1 Université Mohammed Premier Échantillonnage

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Université Mohammed Premier
Faculté de Droit
ECG/Grp : A & B
Échantillonnage et Estimation
S., El Melhaoui & M., Faizi
Semestre 3, 2014/2015
Série d'exercices n 1
Calcul des Probabilités
◦
Exercice 1
Lors d'un sondage, 438 personnes ont déclaré avoir un ordinateur portable,
651 personnes ont déclaré avoir un ordinateur de bureau. Parmi elles, 116
ont déclaré avoir à la fois un ordinateur portable et un ordinateur de bureau.
1. Combien y a-t-il de personnes interrogées ?
Exercice 2
Soit A l'ensemble des nombres de quatres chires, le premier étant
1. Calculer le nombre d'éléments de A.
2. Dénombrer les éléments de A :
a) composés de quatre chires distincts.
b) composés d'au moins deux chires identiques.
c) composés de quatre chires distincts autre que 5 et 7.
non nul.
Exercice 3
Une famille comprend 3 enfants. Soit les événements :
A={Il y a au moins 2 lles}
B={Il y a au plus 2 garçons}
C={Il n'y a pas de garçons}
D={Il y a exactement une lle}
1. Interpréter les événements : Ā, B̄, C̄, D̄, B ∩ Ā, C̄ ∩ A.
2. Écrire en fonction de A, B, C, et D les événements suivant :
E={Il y a au moins 1 lle} ; F={Il y a exactement 2 lles} ; G={Il y
a au moins 2 garçons}.
2
Exercice 4
Au service du personnel, on compte 12 célibataires parmi les 30 employés.
On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de quatre
personnes dans ce service.
1. Quel est le nombre d'échantillons diérents possible ?
2. Quel est le nombre d'échantillons ne contenant aucun célibataire ?
3. Quel est le nombre d'échantillons contenant au moins un célibataire ?
Exercice 5
Un groupe de personnes est composé de 20 hommes dont 10 marocains,
et de 30 femmes dont 5 marocaines.
1. Si l'on choisi une personne au hasard dans ce groupe, déterminez la
probabilité pour quelle soit :
a) du sexe féminin ?
b) un homme de nationalité marocaine ?
2. Si l'on choisi à présent deux personnes sans remise. Quelle est la probabilité de choisir :
a) deux hommes ?
b) au moins une femme ?
Exercice 6
Après une enquête auprès d'une population, on sait que 40% des individus
ne sont jamais allés en Espagne et que 55% des individus n'ont jamais pris
l'avion, mais que 25% ont été en Espagne et ont déjà pris l'avion.
1. Quelle est la probabilité qu'un individu tiré au hasard dans cette population ne soit pas allé en Espagne et n'ait jamais pris l'avion ?
Exercice 7
On veut constituer une équipe de trois ingénieurs et deux techniciens pour
s'occuper d'un projet de modernisation d'installations existantes. L'équipe
sera constituée à partir du personnel d'un département comportant 9 ingénieurs et 6 techniciens.
1. Quel est le nombre de résultats possibles si :
a) les 15 personnes peuvent faire partie de l'équipe ?
b) un ingénieur est désigné d'oce ?
3
2. Supposons maintenant que parmi les 15 personnes disponibles, on en
prélève 5 au hasard pour former l'équipe, sans tenir compte de leur
qualité. Quelle est la probabilité pour que l'équipe comporte exactement :
a) trois ingénieurs ?
b) aucun technicien ?
Exercice 8
Un enseignant organise un examen oral et propose aux étudiants 10 sujets.
Il fait entrer les étudiants par groupe de 3 qui choisissent au hasard , et
indépendamment l'un de l'autre un des sujets proposés.
1. Calculer la probabilité de l'événement A `les trois étudiants choisissent
des sujets diérents'.
2. Calculer la probabilité de l'événement B `seulement deux étudiants
choisissent un même sujet'.
3. Calculer la probabilité de l'événement C `les trois étudiants choisissent
un même sujet'.
Exercice 9
Soit A et B deux événements associés à une expérience aléatoire tels que
P (A) = 0.60, P (B) = 0.3 et P (AU B) = 0.72. Les événements A et B sont-ils
indépendants ?
Exercice 10
Une élection a lieu au scrutin majoritaire à deux tours. Deux candidats
A et B sont en présence. Au premier tour 40% des voix vont à A et 45% à
B, le reste étant constitué d'abstentions. Aucun candidat n'ayant la majorité
absolue, un second tour est organisé. Tous les électeurs ayant voté la première
fois voterons à nouveau. Un sondage indique par ailleurs que 5% des voix de
A se reporterons sur B et que 10% des voix de B iront à A. On estime de plus
que les deux tiers des électeurs n'ayant pas voté au premier tour voterons, à
raison de 60% pour A et 40% pour B.
1. Quelle est la probabilité pour qu'un abstentionniste du premier tour
vote pour A ? pour B ?
2. D'après ce sondage, quel candidat a la plus forte probabilité d'être
élu ?
