Puissance d`un nombre Prérequis : Ajouter, soustraire, multiplier des

Puissance d’un nombre
Prérequis : Ajouter, soustraire, multiplier des nombres relatifs.
I – Puissance entière d’un nombre relatif
Définitions : Pour tout nombre entier positif 𝒏 et tout nombre relatif 𝒂 on note :

si 𝒏 ≠ 𝟎 𝒂𝒏

𝟎
𝒂
𝒂
…
𝒂
𝑛 facteurs
si 𝒏
𝟎𝒂
𝟏
Exemples :



Attention aux signes :


(
Remarque :
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) qui est un nombre positif
qui est un nombre négatif
n’existe pas
Définition : Pour tout nombre entier positif 𝒏 > 𝟎 et tout nombre relatif 𝒂 on note :
𝒂
𝒏
𝟏
𝒂𝒏
𝟏
𝒂
𝒂
…
𝒂
Remarque : on justifiera cette définition plus tard.
Cas particuliers :
et
Exercice : Donne l'écriture décimale des nombres
et


II – Calcul sur les puissances
a) Les règles (à savoir par cœur)
Pour tout nombre relatif
et tous nombres entiers relatifs
𝒂𝒏
𝒂𝒑
𝒂𝒏
𝒂𝒑
(𝒂𝒏 )𝒑
𝒂𝒏+𝒑
𝒂𝒏
𝒑
𝒂𝒏𝒑
et , on a les formules suivantes :
Exemples :


+(
)

(

)
Méthode pour le brevet : Écris le nombre

On remplace
par
et
sous la forme d'une puissance de 2.
par
(

( )
On applique les règles sur les puissances au numérateur et au dénominateur
+(

)
)
On applique les règles sur les puissances au quotient
Pour tous nombres relatifs et
et tout nombre entier relatif , on a les formules suivantes :
𝒂𝒏
𝒃𝒏
𝒂𝒏
𝒃𝒏
(𝒂𝒃)𝒏
𝒂 𝒏
( )
𝒃
Exemples :

(

(
)
)
Théorème : La puissance est prioritaire sur la multiplication et la division.
Exemples :


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
b) Exemple de preuve
+
On va démontrer les égalités
et
. Les démonstrations des autres règles se feront de la
même manière.
…
+
…
𝑛 facteurs
𝑝 facteurs
𝑛 + 𝑝 facteurs
On suppose maintenant que
>
𝑛 facteurs
…
…
…
…
…
𝑝 facteurs
𝑝 facteurs simplifiés
Reste 𝑛
𝑝 facteurs
c) Pourquoi
L’équation suivante ne doit avoir qu’une seule solution. Si on en trouve plusieurs, elles seront donc égales.
Rappels : fractions
peut aussi s’écrire

Réécrivons ceci avec
.
et
.
Donc

La règle sur le produit de puissances affirme aussi que
+(
Donc
Conclusion :
)
III – Puissance de 10
a) Ecriture décimale
Définition : Pour 𝒏 > 𝟎



𝟏𝟎𝒏 𝟏 𝟎 … 𝟎
𝟏𝟎 𝒏 𝟎 𝟎 … 𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟎 𝟏
b) Ecriture scientifiques
Définition : Un nombre est écrit avec son écriture scientifique quand il est écrit sous la forme :
( )𝒂
𝟏𝟎𝒏
où 𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎 et 𝒏 est un nombre entier relatif.
𝒂 est appelé la mantisse
Exemples :


est une écriture scientifique
n’en est pas une
Méthode pour le brevet : Comme écrire un nombre avec son écriture scientifique ?
Donnez l’écriture scientifique de .
Remarque : ne fonctionne que quand le numérateur et le dénominateur sont factorisés.
 On sépare la fraction

On calcule chaque partie
(
)

On formate : on écrit d’abord la mantisse sous sa forme scientifique

Puis on termine