Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 2013 Dérivation Primitives 1 Table des matières I La dérivation 3 I 3 3 Rappels I.1 exemple graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II fonction dérivée, formules de calcul II.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 composée et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.1 théorème initial (non exigible) . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.2 conséquences : d’autres formules de dérivation à connaître II.4.3 exemples de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 5 5 5 5 III applications de la dérivation et compléments III.1 étude des variations . . . . . . . . . . . . . III.2 compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.1 écriture différentielle . . . . . . . . III.2.2 dérivées successives . . . . . . . . III.2.3 notion d’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 6 6 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Les primitives 6 IV Définition et propriétés IV.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 primitive passant par un point donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 illustration graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 7 V Méthodes de calculs V.1 primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2 règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9 9 I RAPPELS Première partie La dérivation I Rappels f ′ (a) s’appelle le nombre dérivé d’une fonction f en un point A d’abscisse a (ou nombre dérivé en a). Il correspond graphiquement au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a, c’est à dire de la droite qui approxime au mieux la fonction autour de a 2 1 −3 −2 −1 O −1 est représentée ici la tangente à la courbe en 1 1 2 Sa pente vaut +2, donc f ′ (1) = 2 • Nous avons donc :f (1) = −1 et f ′ (1) = 2 −2 −3 On rappelle par ailleurs que l’équation réduite de la tangente en a à la courbe représentative d’une fonction f dérivable en a est donnée par y = f ′ (a)(x − a) + f (a) I.1 exemple graphique • 2 1 • −3 −2 −1 O 1 • • −1 • 2 −2 • −3 3 Giorgio II FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL On a représenté ci-dessus la fonction f définie sur [−2.5; 3] par : f (x) = 1. 2. 3. 4. 1 3 1 2 7 x − x − 2x + 3 2 6 Déterminer par le calcul les images de −2, −1, 1 et 2, puis vérifier la cohérence sur le graphique. Résoudre graphiquement les équations f (x) = −1 et f (x) = 0 Donner le tableau de signe de f (x) sur [−2.5; 3] Complèter alors le tableau suivant : x f (x) f ′ (x) −2 −1 +1 +2 5. Donner une équation des tangentes T−2 , T−1 , T1 et T2 , aux points de la courbe d’abscisses respectives : −2, −1, 1 et 2. 6. Résoudre graphiquement l’équation f ′ (x) = 0 7. Donner le signe de f ′ (x) sur [−2.5; 3]., puis faire un tableau commun où apparaissent les variations de f et le signe de f ′ (x) II fonction dérivée, formules de calcul II.1 définition On rappelle que f est dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable en tout point de I. L’ensemble D où f est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité de f On défini ensuite sur I la fonction dérivée de f notée f ′ . II.2 dérivées des fonctions usuelles fonction f domaine Df f (x) = a R f ′ (x) = 0 R f (x) = ax + b R f ′ (x) = a R f (x) = xn , où n est un entier relatif 6= −1 R ou R∗ f ′ (x) = nxn−1 R ou R∗ R∗ − 1 , où n est un entier naturel non nul xn R∗ f ′ (x) = − √ x [0; +∞[ 1 f ′ (x) = √ 2 x ]0; +∞[ f (x) = sin x R f ′ (x) = cos x R f (x) = cos x R f ′ (x) = − sin x R f (x) = 4 1 x2 domaine Df′ 1 x f (x) = f (x) = fonction dérivée f’ R∗ n xn+1 R∗ Giorgio II.3 opérations sur les fonctions dérivables II FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL II.3 opérations sur les fonctions dérivables Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit k un réel quelconque on a : formules de dérivation (u + v)′ = u′ + v ′ ; ensembles de validité sur I (ku)′ = ku′ sur I (uv)′ = u′ v + v ′ u ′ 1 v′ =− 2 ; v v u ′ v = u′ v − v ′ u v2 sur tout intervalle de I où v 6= 0 ✂ ........................................................................................................... II.4 composée et dérivée II.4.1 théorème initial (non exigible) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie et dérivable sur un intervalle J, telle que g(J) ⊂ I, alors la fonction h = f ◦ g est dérivable sur J et pour tout x de J on a : h′ (x) = (f ◦ g)′ (x) = g′ (x) × f ′ ◦ g(x) en gros (f ◦ g)′ = g′ × f ′ ◦ g II.4.2 conséquences : d’autres formules de dérivation à connaître ✦S OIT u UNE I, : (un )′ = nu′ un−1 FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR POUR TOUT ENTIER RELATIF n ON A .....