Chapitre 1
Dérivation, développements limités et intégration
1.1 Dérivation
1.1.1 Définition
Dans toute la suite Idésignera un intervalle du type
]a,b[,],b[,]a,+[.
Définition 1.1.1. (Dérivation, (Newton 1643-1727, Leibniz 1646-1716)).
Soit Iun intervalle non vide et f:]a,b[Rune fonction. Soit x0un point de l’intervalle I. On dit que fest dérivable en
x0si et seulement si la fonction taux d’accroissement
τx0:x7→ f(x)f(x0)
xx0
admet une limite quand xtend vers x0. Cette limite est appelée nombre dérivé de fen x0, noté f0(x0)ou d f
dx (x0):
f0(x0) = d f
dx (x0) = lim
xx0
f(x)f(x0)
xx0
=lim
xx0
τx0(x).
Remarque 1.1.2. On se ramène souvent à prendre une limite en 0 en posant x=x0+h:
f0(x0) = lim
h0τx0(x0+h) = lim
h0
f(x0+h)f(x0)
h.
La fonction fest dite dérivable sur l’intervalle Isi et seulement si elle est dérivable en tout point de I. On appelle dérivée
de fl’application
f0:IR
x7→ f0(x).
1.1.2 Interprétation géométrique
Le taux d’accroissement f(x)f(x0)
xx0est le coefficient directeur de la “corde” passant les points Mx0= (x0,f(x0)et Mx0+h=
(x0+h,f(x0+h)). Dire que fest dérivable en x0signifie géométriquement que le graphe de fadmet une tangente au point
(x0,f(x0)). Cette tangente est la droite limite des cordes (Mx0Mx0+h). Cette tangente a pour équation
Tx0,f(x0):y=f0(x0)(xx0) + f(x0).
1
x=x0+h
x0
y=f(x0) + f0(x0)(xx0)
=f(x0) + f0(x0)h
Graphe(f) = {(x,f(x)) |xI}
(x0,f(x0))
(x0+h,f(x0+h))
y=f(x0) + f(x0+h)f(x0)
h(xx0)
f(x0)
f(x0+h)
c
Contre-exemple 1.1.3. La fonction x7→ |x|n’est pas dérivable en 0. En effet
lim
h0,h0|h|
h=h
h=1 et lim
h0,h0|h|
h=h
h=1
Son graphe n’admet pas de tangente en 0.
|x|
1.1.3 Interprétation physique
Si f(t)représente la position à l’instant td’un mobile sur un axe, le quotient f(t)f(t0)
tt0représente la vitesse moyenne du
mobile entre les temps tet t0alors que le nombre dérivée f0(t0)représente la vitesse moyenne du mobile au temps t0.
1.1.4 Développement limité à l’ordre 1
Dire que fest dérivable en x0de dérivée f0(x0)signifie qu’il existe une fonction “erreur” ε:]a,b[Rtelle que pour tout
x]a,b[
f(x) = f(x0) + f0(x0)(xx0)+(xx0)ε(x)
avec limxx0ε(x) = 0.
Le produit (xx0)ε(x)représente l’erreur commise dans l’approximation de fpar le polynôme f(x0) + f0(x0)(xx0).
Remarque 1.1.4. La fonction erreur εest tout simplement
ε:x7→ f(x)f(x0)
xx0f0(x0)
x07→ 0.
L’écriture
f(x) = f(x0) + f0(x0)(xx0)+(xx0)ε(x)
est le développement limité à l’ordre 1 de fen x0.
x=x0+h
x0
(x0,f(x0))
(x0+h,f(x0+h))
erreur = (xx0)ε(x)
(x0+h,f(x0) + f0(x0)h)
c
D’après ce qui précède, fadmet un développement limité à l’ordre 1 en x0si et seulement si fest dérivable en x0.
1.1.5 Opérations sur les dérivées
Soit fet gdeux fonctions dérivables sur un intervalle Iet à valeurs dans R.
1. La fonction f+gest dérivable et sa dérivée est la fonction
(f+g)0=f0+g0.
2. Le produit f g est dérivable et sa dérivée est la fonction
(f g)0=f0g+f g0.
3. Si de plus la fonction gne s’annule pas, alors la fonction 1
gest dérivable et sa dérivée est la fonction
1
g0=g0
g2,
de même la fonction f
gest dérivable et sa dérivée est la fonction
f
g0=f0gf g0
g2.
Proposition 1.1.5. (Dérivée des applications composées).
Soit u :]a,b[]c,d[et f :]c,d[Rdeux applications. La fonction composée
fu:x]a,b[f(u(x))
est bien définie.
Soit x0]a,b[. Si u est dérivable en x0, si f est dérivable en u(x0)alors f u est dérivable en x0et
(fu)0(x0) = f0(u(x0))u0(x0).
Remarque 1.1.6. Moyen mnémotechnique avec les notations de Leibniz : si l’on note F=fualors
dF
dx =d f
du
du
dx .
Exemple 1.1.7. Considérons la fonction g:x7→ x2+1. Cette fonction est la composée de
u:x7→ x2+1 et f:y7→ y
leur dérivée sont
u0(x) = 2xet f0(y) = 1
y
par application de la proposition précédente, la fonction gest dérivable et
g0(x) = 2x
x2+1.
1.1.6 Fonction réciproque et dérivée
Si f:]a,b[Rest une fonction strictement croissante ou strictement décroissante alors tout point de l’image de fadmet
un unique antécédent, dit autrement, toute valeur de fest atteinte une seule fois.
Contre-exemple 1.1.8. La fonction x7→ x2définie sur R2, le point 1 admet deux antécédents 1 et 1, mais cette fonction
n’est pas strictement monotone).
Sous l’hypothèse précédente, la fonction fest une bijection de ]a,b[sur son image f(]a,b[).
On peut alors définir son application réciproque f 1qui a une image de fassocie son unique antécédent
f:]a,b[f(]a,b[)
x7→ f(x)
q q
f1(y)y
]a,b[f(]a,b[) :f1.
Graphe d’une application réciproque. Par définition
Graphe f={(x,f(x)) |x]a,b[,f(x)f(]a,b[)}
et
Graphe f1={(y=f(x),f1(y) = x)|x]a,b[,y=f(x)f(]a,b[)}
Ces graphes sont symétriques l’un par rapport à l’autre par rapport à la droite :y=x.
Remarquons en effet que la symétrie senvoie le point (x,y)sur le point (y,x).
Exemple 1.1.9.
[0,+[[0,+[
xx2
yy
1.
1.
0
.
(.)2
Exemple 1.1.10.
],+[]0,+[
xexp(x)
ln(y)y
2.1.1.
2.
1.
1.
0
ln(.)
exp(.)
Exemple 1.1.11.
[π
2,π
2][1,1]
xsin (x)
arcsin(y)y
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