Chapitre 12 - Trigonométrie

2nde
Chapitre 12 - Trigonométrie
2012-2013
Chapitre 12 - Trigonométrie
I
Enroulement de la droite numérique
TD : Longueurs d’arcs
L’unité de longueur est le cm. Sur la figure ci-dessous, le repère (O, I, J) est orthonormé, le cercle C
a pour centre O et pour rayon 1.
J
b
D
b
b
+
C
E
B
b
b
F
A
b
b
I′
O
bb
b
b
b
I
b
A′
F′
b
b
B′
E′
b
b
D′
C′
b
J′
On choisit comme sens de parcours sur le cercle celui indiqué par la flèche, appelé sens positif ou sens
direct.
Í . Les autres points sont
Les points A, B et C sont situés au tiers, à la moitié, au deux tiers de l’arc IJ
obtenus par symétrie par rapport à (OI) ou (OJ) ou O.
Une bille rouge part de I et parcourt le cercle dans le sens direct.
1. Quelle longueur a parcourue la bille rouge :
(a) lorsqu’elle revient en I après un tour complet ?
(b) lorsqu’elle arrive pour la première fois au point : I ′ ; J ; B ; E ′ ; A ; F ; C ; C ′ ?
2. Où s’arrête la bille après avoir parcouru une distance de :
(a)
3π
4
(b) π +
π
3
π π
(d)
+
2 6
π
6
π
(f) 2π +
3
(c) π −
π
6
(e) 2π −
-1-
7π
4
7π
(h)
+ 50π
4
(g)
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Définition 1
Le cercle trigonométrique C de centre O est le cercle de centre O
et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours, appelé sens
direct (c’est le sens inverse des aiguilles d’une montre).
Dans toute la suite, on considère des points I et J de C tels que :
– (O, I, J) est un repère orthonormé ;
Í se parcourt de I à J dans le sens direct.
– le quart de cercle IJ
Soit d une droite graduée dont le zéro coïncide avec le point I du cercle (voir
figure). On enroule sur le cercle C la demi-droite rouge des réels positifs
dans le sens direct, et celle des réels négatifs dans l’autre sens.
◇ Chaque réel x de la droite d vient s’appliquer sur un point M unique du
cercle C, appelé image de x sur C.
◇ Réciproquement, tout point M ′ du cercle C est l’image d’un réel x′ ; il
est alors aussi l’image des réels x′ + 2π, x′ + 4π, . . ., x′ − 2π, x′ − 4π, . . .,
c’est-à-dire de tous les réels s’écrivant x′ + k × 2π où k ∈ Z.
II
Cosinus et sinus d’un réel
TD : Repérage sur un quart de cercle
Í de centre O. α est la mesure
(O, I, J) est un repère orthonormé. M est un point du quart de cercle IJ
̂.
en degrés de l’angle IOM
J
M
K
α
O
H
I
A. Cas particuliers
1. α = 30○ (c’est le cas de la figure ci-dessus)
(a) Justifier que le triangle OM J est équilatéral.
(b) Calculer sa hauteur M K.
(c) En déduire les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J).
2. α = 60○
(a) Faire une figure adaptée à ce cas et préciser la nature du triangle OIM .
(b) En déduire les coordonnées du point M .
3. α = 45○
(a) Faire une nouvelle figure et montrer que le quadrilatère OHM K est un carré.
-2-
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(b) Calculer la longueur de ses côtés et en déduire les coordonnées de M .
B. Coordonnées de M en fonction de α
1. En considérant le triangle OHM , montrer, dans le cas général, que les coordonnées de M sont :
OH = cos α et OK = sin α.
2. Compléter les 2ème et 3ème colonnes du tableau suivant :
α
cos α
sin α
Î
Longueur de IM
30○
45○
60○
Î
C. Longueur de l’arc IM
Í
1. Calculer la longueur de l’arc IJ.
2. Finir de compléter le tableau précédent en utilisant la proportionnalité d’un arc et d’un angle
au centre qui l’intercepte.
Définition 2
Soit x un nombre réel et M son image sur le cercle C. L’abscisse et l’ordonnée du point M sont
appelées cosinus et sinus du réel x. On les note : cos x et sin x.
Propriété 1
◇ Pour tout réel x, −1 ⩽ cos x ⩽ 1 et −1 ⩽ sin x ⩽ 1.
◇ Pour tout réel x, (cos x)2 + (sin x)2 = 1.
Lien avec le cosinus et le sinus d’un angle aigu
π
Soit x un réel avec 0 < x < et M son image sur le cercle C. Dans le triangle rectangle OHM , avec
2
OH
̂ = HM = OK = sin x.
̂
= OM = cos x ; sin IOM
OM = 1 : cos IOM =
OM
OM
Valeurs remarquables :
30○ 45○
π
π
réel x
0
√6
√4
3
2
cos α = cos x 1
2
2
√
1
2
sin α = sin x 0
2
2
Vocabulaire : Le réel x compris entre 0 et π correspondant
angle α
0○
de cet angle.
-3-
60○ 90○
π
π
3
2
1
0
√2
3
1
2
à l’angle α est appelé mesure en radian