⋇ Méthodes de calculs d’intégrales ⋇ Primitives usuelles Fonction a (réel donné) Primitive ax Domaine de définition ℝ xn, n entier naturel x n+1 n+1 ℝ xn, n entier relatif ≠ -1 x n+1 n+1 ℝ* xα, α réel ≠ -1 x α+1 α+1 1 x cos x sin x 1 = 1 + tan2 x cos 2 x 1 1 =1+ 2 sin x 1 + tan2 x ℝ∗+ ln|x| ℝ* sin x -cos x ℝ ℝ tan x x ≠ + kπ − π 2 1 tan x ex x ≠ kπ ex ℝ x ax a positif ≠ 1 a ln a ℝ ch x sh x sh x ch x ℝ ℝ 1 = 1 − th2 x ch2 x th x ℝ 1 1 = −1 sh2 x th2 x 1 2 x +1 1 1 − x2 1 √1 − x 2 1 √1 + x 2 1 √x 2 − 1 19/04/2017 − 1 th x ℝ* ℝ arctan x 1 1+x 2 1−x argth x = ln ]-1,+1[ arcsin x ]-1,+1[ argsh x = ln(x + √x 2 + 1) ℝ argch x = ln(x + √x 2 − 1) ]1,+∞[ Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 1 a2 Fonction Primitive ln |x| x ln|x| - x tan x - ln |cos x| 1 tan x ln |sin x| x ≠ kπ th x ln ch x ℝ 1 th x ln |sh x| ℝ* 1 sin x ln |tan | 1 cos x ln |tan ( + )| 1 sh x ln |th | ℝ* 1 ch x 2 arctan ex ℝ 1 x arctan a a ℝ 1 x+a ln | | 2a x − a x ≠ ±a 1 (a ≠ 0) + x2 1 (a ≠ 0) a2 − x 2 1 √a2 − x 2 1 √a2 + k 19/04/2017 (a > 0) (k ≠ 0) x 2 x π 2 4 x 2 arcsin x a ln |x + √x 2 + k| Domaine de définition ℝ* x≠ π + kπ 2 x ≠ kπ x≠ π + kπ 2 ]-a,+a[ ℝ si k > 0 { } |x| > √−k si k < 0 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 2 Méthodes générales Linéarisation (décomposition en somme) On utilise ∫ λf(x)dx + μg(x)dx = λ ∫ f(x)dx + μ ∫ g(x)dx - pour les puissances de sinus et cosinus qu’on transforme à l’aide de la formule de Moivre - pour les fractions rationnelles Intégration par parties ∫ u(x)v ′ (x)dx = u(x)v(x) − ∫ v(x)u′ (x)dx b b ∫ u(x)v ′ (x)dx = [u(x)v(x)]ba − ∫ v(x)u′ (x)dx a a On l’emploie pour : - Formule de Taylor avec reste intégral -∫ P(x)eαx dx où P est un polynôme et α un réel donné -∫ P(x) cos αx dx , ∫ P(x) sin αx dx, ∫ P(x) ch αx dx , ∫ P(x) sh αx dx -∫ f(x)g(x)dx où g est une fonction rationnelle et f une fonction non algébrique de dérivée algébrique (par exemple arctan(x) ) Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale indéfinie Soit φ bijection On a 𝐹(𝜑(𝑡)) = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡)). 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 Soit on reconnait dans l’expression de l’intégrale fo𝜑 et 𝜑′ soit on introduit φ(t) pour simplifier l’intégrale Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale définie b β ∫a f(x)dx = ∫α f[φ(t)]φ′ (t)dt avec α=φ-1(a) et β=φ-1(b) On doit répercuter le changement de variable dans la fonction f, dans la différentielle dx et dans les bornes Applications F(ax) Si ∫ f(x)dx = F(x) + C, ∫ f(ax)dx = Si f est impaire Si f est paire a ∫−a f(x)dx a ∫−a f(x)dx a + C (a ≠ 0) =0 a = 2 ∫0 f(x)dx b b+T Si f est T-périodique ∀a, b ∈ ℝ, ∫a f(x)dx = ∫a+T f(x)dx a+T Si f est T-périodique ∀a, b ∈ ℝ, ∫a Si u ne s’annule pas ∫ 19/04/2017 u′(x) u(x) b+T f(x)dx = ∫b f(x)dx dx = ln|u(x)| + C Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 