TD 4 - IMJ-PRG

M2 Courbes Elliptiques UPMC 2016-2017
Feuille d’exercices no4
Exercice 1. Dans cet exercice on revient sur les notions d’ordre et sur la multiplication
complexe des courbes elliptiques. Soit K/Qun corps de nombres. On dit qu’un sous-
anneau A⊂Kest un ordre si c’est un Z-module de type fini et que K= Frac(A). Un
r´eseau est un sous-Z-module de type fini M⊂Ktel que M⊗ZQ=K.
1. Soit M⊂Kun r´eseau. Montrer que {α∈K|α·M=M}est un ordre OMde K.
2. Soient M,M0⊂Kdeux r´eseaux tels qu’il existe x∈K∗tel que M0=x·M.
Monter que OM0=OM.
3. Montrer que pour tout ordre A⊂Kil existe un r´eseau M⊂Ktel que A=OM.
4. Montrer que l’ensemble des ordres de Kordonn´e pour la relation d’inclusion admet
un unique ´el´ement maximal, qui est l’anneau OKdes entiers alg´ebriques de K.
5. Soit A⊂Kun ordre. Est-ce un anneau de Dedekind ?
6. Montrer que Z[√d]⊂Q(√d) est un ordre pour tout d∈Z. Quand est-il ´egal
maximal ?
7. Soit d´esormais K/Qun corps quadratique imaginaire et A⊂Kun ordre. Montrer
qu’il existe f∈ OKtel que A=Z+f·OK. On appelle fle conducteur de l’ordre.
On a f= 1 si et seulement si l’ordre est maximal.
8. Soit A⊂Kun ordre d’un corps quadratique imaginaire. Construire une courbe
elliptique Esur Ctelle que End(E) = A.
9. Donner des ´equations explicites de cette courbe elliptique lorsque K=Q(i) et
A=Z+ 2iZ.
Exercice 2. Dans cet exercice, on s’int´eresse aux endomorphismes des courbes elliptiques
sur les corps finis. On voit apparaˆıtre une courbe elliptique supersinguli`ere. Soit kun
corps contenant une racine primitive 4-i`eme de 1 not´ee I. Soit Ela courbe elliptique
sur kd’´equation y2=x3−x.
1. V´erifier que [i]E: (x, y)7→ (−x, Iy) est un endomorphisme de E.
2. En d´eduire l’existence d’un morphisme d’anneau [•]E:Z[i]→End(E).
3. Montrer que [•]Eest injectif et que [α]Eest une isog´enie pour tout α6= 0.
4. Soit ppremier tel que p≡3 modulo 4. Notons d´esormais k=Z[i]/p·Z[i]. Rappeler
la structure de k. On notera I∈kla classe de i.
5. Notons φp:E→Ele morphisme (x, y)7→ (xp, yp). V´erifier que φp◦[i]E= [−i]E◦φp.
1

6. Est-ce que l’anneau End(E) est commutatif ?
7. Admettons que φ2
p= [−p]E. Notons Al’anneau non commutatif d´efini par g´en´erateur
et relation
A=Z< I, J > / I2=−1, J2=−p, IJ =−JI
Construire un morphisme d’anneaux A→End(E).
8. Prouver que ce morphisme est injectif.
2