Fonctions continues sur un intervalle - MPSI Saint

MPSI Lyc´ ee Rabelais Semaine du 7 f´evrier 2007
Fonctions continues sur un intervalle
Continuit´e, prolongements par continuit´e
Exercice 1 : Etudiez la continuit´e des fonctions suivantes :
1. f(x) = 
ex−1 si x < 0
0 si x= 0
xln x+xsi x > 0
2. f(x) = (ln(1 + x)
xsi x > 0
0 si x= 0
3. f(x) = 
exp 1
1−xsi x > 1
0 si x≤1
Exercice 2 : Etudiez la continuit´e et l’existence de prolongements par continuit´e
des fonctions suivantes :
1. f(x) = 1
x2+ 3x+ 2 si x∈?
2. f(x) = x2ex
1−exsi x6= 0
3. f(x) = cos x−1
x2si x6= 0
4. f(x) = √x+ 1 −√x
√xsi x > 0
5. f(x) = (ex+ 2x)
1
xsi x > 0
6. f(x) = 1 + 5
3x2x2
si x6= 0
Exercice 3 : On consid`ere la fonction f:R→Rd´efinie par
∀x∈R, f(x) = bxc+px− bxc
Montrez que fest continue sur R
Continuit´e uniforme, fonctions Lipschitziennes
Exercice 4 : Montrez que la fonction f:R+→Rd´efinie par ∀x∈R+,f(x) = x2
n’est pas uniform´ement continue.
Exercice 5 : Montrez que ln : R+?→Rn’est pas uniform´ement continue.
Exercice 6 : Soit f:R+→Rla fonction racine carr´ee, d´efinie par ∀x∈R+
f(x) = √x.
1. Montrez que ∀(x, y)∈R+×R+,√x+y≤√x+√y. D´eduisez-en que
∀(x, y)∈R+×R+,|√x−√y| ≤ p|x−y|
2. Montrez que fest uniform´ement continue sur R+.
3. fest-elle lipschitzienne ?
Exercice 7 : Soit f:R+→Rune fonction uniform´ement continue sur R+. Montrez
que fest major´ee par une fonction affine.
Exercice 8 : Soient f, g deux fonctions continues de [−1,1] dans R.
On d´efinit pour tout x∈Rla fonction
M(x) = sup
t∈[−1,1] f(t) + x g(t)
1. Montrez que M:R→Rest bien d´efinie.
2. Montrez que ∀h≥0, ∀x∈R,M(x+h)≤M(x) + hsup
[−1,1]
g.
3. Montrez que ∀h≥0, ∀x∈R,M(x+h)≥M(x) + hinf
[−1,1] g.
4. En d´eduire que M:R→Rest continue.
Exercice 9 : soit q∈Q?un nombre rationnel non nul.
1. Montrez que H={qm + 2kπ ; (m, k)∈Z2}est un sous-groupe dense de
(R,+).
2. Montrez que {cos(qn), n ∈N}est dense dans [−1,1].
3. En d´eduire que pour tout `∈[−1,1], il existe une suite extraite de cos(nq)
convergente de limite `.
Propri´et´es fondamentales des fonctions continues
Exercice 10 : Soit f:I→Zune fonction continue sur un intervalle, `a valeurs dans
Z. Montrez que fest constante.
1

