Exercices supplémentaires de trigonométrie

Exercices supplémentaires de trigonométrie
1. Calcule après avoir réduit au premier quadrant à l'aide des angles associés:
a) sin(4π/3)
b) cos(5π/3)
c) sin(330°)
d) tan(11π/6)
e) cot(-23π/6)
f) sin(510°)
g) cos(-510°)
h) tan(225°)
i) sin(225°)
j) cot(300°)
k) cos(-315°)
2. Simplifie sans utiliser de calculatrice, et justifie :
a)
cos−20 °
cos160 °
b)
sin 100 °
cos−10 °
c)
cos3
5
sin 
10 
3. Sachant que cos α = 4/5 et
∈[3
2;2]
, calcule:
a) cos(-α)
b) sin α
c) cos(α- π)
d) cos(α + π)
e) tan α
4. Sachant que sin 37° = 3/5, calcule:
a) cos 37°
b) sin 143°
c) sin 323°
d) tan 143°
e) sin 217°
5. Simplifie le plus possible:
a) sin(90°-α) – cos(180°+α)
b)
sin 
2−
sin−
c)
cos
2
cos
2−
d)
sin 
2−.cos
cos−.tan
e)
sin(90 °−α).tan(45 °+α)
cos(360°−α).tan (225 °+α)
f) sin(α-90°)
g) cos(α-90°)
h) cos(-180° + α)
i) sin(-270° - α)
j) tan(α-360°)
k) sin(540°+α)
l) tan(720° - α)
m) cos(-450°-α)
n) sin(-540° - α)
o)
sin−
cos− .tan 90 °−
p) sin(π/2 – α).cos α + cos(π/2 – α).sin α
q)
sin (−a).sin(90 °+a).cos(−a)
cos (180 °+a).cos(270 °−a)
r)
sin −a.cot 3
2−a.cosa−2
tana.tan
2a.cos3 2a
6. Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (270°-α) en fonction de α.
7. Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (90°+α) en fonction de α.
8.Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (270°+α) en fonction de α.
4M5 - Exercices supplémentaires de trigonométrie - 12/12/11 1

9. Soient les trois angles α, β et γ tels que α+β+γ=180°. Calculer sin(β+γ) et
sin 
2
en
fonction des nombres trigonométriques de α ou d'un multiple de α.
10. Montrer que l'angle opposé du supplémentaire de l'angle orienté α est l'angle anti-
supplémentaire de α
11. Vrai ou faux ?
a) Quelle que soit l'amplitude α, sin(-α) = -sin(α)
b) Quelle que soit l'amplitude α, cos(-α) = -cos(α)
c) Quelle que soit l'amplitude α, sin(2α) = 2.sin(α)
d) Quels que soient a et b, sin(a+b) = sin(a)+sin(b)
e) Quel que soit a, tan a = sin(a)/cos(a)
f) sin 80° > sin 50°
g) sin 130° > sin 100°
h) Si a > b alors sin a > sin b
i) cos 80° > cos 50°
j) cos 130° > cos 100°
k) cos 280° < cos 300°
4M5 - Exercices supplémentaires de trigonométrie - 12/12/11 2

Exercices supplémentaires de trigonométrie: Corrigé
1. Calcule après avoir réduit au premier quadrant à l'aide des angles associés:
a) sin(4π/3) = -sin(π/3) =
−
√
3
2
(antisuppl.)
b) cos(5π/3) = cos(π/3) = 0,5 (opposés)
c) sin(330°) = sin(-30°) = -sin(30°) = -0,5
(opposés)
d) tan(11π/6)=-tan(π/6)=
−
√
3
3
(opposés)
e) cot(-23π/6)=cot(π/6) =
3
(+ 2 tours)
f) sin(510°)=sin(150°) = sin(30°) = 0,5 (-1
tour, puis suppl).
g) cos(-510°)=cos(-150°) = -cos(30°) =
− 3
2
(+1 tour, puis antisuppl.)
h) tan(225°)=tan(45°) =1 (antisuppl.)
i) sin(225°) = -sin(45°) =
−
√
2
2
j) cot(300°) = cot(120°) = -cot(60°) =
− 3
3
(antisuppl. puis suppl.)
k) cos(-315°) = cos(45°)=
2
2
(opposés).
2. Simplifie sans utiliser de calculatrice, et justifie :
a)
cos−20 °
cos 160 °
=
−cos180 °−20 °
cos160 °=−cos 160 ° cos 160 °=−1
(20° et 180°-20° sont antisuppl.)
b)
sin 100 °
cos−10 °
=
cos90°−100 °
cos−10°=cos−10 ° cos−10 °=1
(100° et 90°-100° sont opposés)
c)
cos3
5
sin 
10 
=
sin 
2−3 5
sin 
10 
=
sin−
10 
sin 
10 
=
−sin 
10 
sin
10 
=−1
(3π/5 et π/2-3π/5 sont complémentaires, π/10 - -π/10 sont opposés).
3. Sachant que cos α = 4/5 et
∈[3
2;2]
, calcule:
a) cos(-α) = cos α = 4/5
b) sin α:
sin2 α = 1 – cos2 α = 1 – 16/25 = 9/25.
Dans le 4e quadrant, le sinus est négatif, donc sin α = -3/5
c) cos(α- π) = cos(π-α) = -cos α = -4/5 d) cos(α + π) = - cos α = -4/5
e) tan α =
sin 
cos=−3 4
4. Sachant que sin 37° = 3/5, calcule:
a) cos 37°:
cos2 37° = 1 – 9/25 = 16+25
cos 37° = +4/5 (dans le premier quadrant, le cosinus est positif)
b) sin 143° = sin(180° - 37°) = sin 37° = 3/5
c) sin 323° = sin(360° - 37°) = sin(-37°) = -sin(37°) = -3/5
d) tan 143° =
sin 143°
cos143°
sin 143° = 3/5 (cf. b)
cos2 143° = 1 – 9/25 = 16/25.
cos 143° = -4/5 (dans le second quadrant, le cosinus est négatif)
tan 143° =
3
5
−4
5
=−3
4
e) sin 217° = sin(180° + 37°) = -sin 37° = -3/5
4M5 - Exercices supplémentaires de trigonométrie - 12/12/11 3

