Dérivation Primitives

Cours de Terminale STI2D
Giorgio Chuck VISCA
27 septembre 2013
Dérivation
Primitives
1

Table des matières
I La dérivation 3
I Rappels 3
I.1 exemple graphique ............................................. 3
II fonction dérivée, formules de calcul 4
II.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 dérivées des fonctions usuelles ...................................... 4
II.3 opérations sur les fonctions dérivables .................................. 5
II.4 composée et dérivée ............................................ 5
II.4.1 théorème initial (non exigible) .................................. 5
II.4.2 conséquences : d’autres formules de dérivation à connaître .................. 5
II.4.3 exemples de calculs ......................................... 5
III applications de la dérivation et compléments 6
III.1 étude des variations ............................................. 6
III.2 compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.2.1 écriture différentielle ........................................ 6
III.2.2 dérivées successives ........................................ 6
III.2.3 notion d’équation différentielle .................................. 6
II Les primitives 6
IV Définition et propriétés 7
IV.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV.2 primitive passant par un point donné .................................. 7
IV.3 illustration graphique ............................................ 7
V Méthodes de calculs 8
V.1 primitives des fonctions usuelles ..................................... 9
V.2 règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I RAPPELS
Première partie
La dérivation
I Rappels
f′(a)s’appelle le nombre dérivé d’une fonction fen un point A d’abscisse a(ou nombre dérivé en a).
Il correspond graphiquement au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a,
c’est à dire de la droite qui approxime au mieux la fonction autour de a
1
2
−1
−2
−3
1 2−1−2−3
•
est représentée ici la tangente à la courbe en 1
Sa pente vaut +2, donc f′(1) = 2
Nous avons donc :f(1) = −1et f′(1) = 2
O
On rappelle par ailleurs que l’équation réduite de la tangente en aà la courbe représentative d’une
fonction fdérivable en aest donnée par y=f′(a)(x−a) + f(a)
I.1 exemple graphique
1
2
−1
−2
−3
1 2−1−2−3
•
•
•
••
•
O
3Giorgio

II FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL
On a représenté ci-dessus la fonction fdéfinie sur [−2.5; 3] par :
f(x) = 1
3x3−1 2x2−2x+7 6
1. Déterminer par le calcul les images de −2,−1,1et 2, puis vérifier la cohérence sur le graphique.
2. Résoudre graphiquement les équations f(x) = −1et f(x) = 0
3. Donner le tableau de signe de f(x)sur [−2.5; 3]
4. Complèter alors le tableau suivant :
x−2−1 +1 +2
f(x)
f′(x)
5. Donner une équation des tangentes T−2,T−1,T1et T2, aux points de la courbe d’abscisses respectives :
−2,−1,1et 2.
6. Résoudre graphiquement l’équation f′(x) = 0
7. Donner le signe de f′(x)sur [−2.5; 3]., puis faire un tableau commun où apparaissent les variations de f
et le signe de f′(x)
II fonction dérivée, formules de calcul
II.1 définition
On rappelle que fest dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable en tout point de I. L’en-
semble Doù fest dérivable est appelé ensemble de dérivabilité de f
On défini ensuite sur Ila fonction dérivée de fnotée f′.
II.2 dérivées des fonctions usuelles
fonction f domaine Dffonction dérivée f’ domaine D′
f
f(x) = aRf′(x) = 0 R
f(x) = ax +bRf′(x) = aR
f(x) = xn, où nest un entier relatif 6=−1Rou R∗f′(x) = nxn−1Rou R∗
f(x) = 1
xR∗−1 x2R∗
f(x) = 1
xn, où nest un entier naturel non nul R∗f′(x) = −n xn+1 R∗
f(x) = √x[0; +∞[f′(x) = 1
2√x]0; +∞[
f(x) = sin xRf′(x) = cos xR
f(x) = cos xRf′(x) = −sin xR
4Giorgio

II.3 opérations sur les fonctions dérivables II FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL
II.3 opérations sur les fonctions dérivables
Soient uet vdeux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit kun réel quelconque on a :
formules de dérivation ensembles de validité
(u+v)′=u′+v′;(ku)′=ku′sur I
(uv)′=u′v+v′usur I
1
v′
=−v′
v2;u v′
=u′v−v′u
v2sur tout intervalle de Ioù v6= 0
✂. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4 composée et dérivée
II.4.1 théorème initial (non exigible)
Soit fune fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et gune fonction définie et dérivable sur un
intervalle J, telle que g(J)⊂I, alors la fonction h=f◦gest dérivable sur Jet pour tout xde Jon a :
h′(x) = (f◦g)′(x) = g′(x)×f′◦g(x)
en gros (f◦g)′=g′×f′◦g
II.4.2 conséquences : d’autres formules de dérivation à connaître
✦SOIT uUNE FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I,
POUR TOUT ENTIER RELATIF nON A :(un)′=nu′un−1
.....(avec comme condition suplémentaire que une s’annule jamais sur Iquand nest négatif)
✦SOIT uUNE FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I,ET TELLE QUE u > 0SUR I,
ON A ALORS :(√u)′=u′
2√u
✦SOIT uUNE FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I,
ON A ALORS (sin u)′=u′cos uet (cos u)′=−u′sin u
✦
✦
II.4.3 exemples de calculs
Calculer la dérivée des fonctions suivantes dérivée
1. f(x) = sin x2+ 3x+ 1
2. g(t) = p3t4+ 2t2+ 1
3. h(x) = (2x2+ 3x−1)5
4. i(x) = (sin(3x+ 5))6
5Giorgio