Exercice 11 : Soient f, g :I→R?deux fonctions continues non nulles sur un
intervalle Itelles que ∀x∈I,|f(x)|=|g(x)|. Montrez que f=gou f=−g.
Exercice 12 : Soit f: [0,1[→Rla fonction d´efinie par
∀x∈[0,1[, f(x) = xsin 1
1−x
1. Calculez pour tout entier naturel l’image par fde xn= 1 −2
(4n+ 1)πet
yn= 1 −2
(4n+ 3)π.
2. D´eduisez-en f([0,1[).
Exercice 13 : Soient f: [a, b]→Rune fonction continue telle que f(a)6=f(b), u
et vdeux nombres r´eels strictement positifs. Montrez qu’il existe c∈]a, b[ tel que
uf(a) + vf(b) = (u+v)f(c)
Exercice 14 : Th´eor`emes de points fixes
Soit f: [a, b]→[a, b] une fonction d´efinie sur un intervalle stable.
1. On suppose que fest croissante. D´emontrez qu’il existe α∈[a, b] tel que
f(α) = α.
2. On suppose que fest continue. D´emontrez qu’il existe α∈[a, b] tel que
f(α) = α.
3. On suppose que ∀(x, x0)∈[a, b]2,x6=x0⇒ |f(x)−f(x0)|<|x−x0|.
(a) D´emontrez que fest continue en tout point de [a, b].
(b) D´emontrez que l’´equation f(x) = xposs`ede une unique solution dans
[a, b].
Exercice 15 : Soit f: [0,1] →[0,1] une fonction continue telle que f(0) = f(1).
1. Montrez que l’´equation f(x+1
2) = f(x) poss`ede au moins une racine.
2. Montrez que pour tout entier p∈N?, l’´equation f(x+1
p) = f(x) poss`ede au
moins une racine.
Exercice 16 : Soit f:R→Rd´efinie par ∀x∈R,f(x) = ln(1 + ex).
1. Montrez que fr´ealise une bijection de Rsur f(R).
2. D´eterminez f(R) et f−1.
Exercice 17 : Soit f:R→Rla fonction d´efinie par ∀x∈R, f(x) = x
1 + |x|.
1. Montrez que fr´ealise une bijection de Rsur f(R).
2. Explicitez f(R) et f−1.
Exercice 18 : On consid`ere la fonction f:R+?→R
x7→ x−2 + ln x
.
1. Montrez que fr´ealise une bijection de R+?sur R. Etudiez l’application
r´eciproque gde f: continuit´e, monotonie, limites aux bornes de l’intervalle.
2. Montrez que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution dans R+?,
not´ee α.
3. Etudiez la limite lim
x→+∞
f(x)
x. D´eduisez-en lim
t→+∞
f(g(t))
g(t)puis un ´equivalent
de gau voisinage de +∞.
Exercice 19 : Soit f:R+→Rune fonction continue et `∈Rtelles que
lim
x→+∞f(x) = `. Montrez que fest born´ee.
Exercice 20 : Soit f:R→Rune fonction continue. Etudiez lim
x→+∞
f(sin x)
x.
2

