puissances d`un nombre

PUISSANCES D'UN NOMBRE
PUISSANCES POSITIVES D'UN NOMBRE
1. Simplifier une écriture. Nous savons que la multiplication est une façon d'écrire plus
simplement certaines chaînes d'additions, ainsi 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 s'écrit 112. De façon
analogue, peut-on écrire plus simplement une chaîne de multiplications comme par exemple
22222222222 ? On l'écrira 211, où 11 indique le nombre de facteurs égaux à 2.
2. Puissance d'un nombre. Etant donné un nombre a et un entier positif n, on pose :
an = a  a  ...  a
n facteurs
n
L'écriture a , qu'il faut lire « a exposant n », s'appelle la nième puissance de a et l'entier n s'appelle
l'exposant de cette puissance. Cette écriture désigne aussi bien la chaîne de multiplications que
le produit obtenu.
3. Convention. À priori dans la définition précédente l'entier n est supérieur ou égal à 2, car il
faut au moins deux facteurs pour parler de produit. On peut toutefois poser la convention suivante :
pour tout nombre a on admet que a0 = 1 et a1 = a. Cette convention ne met pas en défaut les propriétés
qui suivent.
4. Produits de puissances.
Quels que soient les nombres a et b et les entiers positifs n
et m on a :
• an  bn = (a  b)n Produit de puissances de même exposant.
• an  am = an + m
Produit de puissances d'un même nombre.
n m
nm
• (a ) = a
Puissance d'une puissance.
5. Démonstration.
• an  bn = a  a  ...  a  b  b  ...  b = (a  b)  (a  b)  ...  (a  b) = (a  b)n
n facteurs
n facteurs (a  b)
n facteurs
• an  am = a  a  ...  a  a  a  ...  a = an+m
n facteurs
m facteurs
n+m facteurs
• (an)m = (a  a  ...  a)  (a  a  ...  a)  …  (a  a  ...  a) = anm
n facteurs
n facteurs
n facteurs
nm facteurs
―1―
INVERSE D'UNE PUISSANCE
6. L'inverse d'un nombre. L'inverse d'un nombre non nul a est le nombre qui multiplié
par a donne 1. L'inverse d'un nombre peut être écrit en fraction ou en écriture fractionnaire, ainsi
l'inverse de 2 est
1
2
; l'inverse de  est
1
p
; l'inverse de an est
1
an
et se note aussi an.
7. Propriété de l'inverse d'une puissance. Quels que soient le nombre non nul a et
l'entier positif n, l'inverse de la nième puissance de a est la nième puissance de l'inverse de a :
n
1
• an = ( ) .
a
8. Démonstration. an =
1
an
notation de l'inverse de an en écriture fractionnaire ;
1
a×a×...×a
1 1
1
= × ×...×
a a
a
n
1
= ( )
a
=
d'après la définition de la puissance d'un nombre ;
d'après la multiplication des fractions ;
d'après la définition de la puissance d'un nombre.
9. Produits de puissances négatives.
Nous pouvons généraliser la propriété des
produits de puissances, aux exposants négatifs. Par exemple 23  25 peut être calculé en ajoutant
les exposants, le produit est 28, en effet :
1 3 1 5
23  25 = ( ) ×( )
2
2
3+5
1
= ( )
2
d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
d'après la propriété des produits de puissances ;
=2(3+5)
d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
=2(3)+(5)
d'après l'addition des nombres relatifs.
10. Quotients de puissances. Quelques soient le nombre non nul a et les entiers n et m,
on a :
• an  bn = (a  b)n Quotient de puissances de même exposant.
• an  am = an  m
Quotient de puissances d'un même nombre.
11. Démonstration.
• an  bn = an  bn
1 n
(
n
= a  b)
1 n
= (a 
)
b
car diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse ;
d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
d'après la propriété des produits de puissances ;
= (a  b)n .
―2―
• an  am = an  am
car diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse ;
m
1
(
= a  a)
d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
n
m−n
1
1
= an  ( a )  ( a )
si m est plus grand que n ;
1 m−n
1 n
(
)
(
=
1
 a
car a ) est l'inverse de an.
n
= a(mn)
d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
= anm
d'après l'addition des nombres relatifs.
Si n est plus grand que m on montre de façon analogue que an  am = anm ; on peut toutefois en
proposer une démonstration plus visuelle :
n facteurs
a  a  ...  a  ...  a
an  am= a  a  ...  a
= a  a  ...  a = anm
m facteurs
n-m facteurs
ECRITURE SCIENTIFIQUE
12. Nombre et puissance de dix. Un nombre comme 32 400 peut s'écrire d'autant de
éc
rit
u
éc
rit
ur
es
re
dé
cim
al
e
cie
nt
ifi
q
ue
façons que l'on veut comme produit d'un nombre décimal par une puissance de 10, ainsi :
... = 324 000  10-1 = 32 400 = 3 240  101 = 324  102 = 32,4  103 = 3,24  104 = 0,324  105= ...
Puissances décroissantes de 10
Puissances croissantes de 10
13. Ecriture scientifique.
L'écriture scientifique d'un nombre décimal est l'unique
produit a  10 où le nombre décimal a n'a qu'un seul chiffre autre que zéro avant la virgule.
n
14. Utilité de l'écriture scientifique.L'écriture scientifique d'un nombre permet de
voir immédiatement l'ordre de grandeur du nombre. Il n'est pas facile de comparer 35230000000000
et 8975000000000 ; voici ces mêmes nombres en écriture scientifique 3,523  1013 et 8,975  1012, la
comparaison est alors immédiate.
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