TD n°1 : trigonométrie - Université Paris Diderot

Méthodo S1
2013-21014
Feuille n°2
Université Paris Diderot – Licence 1
Méthodologie – 1er semestre
Feuille d’exercices – Géométrie et trigonométrie
A savoir
•
•
•
Faire la correspondance radians – degrés
Retenir une correspondance (par ex : 90° = p/2 radians)
Les définitions dans le triangle rectangle des fonctions trigonométriques sin α, cos α et tan α. En
déduire cos2 α + sin2 α = 1 et tan α = sin α /cos α. Quand deux angles sont complémentaires,
le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.
Notion de Cercle trigonométrique. C’est un cercle de rayon R = 1, dans lequel on tourne dans le
sens anti horaire (= sens trigonométrique). Alors l’axe des x permet de lire, pour un angle α
donné, son cosinus, et l’axe des y son sinus.
Les indications (*), (**) et (***) ne sont pas des indications de difficultés mais indiquent,
respectivement, les exercices qui seront corrigés complètement par l'enseignant, ceux dont
une correction sommaire sera donnée et ceux qui ne seront pas corrigés. Tous les exercices
ou leurs variations simples sont susceptibles d'être posés lors des évaluations.
1 – Radians et degrés
A – Convertir en radians
(*)
35° =
(**) 2° =
(**) 3’ (3 minutes d’arc) =
(***) 129° =
B - Convertir en degrés
(*)
π/10 rds =
(**) 2 rds =
(***) 5π/4 rds =
(***) 10-4 rds =
C – (**) Longueur d’un arc de cercle
a) Exprimer en fonction de R, le périmètre de la figure pour Ø = 2 rds.
b) Si R = 10 cm, et Ø = 30˚, quel est la longueur x de l’arc de cercle ?
c) Maintenant x vaut 6 cm et R vaut 4 cm. Quelle est la valeur de l’angle Ø ?
x
R
Ø
R
2 - Le cercle trigonométrique
A - (**) Travail préliminaire
a) Montrer qu’un sinus et un cosinus ne peuvent prendre que des valeurs entre –1 et +1.
b) Comparer les sinus et cosinus d’angles opposés, complémentaires, supplémentaires.
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c) Compléter le tableau ci-dessous, en donnant les valeurs exactes et approchées :
α
α en d°
sin α
Cos α
Tan α
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π/2
2π
B – Relations entre les fonctions trigonométriques
Soit α un angle entre 0 et 90 degrés :
a) (*) Exprimer cos α puis tan α en fonction de sin α seulement
b) (**) Exprimer sin α puis tan α en fonction de cos α seulement
c) (**) Exprimer sin α et cos α en fonction de tan α seulement
d) (**) Pourquoi, dans les questions précédentes, est-il important que α soit compris
entre 0 et 90 degrés ? Qu’est ce qui pourrait changer si ce n’était pas le cas ?
C – Cercle trigonométrique : entraînement
a) (*) Placer sur le cercle trigonométrique dont l’axe des cosinus est OI, les points M tels
que : (OI, OM ) =
27π
+ 2kπ, k ∈ Z
6
b) (**) Placer sur le cercle trigonométrique dont l’axe des cosinus est OI, les points N
tels que : (OI, ON ) = −
38π
+ 2kπ, k ∈ Z
3
c) (***) Placer sur le cercle trigonométrique dont l’axe des cosinus est OI, les points P
tels que : (OI, OP ) = x, avec 3x = −
π
+ 2kπ, k ∈ Z
2
D – Identités remarquables
Elles sont très pratiques dans tout problème faisant appel à des relations trigonométriques ; il
est inutile de les apprendre toutes par cœur. On en apprend une et on en déduit les autres, en
s’aidant des exercices précédents.
Ainsi, on connaît : cos(a+b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)
a) En déduire : (*) cos (a-b) ; (**) sin (a+b) ; (**) sin (a-b) ; (**) cos 2a ; (**) sin 2a
b) En déduire : (*) cos a + cos b; (**) sin a + sin b; (***) cos a – cos b, et sin a – sin b.
