Trigonométrie: les fonctions trigonométriques primaires

Trigonométrie: les fonctions trigonométriques primaires comme
coordonnées d’un cercle unitaire.
Les fonctions trigonométriques primaires sin et cos ont été définies comme des fonctions
qui associent à un angle d’un triangle rectangle un rapport des longueurs de côtés de ce
triangle. Et donc les expressions telles que sin ∠A et cos ∠A n’ont un sens que si ∠A a une
valeur entre 0◦ et 90◦ .
Notons tout d’abord que si la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est 1, les
valeurs de cosinus et sinus ne représentent que les longueurs de côtés de ce triangle. Prenons
comme exemple un triangle rectangle avec un angle de 30◦ avec l’hypoténuse égale à 1.
Inscrivons-le à l’intérieur d’un cercle unitaire avec l’angle de 30 degrés au centre.
Figure 1: Triangle dans le cercle unitaire
Nous voyons que sin 30 = 12 égale la deuxième√ coordonnée du point au bout du rayon sur la
circonférence du cercle, tandis que cos 30 = 23 égale la première coordonnée. De fait il en
sera ainsi pour tous les angles θ au centre du cercle. C’est-à-dire que pour tout angle θ au
centre dans le premier quadrant les coordonnées sur le cercle au bout du rayon définissant
cet angle sont (x, y) = (cos θ, sin θ). (Voir la figure 2, ci-dessous.)
Nous irons une étape plus loin. Nous définissons de façon formelle les fonctions sinus et
cosinus comme suit:
Pour tout angle θ, peu importe sa valeur, cos θ égale la première coordonnée du
point (x, y) qui se trouve sur le cercle unitaire au bout du rayon formant un
angle θ avec l’axe horizontal positif (dans le sens anti-horaire), tandis que sin θ
égale la deuxième coordonnée de ce point.
1
!
Figure 2: Fonction trigonométrique
!
Figure 3: Définition de sinus et cosinus
À partir de ces définitions tentez de justifier à l’aide du cercle unitaire les valeurs suivantes:
sin 120
sin 150
sin 210
sin 240
√
= 23
= 12
= − 21√
= − 23
sin 135
sin 180
sin 225
sin 270
√
= 22
= 0√
= − 22
= −1
À noter qu’un angle θ = −30◦ place le rayon formant cet angle avec l’axe horizontal positif
au même endroit que l’angle θ = 330◦ .
c Club Pythagore, 2009
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