Université de Tlemcen
Faculté des Sciences
TRONC COMMUN ST
MATH 1
2015/2016
TD N° 1
Exercice 1: Les énoncés suivants sont-ils des propositions? Dans l’affirmative dites si elles sont
vraies ou fausses et donnez leurs négations.
1. P : « L’Algérie a eu sont indépendance en 1961 »
2. Soit n un entier naturel.
Q : « 2 −  ≥ 2 »
3. S : « √2 + √3 ≤ 3√2  3√3 > √5 »
4. T : « 47 > 74 ⟹ 47 < 74 »
Exercice 2: 1. Soit  une proposition. En dressant la table de vérité, montrer que la proposition
⋀̅ est fausse et que la proposition ⋁̅ est vraie. Les propositions ⋀̅ et ⋁̅ sont appelées
des tautologies, leurs valeurs de vérité sont indépendantes de .
̅̅̅̅̅̅ ≡ ̅⋀̅ , ⋀
̅̅̅̅̅̅ ≡ ̅⋁̅ .
2. Soit  et  deux propositions. Montrer les lois de Morgan: ⋁
Exercice 3:
1. Soit n un entier naturel. Montrer que si 2 est divisible par 3, alors n est divisible par 3.
2. Montrer par l’absurde que √3 est un nombre irrationnel.
3. Soit  ∈ ℝ, tel que pour tout  > 0 on a || < . Montrer alors que  = 0.
Exercice 4: 1. Soit  un réel positif. Démontrer par récurrence que :
∀ ∈ ℕ,
(1 + ) ≥ 1 + .
2. Démontrer par récurrence sur n que :


1. 2 ≥ 
2
2.
∑ 2 =
=1
( + 1)(2 + 1)
.
6
(Déterminer le rang à partir duquel la première propriété est vraie.)
Exercice 5: Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1.
2.
3.
4.
∀ ∈ ℝ, ∃ ∈ ℕ;  > .
∃ ∈ ℕ, ∀ ∈ ℝ;  > .
∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℝ ;  +  2  2 + || + 1 >  −1 .
∀ ∈ ℝ, ∃ ∈ ℝ;  + sin  > .
Donner la négation de chacune d’elles.
Université de Tlemcen
Faculté des Sciences
TRONC COMMUN ST
2015/2016
MATH 1
TD N° 0
Exercice 1: Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants:
5+2
1−
1+ 2
, (2−) ,
2+5
1−
+
2−5
1+
Exercice 2: Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants:
1 = 1 + ,
2 = 1 − , 3 = √3 +  , 4 = 1 − √3 ,
5 = −2
Exercice 3: Calculer et mettre sous forme algébrique:
(1−)7
5
1+ 2015
7
1 = (1+)4 , 2 = (√3 + ) (1 − √3) , 3 = (2−)
4 = 3
2
3 ,

5 = √2  8
Exercice 4: Factoriser les polynômes suivants :
1.  2 − √3  − 
2.  2 − (1 + 3) − 2 + 2
3.  2 − (1 − 5)  − 2 + 6.
Exercice 5: Soit  un nombre réel tel que cos α ≠ 0.
Trouver le module et un argument du nombre complexe :
 = 1 +  tan 
Exercice 6: On donne les nombres complexes suivants :
1 = 1 +  et 2 = 1 + √3
1. Calculer le produit 1 2 .
2. Ecrire sous forme trigonométrique le nombre 1 2 .
5
5
3. En déduire cos 12 et sin 12.
Exercice 7:
1. Linéariser cos 4  et sin4  où  est un nombre réel.
2. Ecrire cos(4) et sin(4) en fonction de cos  et sin .
Téléchargement

Université de Tlemcen Faculté des Sciences 2015/2016 TRONC