Pour cela, penser à faire apparaître (a+b)/2 et (a-b)/2
c) (*) Trouver, sans calculatrice, la valeur exacte de sin (7π/12).
d) (**) Trouver, sans calculatrice, la valeur exacte de sin (105°).
e) (**) A l’aide d’identités remarquables, simplifier sin2(a)cos2(a) + cos4a
f) (***) Pour tout réel x, simplifier l’expression :
A( x ) = cos( 3π − x ) + cos(
3π
π
+ x ) + sin( −
− x)
2
2
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E – Equations impliquant des fonctions trigonométriques
1
π
≤ x ≤ π et sin x =
2
2
3
1
b) (**) Déterminer la valeur exacte de x sachant que sin x =
et cos x = −
2
2
a) (*) Déterminer la valeur exacte de l’angle x vérifiant :
c)
d)
e)
f)
g)
(*) Résoudre l’équation sin(3x) = ½
(**) Résoudre l’équation 2 sin(α) + cos2(α) = 2
(**) Résoudre l’équation cos(5x) = cos (π/4 − x)
(***) Résoudre l’équation cos(4x) + 2 sinx cosx = 0
(***) Résoudre l’équation cos2x + 2 cosx − 3 = 0
F - Approximation des petits angles
a) (*) Evaluer l’erreur relative commise si l’on fait l’approximation sin α ~ α, dans le
cas où α est égal à π/4
b) (**) Evaluer l’erreur relative commise si l’on fait l’approximation sin α ~ α, dans le
cas où α est égal à π/6
c) (**) Trouver, sans calculatrice et en s’inspirant de l’exercice D, la valeur exacte de
sin(π/12). Evaluer l’erreur relative commise si l’on fait l’approximation sin α ~ α,
dans le cas où α est égal à π/12
d) (**) Au sens de l’approximation des petits angles, peut-on dire qu’un angle de 1
radian est petit ? Et un angle de 10 degrés ?
3 – Fonctions réciproques
A Trouver la valeur exacte de :
a) (*) arcsin(-√3/2)
b) (**) arctan(1)
c) (**) arccos(√2/2)
d) (***) arctan(0)
e) (***) arccos(√3/2)
f) (***) arccos(0)
B Simplifier :
a) (**) arctan(tan(π/6))
b) (***) arcsin(sin(3π/4))
c) (*) sin(arctan(-1))
d) (**) arccos(sin(π/2))
e) (**) sin(arctan(2/x))
4 – Exemples physiques
A – (*) Un projectile est lancé avec une vitesse initiale horizontale de 3 m/s et verticale de 5
m/s. A quel angle est-il lancé ?
B - (**) Une voiture parcours une distance de 14.2 m sur une rampe incliné a 45˚. Quelle est
la différence d’altitude entre sa position initiale et sa position finale ?
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C - (**) Dans un cirque une corde (C) est tenue entre deux poteaux pour des acrobaties. Un
poteau de 15 m de haut est tenu par une corde (A) et une rampe (B) est mise en place pour les
artistes. Si A et B sont attachés à 20 m du poteau, et si la corde C se trouve à un hauteur de
5m, quel est l’angle Ø entre la corde A et la rampe B ?
D – (**) Deux joueurs de golf réalisent chacun un coup, en partant du même point, et en
essayant de viser un trou lointain. Le premier envoie sa balle à une distance de 143m mais
avec un angle de 3° trop à gauche par rapport à la direction du trou. Le second envoie sa balle
à une distance de 121m mais avec un angle de 7° trop à droite par rapport à la direction du
trou. Au final, quelle est la distance entre les deux balles ?
E – (***) Deux lignes de TGV sont envisagées pour relier Paris à Toulouse, ainsi que Paris à
Narbonne, sur des lignes droites. En connaissant les distances Paris – Toulouse (588 km),
Paris – Narbonne (628 km) et Toulouse - Narbonne (128 km), quel doit être l’angle entre les
lignes Paris-Toulouse et Paris-Narbonne ?
F - (***) Eratosthène a mesure la circonférence de la Terre il y plus de 2000 ans. En se
plaçant à Alexandrie il a mesuré un angle α=7.2˚ entre le zénith et le soleil, à midi, le jour du
solstice d’été (la journée la plus longue de l’année dans l’hémisphère nord). Il sait également
que ce même jour et à cette même heure, la même expérience donne un angle de 0° si l’on se
place dans la ville de Syène, 787km plus au sud (Syène est en effet situé sur le tropique du
Cancer, ce qui fait qu’au solstice d’été, à midi, le Soleil est au zénith).
a) Faire un schéma de la situation physique étudiée, en réalisant une vue en coupe
transversale faisant apparaître l’axe de rotation de la Terre, son centre C et son
rayon R, ainsi que la position des deux villes recevant des rayons en provenance du
Soleil. Puisque le Soleil est extrêmement lointain (et donc ne peut pas être placé
sur le schéma) les rayons lumineux venant du Soleil et atteignant la Terre sont tous
parallèles entre eux.
b) Sur le schéma, indiquer quels sont les différents angles égaux à α.
c) Grâce à la mesure de α, quel rayon R Eratosthène a-t-il mesuré pour la Terre ?