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J.HARTER BANQUE MINES-PONTS
MATRICES QUASI-NILPOTENTES
Math´ ematiques 2, PSI
1 EXEMPLES
1 ) Soit Dla matrice 0−1
1 0 , son polynˆ
ome caract´ eristique est X2+1. Elle ne poss` ede aucune valeur propre r´ eelle,
donc a fortiori aucune valeur propre non nulle dans R.Dn’est pas quasi-nilpotente.
Sur C, les valeurs propres sont ±i, toutes deux non nulles, Dn’est donc pas quasi-nilpotente sur C.
2 ) On constate facilement que le polynˆ ome caract´ eristique de Best X2, l’unique valeur propre est donc 0. Best donc
quasi-nilpotente en tant que matrice de M2(C).
3 ) Par exemple pour Sn(K): la propri´ et´ e d’espace vectoriel d´ ecoule de lin´ earit´ e de la transposition et de ce que la
matrice nulle est sym´ etrique. Si TS=S, pour tous λ,µ∈Ket S,S0∈Sn(K),
T(λS+µS0) = λTS+µTS0=λS+µS0.
Pour l’antisym´ etrie, c’est la mˆ eme chose. La multiplication scalaire et somme de matrices se faisant coordonn´ ee
par coordonn´ ee, il est ´ evident ´ egalement que T++
n(K)a aussi une structure de K-espace vectoriel.
On remarque ensuite que la famille (Ei,j+Ej,i)16i6j6nest une base de Sn(K)et poss` ede 1 +2+... +n=n(n+1)
2
´
el´ ements. En effet, toute matrice sym´ etrique S= (sk,l)16k,l6n(avec sk,l=sl,k) s’´ ecrit sous la forme
S=
n
∑
k=1
n
∑
l=1
sk,lEk,l=∑
16k+16l6n
sk,lEk,l+∑
16l6k6n
sk,lEk,l=
n
∑
l=1
n
∑
k=l+1
sk,l(El,k+Ek,l) +
n
∑
l=1
sl,l
2(El,l+El,l),
en utilisant la sym´ etrie. Cela prouve le caract` ere g´ en´ erateur. On voit par ailleurs que c’est aussi une famille libre,
si on consid` ere une famille de scalaires (λi,j)16i6j6ntelle que
∑
16i6j6n
λi,j(Ei,j+Ej,i) =
n
∑
i=1 i
∑
j=1
λj,i+
n
∑
j=i
λi,j!Ei,j=0,
la somme interm´ ediaire s’obtenant en permutant sommes puis indices, la libert´ e d´ ecoule alors de la libert´ e de
(Ei,j)16i,j6ndans Mn(K).
4 ) Si M∈T++
n(K),Mest la forme
M=
0? ... ?
0 0 ?
0?
0... 0
,
le polynˆ ome caract´ eristique est alors (−1)nXn,Mest alors quasi-nilpotente. Une base de T++
n(K)est (Ei,j)16i<j6n,
elle est de cardinal 1 +2+... +n−1=n(n−1)
2. Clairement g´
en´ eratrice, et libre en tant que sous-famille d’une fa-
mille libre.
5 ) Si A∈An(K), pour tout X,TXAX ∈K, cette quantit´ e est donc stable par transposition. D’o` u :
TXAX =TXTAX =−TXAX,
et TXAX =0. En particulier si (X,λ)est un couple propre de A,AX =λXet on obtient λTX X =0. Comme X
est non nul, λ=0. La matrice Aest donc quasi-nilpotente.
6 ) Cas n=2–Dest dans A2(R). S’il existe P∈GL2(R)et M∈T++
2(R)telles que D=PMP−1,Dserait quasi-
nilpotente sur Rcomme Ml’est. L’assertion est donc d´ emontr´ ee dans ce cas.
Cas g´ en´ eral– si n=2pest paire pour un certain p∈N, il suffit de consid´ erer la matrice anti-sym´ etrique suivante
form´ ee de pblocs de D:
D0... 0
0D... 0
...
0... 0D
.

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Un calcul de d´ eterminant par blocs montre que le polynˆ ome caract´ eristique associ´ e est (X2+1)p, l’argument du
cas n=2 s’applique encore une fois. Si n=2p+1 est impair on consid` ere la matrice antisym´ etrique suivante
form´ ee de p−1 blocs de Det de C:
D0... 0
0D... 0
...
