L.S.C.J.Gafsa Prof :B.Tabbabi Date : 14 Novembre 2012 Epreuve :Mathématiques Classe :4è.Téch. Durée :2 heures DEVOIR DE CONTROLE N°1 Exercice 1 : ( 4 points ) Choisir la réponse exacte (aucune justification n’est demandée ). i 1.Un argument du nombre complexe 2e 3 est : 4 a) b) c) 3 3 3 2.Soit un réel.Les solutions dans de l’équation iz 2 ei z i 0 sont : a) opposées b) inverses c) conjuguées 3.Soit f une fonction dont la courbe ( C ) dans un repère orthonormé admet la droite y 2x 1 comme asymptote au voisinage de ; alors lim f ( x ) 2x est égale à : x a) 1 b) 0 4.Soit la fonction g : x x cos( x ) ; alors : a) g n’a pas de limite en b) lim g( x ) c) 2 c) g(x) < x pour tout réel x. x Exercice 2 : ( 4 points ) On considère la fonction f définie sur 1 2 1 x sin par f ( x ) x 1 x x 3 si x < 0 si x 0 1.a.Vérifier que pour tout x < 0 on a : 1 x f ( x ) 1 x . b.Calculer alors lim f ( x ). 2 2 x 0 2.Etudier la continuité de f en 0. 3.a.Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans 0,1 une solution unique . b. Vérifier que 1 2 1 . x 1 4.Etudier chacune des limites suivantes : lim f x x 1 x 1 . x 1 et lim f x 1 + Exercice 3 : ( 6 points ) Soit un réel.On considère dans l’équation ( E ) : iz 2 ( 1 iei )z ei 0 . 1.a.Vérifier que i est une solution de ( E ). b. Résoudre alors l’équation ( E ). 2.Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v ,on considère les points A , B et C d’affixes respectives z A i,zB ei et zC i ei . a.Vérifier que A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1. b.Montrer que le quadrilatère OACB est un losange. 3.Dans cette question on prend . 3 a.Placer dans le repère O,u,v les points A , B et C. i b.En déduire un argument du nombre complexe i e 3 . voir verso Exercice 4 : ( 6 points ) La figure ci-dessous représente la courbe ( C ) d’une fonction f dans un repère orthonormé. .Les droites y x et y 3 sont des asymptotes à ( C ) au voisinage de et respectivement. 3 . le point 1, appartient à la courbe ( C ). 2 1.Dans cette question,utiliser le graphique pour répondre. a. Donner lim f ( x ), lim f ( x ), lim x x x f(x) et lim f ( x ) x . x x b.Dresser le tableau de variation de f. c.Déterminer f ,0 , f 0,2 et f . d.Résoudre dans chacune des équations : f(x) 2 et f(x) x. x3 2 2 2.On donne f ( x ) x 3 1 3x 4 x 3 si x 2 si x >2 Montrer que par le calcul que la droite y x est une asymptote à ( C ) au voisinage de et que la droite y 3 est une asymptote à ( C ) au voisinage de . Bon travail ---------------- Bon travail