4 g ex etude fonctions

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar
Exercices
4ème EG
(Etude de fonctions)
1/2
Exercice 2
Exercice 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O , i , j ) .
− 3x + 6
( x − 1) 2
( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j ) .
Soit f la fonction définie sur ℝ \ {1} par : f ( x ) = x
3
1) Montrer que f peut s’écrire sous la forme : f ( x ) = x + 2 +
La courbe ( C ) représente une fonction f définie et dérivable sur ℝ .
• L’axe des abscisses est une asymptote à ( C ) au voisinage de −∞ .
• ( C ) admet une branche parabolique de direction celle de l’axe des
4
.
( x − 1) 2
ordonnées au voisinage de +∞
2) On admet que le tableau de variation de f est le suivant :
x
−∞
1
3
+∞
+∞
f
−∞
6
a) Calculer lim f ( x ) et
+
x →1
lim f ( x )
x →+∞
b) Montrer que la droite D : x = 1 est une asymptote verticale à ( C ) .
c) Montrer que la droite ∆ : y = x + 2 est une asymptote oblique à ( C ) au
voisinage de +∞ et de −∞ .
Par lecture graphique :
1) Déterminer f (0) , f (1) et f '(0) .
d) Etudier la position relative de la courbe ( C ) et la droite ∆.
3) a) Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet dans ℝ une unique solution α
b) Vérifier que α ∈ ] −3, −2 [ .
4) Tracer dans le repère (O , i , j ) la courbe ( C ) .
2) Déterminer
lim f ( x ) , lim f ( x )
x →+∞
x →−∞
3) Dresser le tableau de variation de f.
www.mathsplus.12r.org
et lim
x →+∞
f (x )
x
Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar
Exercices
4ème EG
(Etude de fonctions)
2/2
Exercice 3
Exercice 5
 x 2 − 1
si x ≤ −1
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ( x ) = 
 − x 3 + 3 x + 3 si x > −1
( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j ) .
La courbe ( C ) ci-dessous représente une fonction f définie sur ℝ .
La droite T est la tangente à ( C ) au point d’abscisse (−1).
lim f ( x ) = 1
lim f ( x ) = −1
et
x →−∞
x →+∞
1) Etudier la continuité de f à droite et à gauche en −1.
1
T
2) a) Etudier la dérivabilité de f à gauche en −1.
0,5
b) Interpréter graphiquement le résultat.
(C )
3) Montrer que f est dérivable sur ℝ \ { −1} et calculer f '( x ) .
4) Montrer que le point I (0, 3) est un point d’inflexion de ( C )
-2
-1,5
-1
-0,5
5) Ecrire une équation de la tangente à ( C ) au point I
O
0,5
-0,5
6) Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet une solution α ∈ ] 2,3 [ .
-1
Exercice 4
Donner la primitive F de f sur un intervalle I dans chacun des cas suivants
 f ( x ) = 1 − x + 3x
1) 
 F (1) = 0
2
 f (x ) = x

3) 
 F (0) = 2

−2+
4
+ 3x
2
 f (x ) = x − 1 + 1

2) 
x2
2 x
 F (1) = 1

−x 3
2
1) Déterminer
f (0)
2) Déterminer
lim
3) Déterminer :
x
x
Par une lecture graphique :
+4
x →1−
et
f '(0) .
f (x )
x −1
et
lim
x →1+
f '( −1) .
4) Donner une équation de la tangente T.
5) Dresser le tableau de variation de f.
6) Déterminer : lim f ( 1 )
1− x
x →1+
www.mathsplus.12r.org
f (x )
x −1
1
1,5
2