Théorèmes Limites, J–Paul Tsasa Laboratoire d`Analyse

Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
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Théorèmes Limites, J–Paul Tsasa
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One pager
Janvier 2013
Vol. 5 – Num. 008
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Théorèmes Limites en Théorie des Probabilités
Inégalités, Lois des Grands Nombres et Théorèmes Centraux Limites
Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
Résumé
Ce papier présente ce qu’il convient de considérer comme résultats les plus remarquables et
célèbres en théorie de probabilités : les lois faible et forte des grands nombres et les
théorèmes centraux limites (versions restreinte et plus générale). Il recueille, également, une
trentaine d’inégalités rencontrées généralement dans l’analyse statistique.
Mots – clé : Inégalité, loi de grands nombres, théorème limite central.
Abstract
We present in this paper the law of large numbers and central limit theorems. We also identify
around thirty inequalities, for which some are used in the statistical analysis and in the proof
of limit theorems.
Introduction
Alors que T. Haavelmo
1
(1944) estimait que les modèles développés en économie ne pouvaient être
cohérents avec les données que s’ils sont probabilistes, deux obstacles majeurs empêchaient
l’introduction de probabilités dans la méthodologie de l’analyse économique : (i) la non indépendance des
faits économiques et (ii) le problème d’homogénéité du temps ou de la permanence des lois
économiques. Pour écarter ces arguments myopes, Haavelmo (1944) avance une thèse révolutionnaire
qui impose l’application de probabilité en économétrie. En effet : (i) il propose une approche basée sur le
caractère aléatoire des relations économiques au regard du nombre de facteurs explicatifs des faits socio
– économiques ; (ii) en référence aux changements éventuels de structure, il différencie les relations
économiques stables et non stables ; (iii) il distingue, d’une part, l’influence théorique ou potentielle d’un
facteur et d’autre part, son influence réellement observée ou factuelle.
Ainsi estime – t – il que la cohérence des modèles économiques avec les données tient à la prise en
compte de notions probabilistes dans la méthodologie économétrique. Cette intuition –l’introduction de
probabilités dans les modèles économiques– est l’un des points focaux ayant caractérisé le
développement de la théorie économétrique. S’inscrivant dans cette logique, il apparaît donc primordiale
de comprendre les piliers et enjeux de la théorie des probabilités en analyse économique. Dans ce
papier, nous abordons un thème de nature fondamentale, les théorèmes limites
2
. En effet, étant
remarquables et célèbres à la fois, les théorèmes limites apparaissent en théorie des probabilités comme
un des résultats théoriques les plus importants. On les regroupe généralement sous deux dénominations.
D’une part, on note les lois des grands nombres et d’autre part, les théorèmes centraux limites.
1
Economiste et statisticien norvégien et lauréat du Prix Nobel d’économie en 1989, Trygve Haavelmo est considéré
comme l’un des pères révolutionnaires de la théorie économétrique.
2
Toujours dans le cadre de la présentation des piliers de la théorie des probabilités, dans les papiers ultérieurs, nous
reviendrons sur certains concepts – clé sur la théorie de la mesure –théorie imaginée par le mathématicien français
Henri – Léon Lebesgue au début du XXème siècle.

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Alors que les lois des grands nombres établissent les conditions qui déterminent la convergence de la
moyenne d’une suite de variables aléatoires vers leur espérance mathématique commune, les théorèmes
centraux limites précisent sous quelles hypothèses la somme d’un grand nombre de variables aléatoires
se caractérise par une distribution approximativement normale. Ce papier propose un exposé rigoureux
de ces résultats. Nous le structurons comme suit. Dans la première section, nous passons en revue les
principales inégalités utilisées en théorie des probabilités et dont certaines, notamment les inégalités de
Markov, de Chebyshev et de Kolmogorov, sont utilisées dans la dérivation des théorèmes limites. La
deuxième section et la troisième section sont consacrées à la présentation et la démonstration des
théorèmes limites. Dans la deuxième section, nous présentons les versions faible et forte de la loi des
grands nombres. Et dans la troisième section, nous nous intéressons à la dérivation des versions
restreinte et générale du théorème central limite.
I. Inégalités célèbres en théorie des probabilités
Cette section présente trois inégalités qui permettent d’ériger l’environnement où s’appliquent les
théorèmes limites. Au delà de ces trois inégalités, nous reprenons également une collection des
inégalités généralement utilisées en statistique.
Considérons une constante positive  telle que :
on note pour la variable aléatoire  :
Connaissant l’expression de l’espérance mathématique :
Ainsi, on établit l’inégalité de Markov :
Posons à présent  et admettons que la variable  possède une moyenne, notée  et une variance,
notée  telles que  et  Le cas Markov devient, après avoir centré la variable aléatoire  :
Puisque  et que  il vient que :

