Puissance à exposants fractionnaires Dans ce qui suit a et b sont strictement positifs, m et n sont strictement positifs. m ; les règles de calcul sur les puissances à exposants n € € 1 fractionnaires sont les mêmes que sur les puissances entières et les puissances . n € € On peut définir a p où p = I. Définition de € m On définit a p où p = m : a n = n a m = n ( a) n m ( n ≥ 2) € Exple : € 1,5 (0,25) (32) € 0,6 € 3 = (0,25) 2 = (0,25) 3 3 = ( 32) 5 = 5 ( 32) = ( 3 5 = ( 32 ) 0,25 3 ) 3 = 0,125 = 8 II. Propriétés ( p et q sont des rationnels > 0 ) € (0) a p = a€× a p−1€ € € (1) a p × a q = a p +q et (2) € (3) p q p (a ) = a pq = ( a q ) a− p = 1 ap € (4) € € a p−q = ap aq (5) (ab) p = a ×b p et p (6) ap ap = p b b € Ces propriétés permettant de calculer à l’aide de la machine les expressions contenant € des puissances et des racines de nombres rationnels, et en particulier de nombres décimaux, qu’on utilise en pratique. Remarque 1 : a > 0 ⇒ a p et a− p > 0 m − m Remarque 2 : 0 n = 0 ⇒ 0 n n’est pas défini € m m − n 1 = 1 ⇒ 1 n = 1 (= 10 ) € Remarque 3 : a € km kn m n = a autrement dit km a km = n a m = ( a) n m m Remarque 4 : étant une fraction réduite n € € m (−a) n n’existe pas si n est pair € € € m = − a n si m est impair m € (−a) n existe si n est impair m n = a si m est pair € Cette dernière remarque n’a pas d’incidence dans la pratique, dans la mesure où on € n’utilise pas des puissances de bases négatives dans les sciences. III. Solutions de l ‘équation x p = a ( a > 0) Le problème a une solution unique réelle. € m 1 n x p = x n = a ⇔ x = a p = a m a>0 € 8 5 2 × 27 3 Exercice : Ecrire l’expression × sous forme d’une seule puissance. 8 3 3 €