découverte : le quart de cercle trigonométrique

C HAPITRE 4
D ÉCOUVERTE : L E QUART DE CERCLE
TRIGONOMÉTRIQUE
Vous avez sur votre écran d’ordinateur une figure qui doit ressembler à celle-ci :
Le quart de cercle rouge est centré sur le point O (origine du repère orthonormé), de rayon 1. Il est appelé quart de cercle trigonométrique
Le triangle O AB est rectangle en A ; le point M est le point d’intersection de [OB] avec le quart de cercle
trigonométrique, et le point N est le point de [BC ] d’abscisse 1. L’angle α peut varier grâce au curseur,
sur la droite de la figure (à la souris, ou au clavier avec les flèches, si le point sur le curseur a été au préalable sélectionné).
Pour quelques valeurs de α que vous choisirez arbitrairement, complétez le tableau suivant, à l’aide du
graphique et de votre calculatrice :
Mesure de l’angle α
quotient
OA
OB
quotient
AB
OB
quotient
OA
AB
valeur de cos α
valeur de sin α
valeur de tanα
abscisse de M
ordonnée de M
ordonnée de N
3ème
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Activité de découverte
Comment expliquer ces résultats ?
Complétez :
 = ............ .
1. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a cos α = cos AOB
............
Dans le triangle OF M rectangle en F , on a cosα = cos Fƒ
OM = .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. = . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . .
Autrement dit, le cosinus de l’angle α est donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
où M est le point d’intersection de [OB) avec le quart de cercle trigonométrique.
 = ............ .
2. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a sin α = sin AOB
............
Dans le triangle OF M rectangle en F , on a sin α = sin Fƒ
OM = .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. = . . . . . . = . . . . . . = . . . . . . .
Autrement dit, le sinus de l’angle α est donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , où
M est le point d’intersection de [OB) avec le quart de cercle trigonométrique.
 = ............ .
3. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a tan α = tan AOB
............
Dans le triangle OI N rectangle en I , on a tanα = tan I
ON = .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. = . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . .
Autrement dit, la tangente de l’angle α est donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
où N est le point d’intersection de [OB) avec la droite tangente au cercle trigonométrique au
point I .
Quelques propriétés des sinus, cosinus et tangente.
Nous sommes donc dans la situation suivante :
1.0
b
J
H
0.8 tan α
G
b
0.6 sin α
b
b
b
N
M
0.4
0.2
b
0.4 −0.2
O
cos α F
α
0.2
I
b
0.4
0.6
0.8
b
1.0
1.2
1.4
Sur votre cahier ou votre classeur, à l’aide de la figure ci-dessus :
1. Pourquoi a-t-on toujours 0 < cos α < 1 et 0 < sin α < 1 pour un angle aigu α ?
2. A-t-on le même genre d’encadrement pour tan α ?
3. Démontrer que l’on a cos2 α + sin2 α = 1.
sin α
4. Démontrer que l’on a tan α =
cos α
3ème
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Activité de découverte