cours Analyse 1mpsi

Analyse I

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Table des mati`eres
1 Fonctions usuelles 9
1.1 Rappels sur les fonctions logarithme et exponentielle ..... 9
1.2 Fonctions puissances, croissances compar´ees .......... 14
1.2.1 D´efinition ......................... 14
1.2.2 Croissances compar´ees .................. 15
1.3 Fonctions circulaires ....................... 16
1.4 Fonctions circulaires r´eciproques ................. 18
1.5 Les fonctions hyperboliques ................... 22
2 Int´egrales 25
2.1 Primitives ............................. 25
2.2 Int´egration par parties ...................... 27
2.3 Changement de variable ..................... 28
2.4 Calculs des primitives ....................... 31
2.4.1 Primitives usuelles .................... 31
2.4.2 Primitives de x7−→ 1
ax2+bx+c............... 32
2.4.3 Fractions rationnelles en xet √ax +b......... 33
2.4.4 Produit d’une exponentielle et d’un polynˆome ..... 34
2.4.5 Produit d’une exponentielle et d’un sinus ou un cosinus 34
2.4.6 Fractions rationnelles en ch xet sh x.......... 35
2.4.7 Polynˆome en sin xet cos x................ 36
3 Equations diff´erentielles 39
3.1 Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre ....... 39
3.1.1 Structure des solutions .................. 40
3.1.2 R´esolution de l’´equation sans second membre ..... 41
3.1.3 Solution particuli`ere de l’´equation avec second membre 41
3.1.4 Probl`eme de Cauchy ................... 43
3

4TABLE DES MATI ` ERES
3.1.5 ´ Equation lin´eaire de forme non r´esolue ......... 44
3.2 Equations lin´eaires du second ordre `a coefficients constants. . . 46
3.2.1 Structure des solutions .................. 46
3.2.2 R´esolution de l’´equation sans second membre (3.5) . . 46
3.2.3 R´esolution de l’´equation avec second membre ..... 49
3.2.4 Probl`eme de Cauchy ................... 50
4 Nombres r´eels 51
4.1 Propri´et´e de la borne sup´erieure ................. 51
4.2 La droite num´erique achev´ee ................... 55
4.3 Caract´erisation des intervalles de R............... 55
4.4 Th´eor`eme d’Archim`ede, partie enti`ere .............. 57
4.5 Valeurs d´ecimales approch´ees .................. 58
4.6 Densit´e de Qdans R....................... 59
5 Les suites 61
5.1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires .............. 61
5.1.1 Op´erations sur les suites ................. 62
5.1.2 Suites extraites ...................... 63
5.2 Convergence d’une suite r´eelle .................. 63
5.2.1 D´efinition de la convergence ............... 63
5.2.2 Propri´et´es d’une suite convergente ............ 65
5.2.3 Op´erations sur les limites ................. 67
5.3 Limites infinies. .......................... 70
5.3.1 Suites tendant vers l’infini ................ 70
5.3.2 Extension des op´erations sur les limites ......... 70
5.4 Limites et in´egalit´es ........................ 71
5.4.1 Passage `a la limite dans une in´egalit´e .......... 71
5.4.2 Encadrement par des suites de mˆeme limite ...... 72
5.4.3 Extension `a l’infini .................... 75
5.5 Th´eor`emes d’existence de limites. ................ 75
5.5.1 Suites monotones born´ees ................ 75
5.5.2 Suites adjacentes ..................... 77
5.5.3 Segments emboˆıt´es .................... 78
5.5.4 Suite extraite d’une suite born´ee ............. 79
5.6 Suites complexes ......................... 79
5.7 Quelques suites particuli`eres. ................... 81
5.7.1 Suites arithm´etiques ................... 81

TABLE DES MATI ` ERES 5
5.7.2 Suites g´eom´etriques .................... 81
5.7.3 Calcul de Sn=x0+x1+···xn............. 82
5.7.4 Suites arithm´etico-g´eom´etriques ............. 82
5.7.5 Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2 .......... 83
5.8 Suite de la forme un+1 =f(un)................. 85
5.9 Les diff´erentes relations de comparaisons ............ 88
5.9.1 D´efinitions des relations de comparaison ........ 88
5.9.2 Propri´et´es des relations de comparaison ......... 91
5.9.3 Croissances compar´ees et suites ............. 95
5.9.4 Quelques applications des relations de comparaison . . 96
6 Limites-Continuit´e 99
6.1 Voisinage dans R......................... 99
6.2 Limites ...............................100
6.2.1 Notion de limite .....................100
6.2.2 Ordre et limite ......................103
6.2.3 Op´erations .........................104
6.2.4 Limite `a droite-Limite `a gauche .............105
6.2.5 Th´eor`eme de la limite monotone .............106
6.3 Continuit´e .............................108
6.3.1 Continuit´e en un point-Continuit´e sur un intervalle . . 108
6.3.2 Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires .........109
6.3.3 Image d’un segment ...................111
6.3.4 Continuit´e, injectivit´e et monotonie ...........112
6.3.5 Limite et continuit´e des fonctions `a valeurs dans C.. . 113
6.3.6 Continuit´e d’une fonction `a valeurs complexes . . . . . 114
6.4 Comparaison locale des fonctions ................114
6.4.1 Fonction domin´ee par une autre .............114
6.4.2 Fonction n´egligeable devant une autre ..........115
6.4.3 Fonctions ´equivalentes ..................116
7 D´eriv´ees - Formules de Taylor 121
7.1 G´en´eralit´es. ............................121
7.1.1 D´erivabilt´e en un point ..................121
7.1.2 Interpr´etation graphique .................124
7.2 Op´erations sur les d´eriv´ees ....................125
7.2.1 D´eriv´ee d’une somme ...................125
7.2.2 D´eriv´ee d’un produit ...................125