3 Primitives des fractions rationnelles Intégration d’un élément simple de première espèce dx ∫ (x−a)α α entier Si α = 1 ∫ dx (x−a) Si α ≥ 2 ∫ = ln|x − a| + C dx (x−a)α = ∫(x − a)−α = (x−a)1−α 1 + C = (α−1)(x−a)α−1 + C 1−α Intégration d’un élément simple de seconde espèce Ax+B ∫ (x2+px+q)α dx α entier et p²-4q < 0 étape 1 on fait apparaître dans Ax+B la dérivée de x²+px+q on se retrouve avec une intégrale du type ∫ du uα étape 2 il reste à calculer∫ dx (x2 +px+q)α on décompose x²+px+q comme somme de deux carrés x²+px+q = t² + k² où t = x + p/2 et k = √q − et donc ∫ dx p2 4 dt (x2 +px+q)α = ∫ (t2 2 )α +k étape 3 Si α = 1 ∫ dt t2 +k2 1 t k k = arctan Si α ≥ 2 on pose t = k tan θ et θ = arctan 1 k dt 1 + tan2 𝜃 ∫ 2 = 𝑘1−2𝛼 ∫ 𝑑𝜃 = 𝑘1−2𝛼 ∫ cos 2𝛼−2 𝜃 𝑑𝜃 2 α (t + k ) (1 + tan2 𝜃)𝛼 étape 4 puis on revient à x dans l’expression de l’intégrale 19/04/2017 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 4 Primitives de fonctions trigonométriques ou hyperboliques Forme sinpx cosqx avec p et q entiers relatifs * si p est impair on prend pour variable u = sin x avec la formule sin2x = 1 – cos2x on obtient une intégrale de la forme ∫ sin𝑝 𝑥 cos 𝑞 𝑥 dx = ∫ cos 𝑧 𝑥 sin 𝑥 dx = ∫ uz du si q est impair même chose avec u = cos x * Si p et q sont pair et positifs on abaisse le degré en utilisant les formules des angles doubles cos 2 𝑥 = 1+cos 2𝑥 2 et sin2 𝑥 = 1−cos 2𝑥 2 on recommence plusieurs fois si nécessaire * Si p et q pairs l’un au moins étant négatif on prend pour variable tan x = t (valable aussi pour p et q impairs) Cas général ∫ R(sin 𝑥 , cos 𝑥) dx où R est une fraction rationnelle On essaie les changements de variables classique u = sin x, u = cos x, u = tan x En cas d’échec la méthode générale consiste à prendre comme variable tan x/2 = t On a alors x tan = t 2 cos 𝑥 = 1−𝑡 2 1+𝑡 2 x = 2 Arctan t sin 𝑥 = 2𝑡 1+𝑡 2 dx = tan 𝑥 = 2dt 1+t2 2𝑡 1−𝑡 2 On retrouve une fraction rationnelle classique Primitives de fonctions hyperboliques mêmes méthodes que pour les fonctions trigonométriques 19/04/2017 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 5 Primitives de fonctions algébriques non rationnelles Racine n-ième d’un quotient 𝑛 𝑎𝑥+𝑏 ∫ √𝛼𝑥+𝛽 𝑑𝑥 𝑛 𝑎𝑥+𝑏 On prend pour variable 𝑦 = √ et on exprime x en fonction de y 𝛼𝑥+𝛽 On calcule dx et on remplace dans l’expression d’origine. On se ramène à une intégrale de fraction rationelle Racine d’un polynôme du second degré ∫ √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 On transforme le polynôme et on le met sous la forme 𝑘(𝑢2 + 1) ou 𝑘(1 − 𝑢2 ) ou 𝑘(𝑢2 − 1) On se retrouve donc à intégrer ∫ √𝑢2 + 1 changement de variable u = sh t ∫ √𝑢2 − 1 changement de variable u = (+ ou -)ch t ∫ √1 − 𝑢2 changement de variable u = sin t 19/04/2017 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 6 19/04/2017 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 7