x) − f (x0 ) = (x − x0 ) f 0 (x0 ) + q1
Z x
x0
qn (t − x0 )n dt +
(x − x0 )n+1
(x − x0 )2
+ ... + qn
+
2
n+1
Z x
Z x
x0
x0
(t − x0 )n ε(t)dt
(t − x0 )n ε(t)dt.
Montrons que limx→x0 xx0 (t − x0 )n ε(t)dt = 0. En effet la fonction t 7→ ε(t) tend vers 0 quand x → x0 . En particulier pour tout
α > 0, il existe β > 0 tel que pour tout t ∈]x0 − β, x0 + β[, |ε(t)| ≤ α. En particulier, pour tout x ∈]x0 − β, x0 + β[,
R
Rx
n
x0 (t − t0 ) ε(t)dt
|x − x0 |n+1
ceci montre que limx→x0
Rx
n
x0 (t − x0 ) ε(t)dt
≤
α
Rx
n
x0 (t − t0 ) ε(t)dt
|x − x0 |n+1
≤α
= 0.
Exemple 1.2.12. Par intégration, on déduit du développement limité en 0
1
= 1 + ... + xn + xn ε(x)
1−x
le développement limité à l’ordre n + 1 de la fonction
− ln(1 − x) = x +
x2
xn+1
+ ... +
+ xn+1 γ(x).
2
n+1
De même, si f est une fonction dérivable en un point x0 et f admet un développement limité à l’ordre n en x0 :
f (x) = f (x0 ) + q1 (x − x0 ) + ... + qn (x − x0 )n + (x − x0 )n ε(x)
alors f 0 admet un développement limité à l’ordre n − 1 en x0 obtenu en dérivant termes à termes le développement limité :
f 0 (x) = q1 + 2q2 (x − x0 ) + ... + nqn (x − x0 )n−1 + (x − x0 )n−1 ((x − x0 )ε0 (x) + n(x − x0 )ε(x)),
on vérifie bien que
lim (x − x0 )ε0 (x) + n(x − x0 )ε(x) = 0.
x→x0
Exemple 1.2.13. Nous savons que la dérivée de l’exponentielle ex est elle-même, vérifions la formule :
ex = 1 + x +
dérivons
ex = 0 + 1 +
x2
xn
+ ... + + xn ε(x)
2!
n!
nxn−1
2x
+ ... +
+ xn ε0 (x) + nxn−1 ε(x)
2!
n!
c’est à dire
ex = 1 + x + ... +
xn−1
+ xn−1 (xε0 (x) + nε(x))
(n − 1)!
on vérifie bien que limx→0 xε0 (x) + nε(x) = 0, ce qui montre que l’on retrouve bien la formule souhaitée.
1.3
1.3.1
Intégration et primitives
Primitives et intégrales d’une fonction continue
Définition 1.3.1. Soit f une fonction continue d’une variable réelle définie sur un intervalle I et à valeurs dans R ou C. On
appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable dont la dérivée est f .
Remarque 1.3.2. Si F est une primitive de f alors toute fonction de la forme x 7→ F(x) + C avec C une constante réelle
est une primitive de f . Réciproquement si on considère deux primitives de f , F1 et F2 , leur différence est de dérivée nulle
(F1 − F2 )0 = 0. Comme on travaille sur un intervalle, ceci entraîne (théorème des accroissements finis par exemple) qu’il
existe une constante C telle que F2 = F1 +C.
Théorème 1.3.3. Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soit a un point de I.
1. La fonction
x 7→
Z x
f (t)dt
a
est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
2. Pour toute primitive F de f sur I on a
Z x
f (t)dt = F(x) − F(a).
a
Démonstration.
1. Notons Φ : x ∈ I 7→ ax f (t)dt. Remarquons que Φ(a) = 0. Nous voulons montrer que Φ est dérivable
en tout point x0 de I de dérivée f (x0 ). Par définition il s’agit donc de montrer que
R
Φ(x0 + h) − Φ(x0 )
= f (x0 ),
h→0
h
lim
ou encore
lim [Φ(x0 + h) − Φ(x0 )] − h f (x0 ) = 0.
h→0
Fixons h réel, par la relation de Chasles nous avons
[Φ(x0 + h) − Φ(x0 )] − h f (x0 ) =
Z x0 +h
x0
f (t)dt − h f (x0 ) =
Z x0 +h
x0
[ f (t) − f (x0 )] dt.
On souhaite montrer que cette intégrale tend vers 0 quand h tend vers 0. Ceci provient de la continuité de f en x0 :
Pour ε > 0 fixé, il existe η avec 1 > η > 0 tel que pour tout t ∈ [x0 − η, x0 + η] ∩ I on ait | f (t) − f (x0 )| ≤ ε.
Par conséquent pour |h| ≤ η nous obtenons
[Φ(x0 + h) − Φ(x0 )] − h f (x0 ) =
Z x0 +h
x0
f (t)dt − h f (x0 ) ≤
Z x0 +h
x0
| f (t) − f (x0 )| dt ≤ εη ≤ ε.
