{ }1 { } - Maths Langella

101 Groupes monogènes, groupes cycliques, exemples. Isomphie de ces gpes
avec /n , resp. .
Reversat.
I. Développement
A. Mise en place du morphisme (
∼
exponentielle) qui permettra de quotienter, étude de Ker .
{
}
1
; ;...;
n
G a e a a
−
= =
(
)
0
o a n
= >
0
a
≠
(
)
(
)
, ,
:
k
G
k a
ψ
+ → ×
(
)
(
)
(
)
' '
' . '
k k k k
k k a a a k k
ψ ψ ψ
+
+ = = = ×
{
}
/
k
Ker k a e
ψ
= ∈ =
B. "Lemme": Montrons que tous les sg H de ( ,+) non réduits à {0} sont de la forme k , k *.
a) Détermination d'un candidat k  pour que
H k
*H
∩ ≠ ∅
*H
∩ ≠ ∅
*H
∩ ≠ ∅
b) Montrons que
k H
⊂
.
c) Montrons que
H k
⊂
.
HH
x kq r
∈∈
= +
r x kq H
= − ∈
r H
∈ ∩
C. Application à Ker  .
1
kq n
a a
= =
1
k
a
=
Ker n
ψ =
D. Conclusion grâce au premier théorème d'isomorphisme.
(
)
(
)
, ,
/ Im( )
G
Ker
ψ
ψ ψ
+ → ×
↓ ↑
→
∼

101 Groupes monogènes, gpes cycliques, exemples.
/n ou Reversat
E. Cas où l'ordre de G est infini.
(
)
(
)
, ,
:
k
G
k a
ψ
+ → ×
II. Commentaires.