Étude de la fonction tangente : correction

TS-Mme Morel
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Étude de la fonction tangente : correction
π
1. tan x est définie ⇔ cos x 6= 0 ⇔ x 6= ± + 2kπ, k ∈ Z. Donc tan x est définie
2
π
pour tout x 6=
+ kπ, k ∈ Z. Donc le domaine de définition de tan est D =
2
R − { π2 + kπ, k ∈ Z}.
2.
• Le domaine de définition de la fonction tan est symétrique par rapport à 0 :
0
π
π
0
x 6= + kπ ⇔ −x 6= + k π, k ∈ Z et k ∈ Z.
2
2
sin(−x)
− sin(x)
• Soit x ∈ D. Alors tan(−x) =
=
= − tan x.
cos(−x)
cos x
La fonction tan est donc impaire.
3. Soit x ∈ D. Alors, tan(x + π) =
4.
sin(x + π)
− sin x
=
= tan x.
cos(x + π)
− cos x
• Pout tout x ∈ D, tan(x + π) = tan x. La fonction tangente est donc périodique
de période π. Par suite, on peut étudier la fonction tangente sur un intervalle de
→
−
longueur π. Le reste de l’étude se déduira par une translation de vecteur π i .
Par exemple, on peut réduire l’étude à l’intervalle ] − π2 ; π2 [.
• La fonction tangente est impaire. On peut donc se contenter d’étudier les variations sur la partie positive de D, le reste se déduira par une symétrie par rapport
à l’origine. Par conséquent, on réduit le domaine d’étude à l’intervalle [0; π2 [.
(a) Les fonctions sinus et cosinus étant dérivables sur D, la fonction tangente est
dérivable sur D et on a, pour tout x de D :
0
cos2 x + sin 2(x)
1
(tan) x =
=
= 1 + tan2 x > 0. La fonction tangente
cos2 x
cos2 x π
est donc strictement croissante sur [0; 2 [.
sin x
(b)
lim π tan x =
lim
.
π
π
x→ π
,x>
x→
,x>
cos
x
2
2
2
2
Or,
lim
sin x = 1 et
lim
cos x = 0 avec cos x > 0 pour 0 < x < π2 .
π
π
π
π
x→ 2 ,x> 2
D’où,
lim
π
x→ π
2 ,x> 2
x→ 2 ,x> 2
tan x = +∞.
(c) Le tableau de variations de la fonction tangente est alors donné par :
x
0
(tan) x
π
2
0
+
+∞
%
tan
0
0
(d) La tangente en O à (T ) a pour coefficient directeur (tan) (0) = 1. De plus,
tan 0 = 0. Donc ∆ a pour équation : y = x.
(e) Pour tout x ∈ [0; π2 [, on pose d(x) = tan x − x. La fonction d est dérivable
0
sur [0; π2 [ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle et d (x) =
tan2 x > 0 pour x > 0. Donc d est strictement croissante sur [0; π2 [. De plus,
d(0) = 0. Donc pour tout x > 0, d(x) > 0. (T ) est donc au-dessus de ∆ sur
[0; π2 [. On en déduit alors, par symétrie par rapport à O que (T ) est en-dessous
de ∆ sur ] − π2 ; 0].
Voir aussi le livre p 68-69.