On obtient ainsi le résultat par définition de la limite.
Soit F est une autre primitive de f qui s’annule en a. Comme on travaille sur un intervalle I, il existe une constante C
tel que F = Φ +C. En évaluant en a nous obtenons C = 0. La fonction Φ est donc l’unique primitive de f qui s’annule
en a.
2. Soit F une primitive de f . Par l’argument précédent il existe une unique constante C telle que F = Φ +C. En évaluant
en a on obtient C = F(a). Ceci montre que pour tout x ∈ I
Z x
F(x) = F(a) +
f (t)dt.
a
→ Par conséquent le calcul de l’intégrale d’une fonction continue se ramène à la détermination d’une primitive de cette
fonction :
Z
b
a
f (t)dt = F(b) − F(a) = [F(t)]ba .
1.3.2
Calculs de primitives
Rappelons les primitives usuelles :
intervalle
R∗+
fonction
6= −1
xm , m
primitive
xm+1
m+1 +C
R∗+ , R∗−
1
x
ln |x| +C
R
eλx , λ 6= 0
1 λx
λ e +C
R
ax , a > 0 et a 6= 1
1 x
ln a a +C
R
cos ax, a 6= 0
1
a sin ax +C
R
sin ax, a 6= 0
− a1 cos ax +C
] − π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
tan x
− ln |cos x| +C
] − π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
1
cos 2 x
= 1 + tan2 x
tan x +C
]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z
1
sin 2 x
− tan1 x +C
R
ch ax, a 6= 0
1
a sh ax +C
R
sh ax, a 6= 0
1
a ch ax +C
R
th x
ln ch x +C
R
1
ch 2 x
= 1 − th 2 x
th x +C
R∗− , R∗+
1
sh 2 x
− th1x +C
R
1
x2 +1
arctan x +C
] − 1, 1[
1
1−x2
argth x +C = 21 ln
] − 1, 1[
√ 1
1−x2
arcsin x +C
]1, +∞[
√ 1
x2 −1
argch x +C
R
√ 1
x2 +1
argsh x +C
x+1
x−1
1.3.3
Intégration par parties
Théorème 1.3.4 (Intégration par parties). Soit u et v deux fonctions de classe C1 sur [a, b]. Pour tout x ∈ [a, b] on a l’égalité
Z x
0
u (t)v(t)dt =
a
[u(t)v(t)]xa −
Z x
u(t)v0 (t)dt.
a
Démonstration. En effet u et v étant dérivables, le produit uv est dérivable avec (uv)0 = u0 v + uv0 . La formule d’intégration
par parties découle de l’intégration de cette formule : pour tout x ∈ [a, b]
[u(t)v(t)]xa
Z x
=
Z x
0
(uv) (t)dt =
Z x
0
u (t)v(t)dt +
a
a
u(t)v0 (t)dt.
a
Exemple 1.3.5. Calculons la primitive de x 7→ ln x qui s’annule en 1. Toutes les autres primitives s’en déduiront par ajout
d’une constante. On procède par intégration par parties : Pour x ∈ ]0, +∞[ on a
Z x
Z x
lntdt =
1. lntdt =
1
1
[t lnt]x1 −
Z x
1dt = x ln x − x + 1.
1
Les primitives de x 7→ ln x sont donc les fonctions x 7→ x ln x − x +C où C est une constante réelle.
1.3.4
Changements de variables
Théorème 1.3.6 (Changements de variables). Soit f une fonction continue sur un intervalle I et ϕ une fonction de classe C1
sur un intervalle [a, b] à valeurs dans I. On a
Z b
Z ϕ(b)
0
f (ϕ(x))ϕ (x)dx =
f (t)dt.
a
ϕ(a)
Démonstration. Soit F une primitive de f . On consière la fonction g = F ◦ ϕ. Cette fonction est dérivable, sa dérivée est
continue et vérifie
g0 (x) = F 0 (ϕ(x))ϕ0 (x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x).
On a d’une part
g(b) − g(a) = F(ϕ(b)) − F(ϕ(a)) =
Z ϕ(b)
f (t)dt,
ϕ(a)
et d’autre part
g(b) − g(a) =
Z b
g0 (t)dt =
Z b
a
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
a
Ce qui donne la formule.
Exemple 1.3.7. Calculer l’intégrale
On pose pour cela
R π/2
0
(sin 3 (x) + 1)cos xdx.
t = ϕ(x) = sin x
fonction de classe C1 sur [0, π/2]. Nous avons
dt = ϕ0 (x)dx = cos xdx
et ϕ(0) = ϕ(π/2) = 1.
Par la formule de changement de variables nous obtenons l’égalité
Z π/2
3
Z 1
(sin x + 1)cos xdx =
0
0
t4
(t + 1)dt =
+t
4
3
1
5
= .
4
0