0... 0D0
0... 0 0 C
,
avec C=
0 1 0
−1 0 1
0−1 0
. Un calcul de d´
eterminant par blocs prouve que cette matrice n’est pas quasi-nilpotente,
0 n’´ etant pas valeur propre de C.
2 CAS R ´ EEL
7 ) D’apr` es le th´ eor` eme spectral, toute matrice Mde Sn(R)est diagonalisable en base orthonorm´ ee ` a valeurs propres
r´ eelles λ1, ..., λn: il donc existe une matrice orthogonale Ptelle que
M=TPDiag(λ1,...,λn)P.
Si Mest quasi-nilpotente, tous les λisont nuls et Mest la matrice nulle. Si M∈Sn(C), la matrice Bde la premi` ere
partie fournit un contre-exemple : elle est non nulle mais sym´ etrique et quasi-nilpotente.
8 ) Comme Mn(R) = Sn(R)⊕An(R),
V= (Sn(R)∩V)⊕(An(R)∩V)puis dimV=dim (Sn(R)∩V)
| {z }
=0
+dim(An(R)∩V)6dim(An(R)) = n(n−1)
2.
3 LEMME DES COLONNES
9 ) Soit Vun sous-espace vectoriel quasi nilpotent de M1(K), toute matrice de Vest alors diagonalisable avec une
unique valeur propre. Comme ces matrices sont quasi-nilpotentes par hypoth` ese, elles sont nulles et C1(V) = {0}.
10 ) Soit Vun espace vectoriel de matrices quasi-nilpotentes. L’espace V0est, par hypoth` ese absurde, non vide et
quasi-nilpotent. Le polynˆ ome caract´ eristique de Mest
χM=−XχK(M)
pour tout M∈V0, donc K(V0)est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de matrices de Mn−1(K).
11 ) D’apr` es l’hypoth` ese de r´ ecurrence, il existe un jdans {1,...,n−1}tel que Cj(K(V0)) = {0}. Mais d’apr` es
l’hypoth` ese absurde, pour tout k∈{1,...,n},Ck(V)6={0}. On applique donc ceci pour k=j, ce qui donne une
matrice Mde j-i` eme colonne non nulle dans V, et mˆ eme dans V0comme j6=n:
M=
0... 0?0 0
?
.
.
....
0 0 ?0 0
.
On peut supposer que le coefficient (n,j)est non nul quitte ` a permuter. Puis l’hypoth` ese de r´ ecurrence affirme
que le bloc Kde cette derni` ere est nul (K(M)est une matrice de Mn−1(K)dont toutes les colonnes sont nulles
sauf la j-i` eme), finalement il ne reste qu’un coefficient en position (n,j)que l’on peut supposer ˆ etre ´ egal ` a 1
puisque Vest un espace vectoriel. Conclusion : pour un certain j∈{1,...,n−1},En,j∈V.
12 ) uσest un endomorphisme de permutation : v´ erifions que (uσ)−1=uσ−1. En effet pour tous j∈{1,...,n}:
uσ−1◦uσ(ej) = uσ−1eσ(j)=ej=uσ◦uσ−1(ej).
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Les deux applications lin´ eaires co¨ ıncident sur une base avec l’identit´ e, elles sont donc ´ egales partout.
13 ) Il suffit de calculer le coefficient (i,j)de uσ. La colonne jde Mat
e,e(uσ)est eσ(j)=∑n
i=1δi,σ(j)ei, d’o`
u le fait que
Mat
e,e(uσ) = P
σ.
L’inversibilit´ e de uσdonne celle de P
σet
(P
σ)−1=P
σ−1,
d’apr` es ce qui a ´ et´ e fait supra.
14 ) Pour tous (i,j)∈{1,...,n}2:
P−1
σMP
σi,j=
n
∑
l=1
n
∑
k=1P−1
σi,lMl,k(P
σ)k,j=
n
∑
l=1
n
∑
k=1
δi,σ−1(l)Ml,kδk,σ(j)=Mσ(i),σ(j).
15 ) On note Vσ=P−1
σMP
σ:M∈V. Le polynˆ
ome caract´ eristique est invariant par conjuguaison, pour tous M∈
V:
χP−1
σMP
σ=χM.
Le fait que Vsoit un sous-espace quasi-nilpotent se transmet donc imm´ ediatement ` aVσ. Ensuite pour tous j, on
souhaite construire une matrice de Vσnon nulle telle que toutes les colonnes soient nulles except´ ee la j-i` eme. Par
hypoth` ese on sait que c’est le cas pour V, on note Mjune telle matrice pour chaque j, alors
P−1
σMjP
σk,l= (Mj)σ(k),σ(l),
cette derni` ere matrice a toutes ces colonnes nulles except´ ee la σ−1(j)-i` eme. Comme σest bijective, pour tout
j∈{1,...,n},Cj(Vσ)6={0}.