Indications et corrections
3

Exercices suppl´ementaires
Th´eor`emes de points fixes
Exercice 21 : Un train parcourt 120 kilom`etres en trois heures. Montrez qu’il existe
un intervalle d’une heure pendant lequel il parcourt exactement 40 km.
Exercice 22 : Soit f: [0,1] →[0,1] une fonction continue telle que f(0) = f(1).
D´emontrez qu’il existe c∈[0,1
2] tel que f(c) = f(c+1 2).
Exercice 23 : Th´eor`eme de point fixe
Soit (a, b)∈R2tels que a≤b, et f: [a, b]→[a, b] une fonction continue.
Montrez que fposs`ede au moins un point fixe dans [a, b].
Exercice 24 : Th´eor`eme de point fixe
Soit f:R+→Rune fonction continue.
On suppose qu’il existe `∈[0,1[ telle que lim
x→+∞
f(x)
x=`. Montrez que fposs`ede
au moins un point fixe.
Exercice 25 : Soit f:R→Rune fonction continue telle que lim
x→+∞f(x) =
lim
x→−∞ f(x) = +∞.
Montrez que fposs`ede un minimum sur R.
Exercice 26 : Soit f:R+→Rune fonction continue et `∈Rtelles que
lim
x→+∞f(x) = `.
Montrez que fest born´ee.
Exercice 27 : Soit f:R→Rune fonction strictement contractante dans le sens
qu’il existe une constante k∈]0,1[ telle que :
∀(x, y)∈R2,|f(x)−f(y)| ≤ k|x−y|
1. Montrez que l’application x7→ f(x)−xr´ealise une bijection de Rsur R. En
d´eduire que fadmet un unique point fixe `.
2. Montrez que pour tout r´eel a, la suite (un) d´efinie par u0=aet la relation
de r´ecurrence
∀n∈N, un+1 =f(un)
converge vers `.
Exercice 28 : Soit f;R→Rune fonction continue telle que
∀(x, y)∈R2,|f(x)−f(y)| ≥ |x−y|
1. Montrez que fest strictement monotone sur R.
2. Prouvez que fest une bijection de Rsur lui-mˆeme.
3. Soit F ix ={x∈R|f(x) = x}. Montrez que F ix est l’ensemble vide ou un
intervalle ferm´e de R.
4. On suppose que fcroˆıt et qu’il existe (a, b)∈R2tel que f([a, b]) ⊂[a, b].
Montrez que [a, b]⊂F ix.
5. On suppose que fd´ecroˆıt. Montrez que F ix est r´eduit `a un singleton.
Equations fonctionnelles
Exercice 29 : Soit f:R→Rune fonction continue v´erifiant :
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x) + f(y)
D´eterminez fsur N, puis sur Qet enfin sur R.
Exercice 30 : Soit f:R→Rune fonction continue v´erifiant :
∀(x, y)∈R2, f x+y
2=f(x) + f(y) 2
Montrez que fest affine : il existe (a, b)∈R2tel que ∀x∈R,f(x) = ax +b.
Indication : commencez par ´etudier le cas o`u f(0) = f(1) = 0.
Exercice 31 : Trouvez toutes les fonctions f:R→Rcontinues telles que
∀(x, y)∈R2, f(x+y)×f(x−y) = f2(x)×f2(y)
Exercice 32 : Trouvez toutes les fonctions f:R→Rcontinues telles que
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x) + f(y)
1 + f(x)f(y)
Exercice 33 : Trouvez toutes les fonctions f:R→Rcontinues telles que
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x)p1 + f2(x) + f(y)p1 + f2(x)
4

Th´eor`eme de la bijection
Exercice 34 : On consid`ere la fonction :
f:R+?→R
x7→ x−2 + ln x
1. Calculez f(1) et f(3). Que peut-on en d´eduire pour l’´equation f(x) = 0 ?
2. D´emontrez que l’´equation f(x) = 0 poss`ede une unique solution dans R+?,
not´ee α.
3. Montrez que fr´ealise un bijection de R+?sur R. Etudiez l’application
r´eciproque gde f: continuit´e, tableau de variations et limites aux bornes.
4. D´eterminez lim
x→+∞
f(x)
x. En d´eduire lim
t→+∞
f(g(t))
g(t)puis un ´equivalent de gau
voisinage de +∞.
Exercice 35 : Soit f:I→Rune fonction continue sur un intervalle Ide R.
On suppose que fr´ealise une bijection de l’intervalle Ide Rsur J.
1. Montrez que fest strictement monotone sur R.
Indication vous pourrez raisonner par l’absurde et supposer l’existence
d’aun triplet (a, b, c)∈I3tels que a < b < c mais tels que f(b)/∈
]f(a), f(c)[∪]f(c), f(a)[.
2. D´eduisez-en que l’application r´eciproque f−1:J→Ide fest continue sur
J.
Continuit´e uniforme, fonctions Lipschitziennes
Exercice 36 : Soit f:R+→Rune fonction continue. On suppose qu’il existe `∈R
tel que lim
x→+∞f(x) = `.
1. Montrez que fest uniform´ement continue sur R+.
2. Enoncez et d´emontrez un r´esultat semblable pour les fonctions continues sur
R.
Exercice 37 : Soit f:R+→Rune fonction continue.
1. Montrez qu’il existe (α, β)∈R2tel que ∀x∈R+,f(x)≤αx +β.
2. Montrez que la r´eciproque est fauss.
Indication : vous pourrez consid´erer la fonction x7→ xsin xet calculer
f(2kπ +h)−f(2kπ).
Miscellaneous
Exercice 38 : Soit f: [a, +∞[→Rune fonction continue. On suppose qu’il existe
`∈Ret r∈R+?tels que
lim
x→+∞f(x+r)−f(x) = `
Montrez que lim
x→+∞
f(x)
x=` r.
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