Université de Tlemcen Faculté des Sciences TRONC COMMUN ST MATH 1 2015/2016 TD N° 1 Exercice 1: Les énoncés suivants sont-ils des propositions? Dans l’affirmative dites si elles sont vraies ou fausses et donnez leurs négations. 1. P : « L’Algérie a eu sont indépendance en 1961 » 2. Soit n un entier naturel. Q : « 𝑛2 − 𝑛 ≥ 2 » 3. S : « √2 + √3 ≤ 3√2 𝑒𝑡 3√3 > √5 » 4. T : « 47 > 74 ⟹ 47 < 74 » Exercice 2: 1. Soit 𝑃 une proposition. En dressant la table de vérité, montrer que la proposition 𝑃⋀𝑃̅ est fausse et que la proposition 𝑃⋁𝑃̅ est vraie. Les propositions 𝑃⋀𝑃̅ et 𝑃⋁𝑃̅ sont appelées des tautologies, leurs valeurs de vérité sont indépendantes de 𝑃. ̅̅̅̅̅̅ ≡ 𝑃̅⋀𝑄̅ , 𝑃⋀𝑄 ̅̅̅̅̅̅ ≡ 𝑃̅⋁𝑄̅ . 2. Soit 𝑃 et 𝑄 deux propositions. Montrer les lois de Morgan: 𝑃⋁𝑄 Exercice 3: 1. Soit n un entier naturel. Montrer que si 𝑛2 est divisible par 3, alors n est divisible par 3. 2. Montrer par l’absurde que √3 est un nombre irrationnel. 3. Soit 𝑥 ∈ ℝ, tel que pour tout 𝜀 > 0 on a |𝑥| < 𝜀. Montrer alors que 𝑥 = 0. Exercice 4: 1. Soit 𝑥 un réel positif. Démontrer par récurrence que : ∀𝑛 ∈ ℕ, (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥. 2. Démontrer par récurrence sur n que : 𝑛 𝑛 1. 2 ≥ 𝑛 2 2. ∑ 𝑘2 = 𝑘=1 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) . 6 (Déterminer le rang à partir duquel la première propriété est vraie.) Exercice 5: Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. 1. 2. 3. 4. ∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑛 ∈ ℕ; 𝑛 > 𝑥. ∃𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑥 ∈ ℝ; 𝑛 > 𝑥. ∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ ; 𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 + |𝑥𝑦| + 1 > 𝑒 −1 . ∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ; 𝑥 + sin 𝑦 > 𝑦. Donner la négation de chacune d’elles. Université de Tlemcen Faculté des Sciences TRONC COMMUN ST 2015/2016 MATH 1 TD N° 0 Exercice 1: Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants: 5+2𝑖 1−𝑖 1+𝑖 2 , (2−𝑖) , 2+5𝑖 1−𝑖 + 2−5𝑖 1+𝑖 Exercice 2: Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants: 𝑍1 = 1 + 𝑖, 𝑍2 = 1 − 𝑖, 𝑍3 = √3 + 𝑖 , 𝑍4 = 1 − 𝑖√3 , 𝑍5 = −2 Exercice 3: Calculer et mettre sous forme algébrique: (1−𝑖)7 5 1+𝑖 2015 7 𝑍1 = (1+𝑖)4 , 𝑍2 = (√3 + 𝑖) (1 − 𝑖√3) , 𝑍3 = (2−𝑖) 𝑍4 = 3𝑒 2𝑖𝜋 3 , 𝑖𝜋 𝑍5 = √2 𝑒 8 Exercice 4: Factoriser les polynômes suivants : 1. 𝑍 2 − √3 𝑍 − 𝑖 2. 𝑍 2 − (1 + 3𝑖)𝑍 − 2 + 2𝑖 3. 𝑖𝑍 2 − (1 − 5𝑖) 𝑍 − 2 + 6𝑖. Exercice 5: Soit 𝛼 un nombre réel tel que cos α ≠ 0. Trouver le module et un argument du nombre complexe : 𝑍 = 1 + 𝑖 tan 𝛼 Exercice 6: On donne les nombres complexes suivants : 𝑍1 = 1 + 𝑖 et 𝑍2 = 1 + 𝑖√3 1. Calculer le produit 𝑍1 𝑍2 . 2. Ecrire sous forme trigonométrique le nombre 𝑍1 𝑍2 . 5𝜋 5𝜋 3. En déduire cos 12 et sin 12. Exercice 7: 1. Linéariser cos 4 𝛼 et sin4 𝛼 où 𝛼 est un nombre réel. 2. Ecrire cos(4𝛼) et sin(4𝛼) en fonction de cos 𝛼 et sin 𝛼.