cours trigonometrie

Chapitre 4 : Trigonométrie
I. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
1. Le cercle trigonométrique
Définition
(
)
Le plan est muni d'un repère orthonormé O, I, J .
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse
des aiguilles d'une montre, appelé sens direct.
2. Principe de l'enroulement
Dans un repère orthonormé ( O, I , J ), on considère le cercle trigonométrique et une droite

IC tangente au cercle en I et orientée telle que I; IC soit un repère de la droite.
( )
(
)
Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d’abscisse x de la
droite orientée un unique point M du cercle.
IM est ainsi égale à la longueur IN.
La longueur de l’arc 
Exercice 1
1. Placer sur le cercle trigonométrique le point M associé aux réels suivants :
π π π π
π 2π
3π
a. π ; ;
;
; . b. − ;
; −
.
2 4 3 6
6 3
4
2nde
Chapitre 4 : Trigonométrie
La position du point M est donc associée à l'abscisse x du point N sur la droite des réels.
1
Propriété
Tout point M du cercle associé au nombre x est également associé à tout nombre x ' tel que
x ' = x + k × 2π , où k est un entier relatif.
Démonstration
Le périmètre du cercle de rayon 1 est : p = 2π r = 2π .
La longueur 2π correspond à un tour complet.
Exercice 2
9π
7π
et −
, indiquer un autre réel associé au même point sur le
4
3
cercle trigonométrique, et placer ce point.
π
43π
2. a. Montrer que les réels
et
sont associés au même point sur le cercle
3
3
trigonométrique.
π
39π
b. Faire de même pour
et −
.
4
4
1. Pour chacun des réels
2. Mesure principale
Un angle orienté admet une infinité de mesures exprimées en radians, de la forme x + k × 2π
où k ∈! .
Une seule de ces mesures appartient à l’intervalle ⎤⎦ −π ;π ⎤⎦ : Elle s’appelle mesure principale
de l’angle.
Méthode : Déterminer la mesure principale d’un angle
123π
.
4
123
< 41
On encadre la partie fractionnaire : 40 <
4
Déterminer la mesure principale de l’angle
•
•
123π
3π
− 40π =
4
4
123π
3π
On conclut : La mesure principale de
est
.
4
4
On enlève à l’angle l’entier pair multiplier par π :
Exercice 3
Déterminer la mesure principale des angles
2nde
2015π
205π 312π
819π
, −
,
et −
.
3
6
3
3
Chapitre 4 : Trigonométrie
•
2
II. Cosinus et sinus d'un nombre réel
1. Définitions et propriétés
Définition
On considère un réel x quelconque et on appelle M le point du cercle trigonométrique associé
à x.
• L'abscisse du point M dans le repère orthonormé O, I, J est le cosinus du réel x, noté
cos x .
• L'ordonnée du point M dans le repère orthonormé O, I, J est le sinus du réel x, noté
sin x .
Dans le repère O, I, J on a donc M cos x;sin x .
(
)
(
(
)
(
)
)
Propriétés
Propriété d'encadrement
Pour tout réel x, on a : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 . Relation fondamentale
Pour tout réel x, on a : ( cos x ) + ( sin x ) = 1 . 2
2
Démonstration
Théorème de Pythagore dans le triangle OEM.
π
, alors cos x > 0 et sin x > 0 , donc on a cos x = OE et sin x = OF .
2
Or dans le triangle OEM, on a :
 = OE = OE = OE = cos x .
cos EOM
OM
1
Si 0 < x <
2nde
Chapitre 4 : Trigonométrie
2. Lien avec la trigonométrie dans le rectangle
3
EM EM
=
= EM = sin x .
OM
1
 = cos x et sin IOM
 = sin x . Donc cos IOM
=
De plus, sin EOM
3. Valeurs remarquables des cosinus et sinus

Angle IOM
0°
x
0
 = cos x
cos IOM
1
 = sin x
sin IOM
0
30° π
6
3
2
1
2
45° π
4
2
2
2
2
60° π
3
1
2
3
2
90° π
2
0
1
Exercice 3
1. Dans chacun des cas suivants, déduire la valeur du sinus à partir de celle du cosinus et
inversement.
⎡π ⎤
⎡ π ⎤
5
1
2
a. cos x = , x ∈ ⎡⎣0;π ⎤⎦ .
b. sin x = , x ∈ ⎢ ;π ⎥ .
c. sin x = − , x ∈ ⎢ − ;0 ⎥ .
9
4
3
⎣2 ⎦
⎣ 2 ⎦
2nde
Chapitre 4 : Trigonométrie
1
2. x est un réel, tel que sin x = − .
4
a. Placer sur le cercle trigonométrique les deux points M1 et M 2 qui peuvent être associés au
réel x.
b. Calculer les abscisses des points M1 et M 2 .
c. On sait, de plus, que cos x > 0 .
Quel est le point associé à x sur le cercle trigonométrique ?
4