(avec comme condition suplémentaire que u ne s’annule jamais sur I quand n est négatif) ✦S OIT u UNE ON A ALORS I , ET TELLE QUE u > 0 SUR I , √ u′ : ( u)′ = √ 2 u ✦ SOIT u UNE ON A ALORS FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I, (sin u) = u cos u et (cos u) = −u sin u ′ ′ ′ ′ ✦ ✦ II.4.3 exemples de calculs Calculer la dérivée des fonctions suivantes dérivée 1. f (x) = sin x2 + 3x + 1 p 2. g(t) = 3t4 + 2t2 + 1 3. h(x) = (2x2 + 3x − 1)5 4. i(x) = (sin(3x + 5))6 5 Giorgio III APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION ET COMPLÉMENTS III applications de la dérivation et compléments III.1 étude des variations Soit f définie et dérivable sur un intervalle I ✦ Si pour tout x de I on a f ′ (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I ✦ Si pour tout x de I on a f ′ (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I ✦ Si pour tout x de I on a f ′ (x) = 0, alors f est constante sur I. III.2 compléments III.2.1 écriture différentielle df est l’écriture différentielle de f ′ (x).......... dx par exemple si l’on pose x(t) = 2t3 + 3t − 1, où la variable est ici t et la fonction est x, on aura x′ (t) = 6t2 + 3..... dx = 6t2 + 3. avec l’écriture différentielle on note dt la notation écrire la dérivée des fonctions suivantes en utilisant l’écriture différentielle : 3t + 1 2t − 2 sin t 2. x(t) = cos t 3. f (x) = 1. f (t) = √ x sin x 4. g(v) = v 3 − 4v 2 + 7v − 5 III.2.2 dérivées successives La dérivée seconde d’une fonction f est la dérivée de sa dérivée.....on la note f ′′ La dérivée troisième de f est la dérivée de sa dérivée seconde.......on la note f ′′′ etc............................... Pour n entier naturel,on note alors f (n) , la dérivée n-ème de la fonction f ... ✂ ........................................................................................................... III.2.3 notion d’équation différentielle Nous allons ici évoquer une des notions essentielles de l’année en analyse : la notion d’équation différentielle. π On note f (t) = cos t ; g(t) = sin t ; et h(t) = cos(t + ). 4 1. calculer les dérivées secondes de f , g et h. 2. donner une relation entre chaque fonction et leur dérivée seconde 3. trouver une autre fonction vérifiant cette propriété 4. existe-t’il une fonction k définie par k(t) = A cos t, où A est une constante réelle, telle que k(0) = 2 ? 5. trouver une fonction égale à sa dérivée 6 Giorgio IV DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS Deuxième partie Les primitives IV Définition et propriétés ✦ Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = 1 . 1 + x2 1 . On 1 + x2 ne connait pas explicitement F , mais on peut tracer sa courbe à l’aide de la méthode d’euler par exemple. Cette fonction est donc telle que F ′ (x) = f (x) : On dit alors que F est une primitive de f sur R. On note F une fonction définie sur R vérifiant la propriété différentielle suivante : F ′ (x) = ✦ Un autre exemple : on pose F (x) = x3 + x + 1 et G(x) = x3 + x + 15428963 . On pose par ailleurs f (x) = 3x2 + 1. Vous constatez aisément que ∀x ∈ R, F ′ (x) = G′ (x) = f (x). F et G sont alors des primitives de f sur R. IV.1 définition soit f une fonction définie sur un intervalle Df . On appelle PRIMITIVE de la fonction f ,une fonction F définie sur Df , et qui a pour dérivée la fonction f ....., ainsi ∀x ∈ Df , F ′ (x) = f (x). Sur l’exemple précédent, F est alors une primitive de f ,......oui mais G aussi en est une ! Ainsi, une fonction admet non pas une primitive, mais des primitives, en effet : si F et G sont des primitives d’une même fonction f sur Df ,alors : ∀x ∈ Df , F (x) = G(x) + k, k ∈ R , (ainsi les primitives d’une même fonction sont toutes égales, mais à une constante additive près ...) ainsi si F est une primitive de f , toutes les primitives de f , sont les fonctions x → F (x) + k,mais il en est une et une seule dont la courbe passe par un point donné... IV.2 primitive passant par un point donné Il existe une unique primitive F de f vérifiant F (x0 ) = y0 , i.e telle que CF passe par le point de coordonnées (x0 , y0 ), où x0 et y0 sont deux réels donnés,avec x0 ∈ Df . IV.3 illustration graphique La figure ci-dessous représente les primitives de la fonction f (x) = x2 − x − 2, c’est à dire les fonctions F 1 1 définies par : F (x) = x3 − x2 − 2x + k. 3 2 On constate graphiquement qu’il n’y en a qu’une qui passe par le point A(−1, 4) par exemple. D’où l’unicité de la primitive passant par un point donné. 7 Giorgio V MÉTHODES DE CALCULS A • 4 3 2 1 −2 −1 O 1 2 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 V Méthodes de calculs Les règles de calculs données dans ce qui va suivre, sont obtenues grâce aux formules de dérivations qu’il faut tout simplement adapter et "lire à l’envers" ,en effet : ′ 1 u′ – on a = − 2 donc ..................est une primitive de..................... u u √ ′ u′ – on a u = √ donc ......................est une primitive de ..................... 2 u de la même façon , on en déduit les formules de calculs des primitives suivantes : 8 Giorgio V.1 primitives des fonctions usuelles V MÉTHODES DE CALCULS V.1 primitives des fonctions usuelles Tableau des primitives des fonctions usuelles la fonctionf a pour primitives les fonctions F f (x) = a sur R F (x) = ax + k f (x) = x sur R F (x) = f (x) = 1 x2 sur ] − ∞, 0[ ou sur ]0, +∞[ f (x) = xn , n ∈ Z \ {−1} x2 +k 2 F (x) = − sur R ou sur R∗+ ou sur F (x) = R∗− 1 +k x 1 xn+1 + k n+1 sur ]0, +∞[ √ F (x) = 2 x + k f (x) = sin(x) sur R F (x) = −cos(x) + k f (x) = cos(x) sur R F (x) = sin(x) + k i π πh sur − , 2 2 F (x) = tan(x) + k 1 f (x) = √ x f (x) = 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) V.2 règles de calculs les règles de calculs de primitives sont données par les formules suivantes : fonctions f primitives F f =u+v F =U +V +k f = λu, avec λ ∈ R F = λU + k f = u′ u F = f = u′ un , n ∈ Z \ {−1} 1 2 u +k 2 1 un+1 + k n+1 1 F (x) = − cos(ax + b) a 1 F (x) = sin(ax + b) a F = f (x) = sin(ax + b) avec a 6= 0 f (x) = cos(ax + b) avec a 6= 0 9 Giorgio