16 ) Ce que l’on veut faire est quasiment la question 11 ) ` a permutation pr` es. Soit j∈{1,...,n}, notons σj= ( j n),
la bijection qui envoie jsur net fixe les autres entiers. Comme Vσjest un sous-espace vectoriel quasi nilpotent
de Mn(K), il existe d’apr` es 11 ) un entier g(j)∈{1,...,n−1}tel que
En,g(j)∈Vσj.
Mais alors
P
σjEn,g(j)P−1
σj=δσj(k),nδσj(l),f(j)k,l=Eσ−1
j(n),σ−1 j(g(j)) =Ej,f(j)∈V,
en posant f(j) = σ−1
j(g(j)) et f(j)6=jcar sinon n=g(j).
17 ) On consid` ere la suite fk(1)k∈N. N´ ecessairement il existe deux entiers p>qtels que fp(1) = fq(1). En effet,
dans le cas contraire tous les fk(1)pour tout k>1 seraient diff´ erents, dans un ensemble fini {1,...,n}, ce qui est
absurde. On d´ efinit alors la suite j:
j1=fq(1),j2=f(j1) = fq+1(1), ... jp−q+1=f(jp−q) = fp(1) = j1.
Dans la suite, on reprend la notation ppour la longueur de la suite plutˆ ot que p−q+1.
18 ) Un algorithme serait le suivant :
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L=[] ;
L : liste ;
k=f(1) ;
Tant que (f(k) /∈L) faire
L←L+[k] ;
k←f(k) ;
Fait
l=0 ;m=taille(L) ;
Tant que (L[l] 6=L[m-1]) faire
l=l+1
Fait
Retourner L[l :m-1], liste L dont on a supprim´ e le d´ ebut
Algorithme 1: cr´ eation de la liste des ji
19 ) Notons N=∑p
k=1Ejk,f(jk).N∈Vvia la structure d’espace vectoriel de V. Montrons que 1 est valeur propre, dans
ce cas l’hypoth` ese faite au d´ epart sera clairement absurde puisque Vest suppos´ eˆ etre un espace quasi-nilpotent.
Soit X= (x1,...,xn)∈Rn, alors la i-` eme coordonn´ ee de NX est
(NX)i=
p
∑
k=1
δi,jkxf(jk).
On voudrait trouver un Xtel que pour tout i
p
∑
k=1
δi,jkxf(jk)=
p
∑
k=1
δi,jkxjk+1=xi.
On pose donc xi=0 sur les itels que i/∈{j1,..., jp}, et 1 ailleurs.
4 CAS G ´ EN ´ ERAL
20 ) Commenc¸ons par supposer que Cn(V) = {0}: on suppose donc que l’entier jobtenu par le lemme des colonnes
est n. On verra plus tard que cela n’est pas restrictif. L’hypoth` ese est exactement ´ equivalente ` a
KerK∩W={0}.
Donc en particulier
dim(KerK∩W) = dimKer(KW) = 0.
La formule du rang ` aKWdonne donc :
Rg(KW) + dimKer(KW) = dimK(W) + dim(Ker(K)∩W) = dimK(W) = dimW.
La question est donc ´ equivalente ` a
dimV6dimW+ (n−1),
et cette derni` ere in´ egalit´ e d´ ecoule de la formule du rang appliqu´ ee ` aL:
RgL+dimW=dimV,et RgL6n−1.
21 ) K(W)est un sous-espace vectoriel de Mn−1(K), il est de plus quasi-nilpotent (puisque si M∈W,L(M) = 0 et un
calcul de d´ eterminant par blocs donne a(M) = 0 et K(M)quasi nilpotente) et l’hypoth` ese de r´ ecurrence affirme
que
dimK(W)6(n−1)(n−2)
2.
En injectant dans la question pr´ ec´ edente, on obtient la borne voulue.
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22 ) Pour finir, on peut facilement se ramener au cas pr´ ec´ edent. En effet, d’apr` es le lemme des colonnes il existe
un jtel que Cj(V) = {0}. Or dimVσ=dimVpour toute permutation σ, en particulier si σ= ( j n), on a
Cn(Vσ) = {0}et le cas pr´ ec´ edent s’applique.
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