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Exercice 11
Un individu envisage d'acheter une voiture de type X, il constate malheureusement que 30% de ces voitures ont un défaut de construction. Pour
obtenir plus d'information il engage un mécanicien pour eectuer un diagnostic rapide. Le diagnostic du mécanicien n'est pas toujours exact : Il déclare
qu'une mauvaise voiture est défectueuse dans 90% des cas ; il déclare qu'une
bonne voiture est non défectueuse dans 80% des cas. Quelle est la probabilité
pour que la voiture que l'individu envisage d'acheter soit défectueuse :
1. Avant d'engager le mécanicien ?
2. Si le mécanicien la déclare défectueuse ?
3. Si le mécanicien la déclare non défectueuse ?
Exercices corrigés du TD 1
Solution de l'Exercice 1
Considérons les événements suivants :
OP : `avoir un ordinateur portable'
OB : `avoir un ordinateur de bureau'.
On a card(OB) = 651, card(OP ) = 438 et card(OP et OB) = 116. Puisque
Ω = OB ou OP alors
card(Ω) = card(OB) + card(OP ) − card(OP et OB)
ainsi card(Ω = 651 + 438 − 116 = 973 ; Il y'a donc 973 personnes interrogées.
Solution de l'Exercice 2
1. Pour choisir le premier chire on a 9 choix (de 1 jusqu'a 9) , puis 10
pour le choix du deuxième (de 0 jusqu'a 9), 10 pour le troisième et 10
pour le quatrième ainsi le nombre des choix possibles est card(A) =
9 ∗ 103 = 9000 .
2. a) Pour choisir le premier chire on a 9 choix, puis 9 pour le choix
du deuxième (car le premier choix est exclu), 8 pour le troisième
et 7 pour le quatrième ainsi le nombre des nombres composés de
quatre chires distincts est 9 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 = 4536 .
5
b) L'événement ` avoir un nombre composés d'au moins deux chires
identiques' est l'événement contraire de l'événement `avoir un
nombre composés de quatre chires distincts' ainsi le nombre
des nombres composés d'au moins deux chires identiques est
9000 − 4536 = 4464 .
c) Le nombre des nombres composés de quatre chires distincts
autre que 5 et 7 est 7 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 = 1470 .
Solution de l'Exercice 3
1. Ā=`au plus une lle'
B̄ ={3 garçons}
C̄ =`au moins un garçon'
D̄={3 Garçon, 3 lles, 2lles et 1 garçon}
B ∩ Ā = D=`exactement une lle'
C̄ ∩ A=`exactement deux lles'
2. E = B , F = C̄ ∩ A et G = Ā.
Solution de l'Exercice 4
1. Étant donné que la procédure normale c'est un ESSR où en plus l'ordre
des employés sélectionnés ne compte pas, alors chaque échantillon est
une combinaison de quatres employés parmi 30. Par conséquent, le
4
nombre d'échantillons diérents possible est C30
= 27405.
4
=
2. Le le nombre d'échantillons ne contenant aucun célibataire est C18
3060.
3. Le nombre d'échantillons contenant au moins un célibataire est 27405−
3060 = 24345.
Solution de l'Exercice 5
1. Considérons les événements suivants :
H : `Choisir un homme '
F : `Choisir une femme '
M : `Choisir une personne de nationalité marocaine '.
Le nombre des choix possibles est l'eectif des personnes composant
le groupe, c'est à dire 50 = 20 + 30 personnes. Ainsi, card(Ω) = 50 ;
le choix étant au hasard les éventualités sont, donc, équiprobables et
par conséquent :
6
a) P (F ) = card(F )/card(Ω) = 30/50 = 60% ;
b) P (H ∩ M ) = card(H ∩ M )/card(Ω) = 10/50 = 20%.
2. Posons HH : `Choisir deux hommes '.
a) Choisir par un tirage sans remise deux personnes c'est arranger
2 parmi 50, donc card(Ω) = A250 ; Choisir deux hommes c'est
arranger 2 parmi les 20 hommes existant, donc card(HH) = A220 .
Ainsi,
P (HH) =
card(HH)
A2
= 20
≈ 15.5%.
card(Ω)
A250
b) l'événement `Choisir au moins une femme ' c'est l'événement contraire
de l'événement `ne choisir aucune femme ' qui n'est rien d'autre
que l'événement `Choisir deux hommes ', ainsi la probabilité de
choisir au moins une femme est :
P (HH) = 1 − P (HH) ≈ 84.5%.
Solution de l'Exercice 6
1. Considérons les événements suivants :
ESP :`Avoir visiter l'Espagne'
AV : `Avoir pris l'avion'
On a P (ESP ) = 1 − 0.40 = 0.6, P (AV ) = 1 − 0.55 = 0.45 et
P (ESP et AV ) = 0.25.
La probabilité qu'un individu tiré au hasard dans cette population ne
soit pas allé en Espagne et n'ait jamais pris l'avion est
P (ESP et AV ) =
=
=
=
Solution de l'Exercice 7
1.
P (ESP ou AV )
1 − P (ESP ou AV )
1 − (P (ESP ) + P (AV ) − P (ESP et AV ))
1 − (0.6 + 0.45 − 0.25) = 20%
20%.
a) Si les 15 personnes peuvent faire partie de l'équipe, le nombre de
résultats possibles est C39 × C26 = 1260.
b) Si un ingénieur est désigné d'oce, le nombre de résultats possibles est C28 × C26 = 420.