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En considérant, une suite  des variables aléatoires qui sont de carré intégrable et deux à deux
corrélées, on obtient :
et il s’ensuit que :
Ainsi, pour tout  :
où :
Comme indiqué par leurs expressions, les inégalités de Markov et de Chebyshev permettent de borner la
valeur de probabilité dont l’espérance mathématique et la variance sont connues.
Considérons, cette fois – ci, une suite des variables aléatoires,  réelles indépendantes, de carré
intégrable et d’espérance nulle telles que :
Alors pour tout  :
En supposant que les  ne sont pas centrées, c’est – à – dire  et que et en posant
que : 
on obtient ainsi une version généralisé de l’inégalité de Kolmogorov :
Regardons plus en détails l’inégalité de Kolmogorov et notons à cet effet :
tel que  c’est – à - dire l’événement élémentaire  réalise l’événement  si et seulement si la
suite finie  atteint ou dépasse  la première fois pour 

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Il vient donc que les  sont deux à deux disjoints et que :
Au regard de la propriété de croissance et additivité de l’intégrale (mesure de la densité 
 par rapport à
), on obtient la minoration suivante :
Intégrons sur  l’inégalité élémentaire, on a ainsi :
où : 
D’une part, les variables  et  étant des combinaisons linéaires de variables aléatoires de carré intégrable,
sont de carré intégrable. Et d’autre part, puisque  est une fonction mesurable du seul vecteur aléatoire
 et que  en est pour le vecteur aléatoire  elles sont donc indépendantes. Ainsi :
Puisque 
Ainsi, on obtient :
A première vue, il ressort que l’inégalité de Kolmogorov est plus ou moins identique à celle de Bienaymé
– Chebyshev. Cependant, il convient de rappeler que contrairement à l’inégalité de Bienaymé –
Chebyshev, où l’on suppose la non corrélation deux à deux, dans ce cas, on pose l’indépendance
mutuelle. Par ailleurs, on note aussi que l’inégalité de Kolmogorov est beaucoup plus puissante étant
donné qu’elle permet de comprendre, en probabilité, toute déviation d’une suite finie 
Parallèlement à ces inégalités, nous énumérons ci – après les inégalités généralement utilisées en
probabilités, notamment dans l’analyse de la convergence. Ci – après, nous les énumérons uniquement,
dans les papiers ultérieurs, on pourrait envisager de les illustrer avec quelques applications et établir les
liens existant entre elles.

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Tableau 1 : Répertoire de quelques inégalités célèbres en probabilités
Inégalité de Hölder
:
Inégalité de Minkowski
:
Inégalité de Lyapunov
:
Inégalité de Bunyakovski – Cauchy – Schwarz
:
Inégalité de Jensen
:
 est une fonction convexe.
Inégalité triangulaire
:
Inégalité de Bonferroni
:
Inégalité de Boole
:
Bornes de Chernoff
:
 fonction génératrice des moments.
Inégalité de Bernett
:
- 
 ;
- 
Moyennes arithmétique, géométrique et
harmonique : 
:
- 
 ;
- 
 ;
- 
Nous reprenons le reste des inégalités en annexe. Dans les sections qui suivent, nous présentons et
démontrons les théorèmes limites.
II. Lois des grands nombres
Il existe plusieurs versions de lois des grands nombres. Nous présentons, uniquement, les versions
classiques telles qu’établies par les mathématiciens russes Khintchine (loi faible des grands nombres) et
Kolmogorov (loi forte des grands nombres).
II.1. Loi faible des grands nombres (Théorème de Khintchine)
A l’origine, la loi faible des grands nombres fut établie par Jacob Bernoulli, qui l’avait méditée pendant
près de vingt années. Notons également qu’à son époque, l’inégalité de Chebyshev n’était pas encore
connue. Sa démonstration concernait particulièrement les variables ne prenant que deux valeur (0 ou 1).
La version générale que nous présentons est attribuée au mathématicien russe Alexandre Iakovlevitch
Khintchine.
Soient une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées telle que :
Pout tout  :