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Chap. X : Les puissances ( suite)
I.Puissance d'exposant entier négatif
Définition : Pour tout nombre entier n entier positif non nul et pour tout nombre relatif a non nul :
1
n
a
s'écrit a−n
Vocabulaire : Pour tout entier n, on dit que a-n est l'inverse de an soit a − n =
1
a
n
et en particulier a − 1 = 1 .
Attention : ne pas confondre opposé et inverse d'un nombre.
Exemple : L'opposé de 3 est ________ et l'inverse de 3 est ___________
Exemple :
−5
3 =......
−4
2 =.....
Application : Utiliser les puissances d'exposant négatif
1) Donne l'écriture décimale de 10 – 3.
2) Écris sous la forme d'une puissance :
23
25
II. Propriété
Rappel
Pour tout nombre entier relatif n,
Si a est positif alors an est positif.
Si a est négatif alors an est
• positif lorsque l'exposant n est pair, et
• négatif lorsque l'exposant n est impair.
Application : Déterminer le signe d'une puissance
Détermine le signe de :
A = (– 3)4
B = – 34
C = (– 2) – 5
a
III . Opérations sur les puissances
1) Multiplication
Activité : 2 3 ×2 4 correspond à un produit où l'on multiplie le facteur 2 …. fois par lui même , puis …. fois par
lui même. En tout, on le multiplie …. fois par lui même, donc 23 ×24 =27 .
Calcule de même :
6
5
(−3) ×(−3) =.....
•
13
25
•
5 ×5 =....
18
2
•
2 ×2 ×2=...
Propriété : Soient a un nombre relatif non nul et n et p 2 nombres entiers relatifs.
Alors : an×a p=a n+ p .
Exemple :
7
5
11
•
(−5) ×(−4 ) ×(−5 ) =.......
16
•
8×2 =.....
5
−3
•
5 ×5 =....
12
•
25×(−5 ) =....
2) Division
Activité : Simplifier :
•
•
7
5
=.....
4
5
6
(−3)
=....
(−3)4
Propriété : Soient a un nombre relatif non nul et n et p deux nombres entiers relatifs.
an
Alors : p =a n− p .
a
Exemples :
3
7
4
6
=.....
8
6
5
=....
4
5
3
3
=....
3
5
=....
−5
5
12
8
Application : Simplifier au maximum l'expression A= 3 ×34
27×3
3) Avec des mêmes puissances
Activité : Peut-on simplifier l'expression 53 ×7 3 ? Pourquoi ?
Propriété : Soient a et b deux nombres relatifs et n un nombre relatif entier.
Alors : an×b n=(ab )n
Exemple :
7
7
(−2) ×15 =....
5
5
(−7) ×(−8) =...
−9
−9
1,5 ×6 = ....
IV . Enchaîner des calculs
Règle de priorité :
Dans le cas d'un enchaînement de calculs, la puissance, qui est elle-même une multiplication doit se calculer avant
les multiplications.
En résumé, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, puis les exposants, puis les multiplications et les
divisions et finalement les additions et les soustractions. Calculer une expression avec des puissances
Exemple :
Calculer : A =1 + 5 × 24
et
B=(19−32 )×4,2