7
2. La probabilité pour que l'équipe comporte exactement :
a) trois ingénieurs est
C39 × C26
≈ 41.96%;
C515
b) aucun technicien est
C59
≈ 4.19%.
C515
Solution de l'Exercice 8
1. Le nombre de choix possibles est card(Ω) = 103 . Pour que les trois
étudiants choisissent des sujets diérents ils faut qu'ils arrangent 3
éléments parmi 10 sujets càd card(A) = A310 = 720 ainsi la probabilité
de l'événement A est P (A) = 720/103 = 72% .
2. La probabilité de l'événement B est P (B) = C31 ∗ A210 /103 = 27% .
3. La probabilité de l'événement C est P (C) = 1 − P (A) − P (B) = 1% .
N. B.
Par un autre raisonnement, on peut dire qu'il y a
10
sujets
possibles donc il y a dix cas où les étudiants choisirons le même sujet
ainsi
P (C) = 10/103 = 0.01.
Solution de l'Exercice 9
à partir de l'égalité suivante
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
on déduit que
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (AU B)
= 0.60 + 0.3 − 0.72
= 0.18.
D'autre côté, on a
P (A) × P (B) = 0.60 × 0.3 = 0.18.
8
Ainsi, P (A ∩ B) = P (A) × P (B) et par conséquent les événements A et B
sont indépendants.
Solution de l'Exercice 10
Considérons les événements suivant :
A1 : `Voter pour le
A2 : `Voter pour le
B1 : `Voter pour le
B2 : `Voter pour le
C1 : `S'abstenir au
C2 : `S'abstenir au
candidat A au premier tour
'
candidat A au deuxième tour
candidat B au premier tour
'
candidat B au deuxième tour
premier tour
'
'
'
'
1. Les événements C2 et C2 forment une répartition de l'univers des
éventualités, ainsi l'application du Théorème des probabilités totales
implique que la probabilité pour qu'un abstentionniste du premier
tour vote pour A est
deuxième tour
P (A2|C1) =
=
=
=
P (A2 ∩ C2|C1) + P (A2 ∩ C2|C1)
0 + P (A2|C1 et C2) × P (C2|C1)
60% × 2/3
40%.
De même, La probabilité pour qu'un abstentionniste du premier tour
vote pour B
P (B2|C1) =
=
=
≈
P (B2 ∩ C2|C1) + P (B2 ∩ C2|C1)
0 + P (B2|C1 et C2) × P (C2|C1)
40% × 2/3
26.66%.
2. Comparons P (A2) la probabilité d'élire A et P (B2) la probabilité
d'élire B. Remarquons qu'on peut répartitionner l'espace des résultats
par les résultats du premier tour à savoir : A1, B1 et C1. En eet
Ω = A1 ∪ B1 ∪ C1 et A1 ∩ B1 = A1 ∩ C1 = B1 ∩ C1 = ∅. Le
Théorème des probabilités totales donne alors :
P (A2) = P (A2|A1).P (A1) + P (A2|B1).P (B1) + P (A2|C1).P (C1)
= (1 − 0.05) × 0.4 + 0.1 × 0.45 + 0.4 × (1 − 0.4 − 0.45)
= 48.5%,
9
et
P (B2) = P (B2|A1).P (A1) + P (B2|B1).P (B1) + P (B2|C1).P (C1)
= 0.05 × 0.40 + (1 − 0.1) × 0.45 + 0.2666 × 0.15
= 46.5%.
Conclusion.
Puisque
P (A2) > P (B2) alors le candidat A a plus de
chance d'être élu.
Solution de l'Exercice 11
Considérons les événements suivants :
D : `la voiture est défectueuse'
M D : `le mécanicien déclare la voiture défectueuse'
N D = D̄ et M N D = M D.
1. Avant d'engager le mécanicien la probabilité pour que la voiture que
l'individu envisage d'acheter soit défectueuse est P (D) = 30%.
2. Si le mécanicien déclare la voiture défectueuse alors la probabilité
quelle le soit eectivement est
P (D|M D) =
P (D ∩ M D)
P (M D)
P (M D|D) ∗ P (D)
P (M D|D) ∗ P (D) + P (M D|N D) ∗ P (N D)
0.9 ∗ 0.3
=
= 65.85%
65.85%.
0.9 ∗ 0.3 + 0.2 + 0.7
=
3. Si le mécanicien déclare la voiture non défectueuse alors la probabilité
quelle soit défectueuse
P (D ∩ M N D)
P (M N D)
P (M N D|D) ∗ P (D)
=
P (M N D|D) ∗ P (D) + P (M N D|N D) ∗ P (N D)
0.1 ∗ 0.3
=
= 5.08%
5.08%.
0.1 ∗ 0.3 + 0.8 + 0.7
P (D|M N D) =
10
Conclusion.
a passé de
Le risque que le client achète une voiture défectueuse
30% avant l'engagement du mécanicien à environ 5% après
l'expertise du mécanicien.