5. Simplifie le plus possible:
a) sin(90°-α) – cos(180°+α) = cos(α -(-cos α) = 2 cos α
b)
sin 
2−
sin−
=
cos 
−sin =−1 tan =−cot 
c)
cos
2
cos
2−
=
−cos −
2
sin =
−cos
2−
sin =−sin  sin =−1
d)
sin 
2−.cos 
cos−.tan
=
cos .−cos
−cos .tan =cos  tan 
e)
sin(90 °−α).tan(45 °+α)
cos(360°−α).tan (225 °+α)=cos (α).tan (45 °+α) cos(−α).tan(180 °+45 °+α)=cos(α).tan(45°+α) cos(α).tan(45°+α)=1
f) sin(α-90°) = -sin(90° - α) = - cos α
g) cos(α-90°) = cos(90°-α) = sin α
h) cos(-180° + α) = cos(180° - α) = - cos α
i) sin(-270° - α) = sin(360°-270°-α) =
sin(90°-α)=cos α
j) tan(α-360°) = tan α
k) sin(540°+α) = sin(180°+α) = -sin α
l) tan(720° - α) = tan(-α) = -tan(α)
m) cos(-450°-α) = cos(-90°-α) =
-cos(180°-90°-α) = -cos(90°-α)=-sin α
n) sin(-540° - α) = sin(-180°-α) =-
sin(180°+α)=sin α
o)
sin−
cos− .tan90 °−
=
−sin 
cos .cot =−tan .cot =−1
p) sin(π/2 – α).cos α + cos(π/2 – α).sin α=cos(α).cos(α) + sin(α).sin(α) = 1.
q)
sin (−a).sin(90 °+a).cos (−a)
cos(180 °+a).cos(270 °−a)=−sin (a).sin (180 °−(90 °+a)).cos a −cos a.(−cos(90 °−a))
=−sin (a).sin(90°−a).cos(a)
−cos(a).(−sin(a)) =−sin(a).cos(a).cos(a) −cos(a).(−sin a)=−cos (a)
r)
sin(π−a).cot(3π
2−a).cos(a−2π)
tan(π+a).tan(π
2+a).cos(3π 2+a)
=
sin (a).cot
(
π+
(
3π
2−a
)
)
.cos(a)
tan(a).
(
−tan
(
π−
(
π
2+a
)
)
)
.cos
(
2π−
(
3π
2+a
)
)
=
sin (a).cot
(
π
2−a
)
.cos(a)
tan (a).
(
−tan
(
π
2−a
)
)
.cos
(
π
2−a
)
=sin (a).tan(a).cos (a)
tan(a). ( −cot (a) ) .sin(a)=cos(a)
−cot (a)=−sin a
6. Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (270°-α) en fonction de α.
270°-α = 180° + (90°-α) (antisupplémentaire du complémentaire de α)
sin(270°-α) = sin(180°+(90°-α) = -sin(90°-α) = -cos α
cos(270°-α) = cos(180°+(90°-α) = -cos(90°-α) = -sin α
tan(270°-α) = tan(180°+(90°-α) = tan(90°-α) = cot α
cot(270°-α) = cot(180°+(90°-α) = cot(90°-α) = tan α
4M5 - Exercices supplémentaires de trigonométrie - 12/12/11 4

7. Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (90°+α) en fonction de α.
90°+α =180°-(90°+α) (supplémentaire du compléntaire de α)
sin(90°+α) = sin(180° - (90° + α)) = sin(90°+α) = cos(α)
cos(90°+α) = cos(180° - (90° + α)) = -cos(90°+α) = -sin(α)
tan(90°+α) = tan(180° - (90° + α)) = -tan(90°+α) = -cot(α)
cot(90°+α) = cot(180° - (90° + α)) = -cot(90°+α) = tan(α)
8.Etablis les formules donnant les nombres trigonométriques de (270°+α) en fonction de α.
270°+α = 180° + (90°+α)
sin(270°+α) = sin(180°+(90°+α) = -sin(90°+α) = -cos α
cos(270°+α) = cos(180°+(90°+α) = -cos(90°+α) = sin α
tan(270°+α) = tan(180°+(90°+α) = tan(90°+α) = -cot α
cot(270°+α) = cot(180°+(90°+α) = cot(90°+α) = -tan α
9. Soient les trois angles α, β et γ tels que α+β+γ=180°. Calculer sin(β+γ) et
sin
2
en
fonction de α.
sin(β+γ)=sin(180°-α) = sin α
sin
2
=sin
180°−
2
=sin 90 °−
2
=cos
2
10. Montrer que l'angle opposé du supplémentaire de l'angle orienté α est l'angle anti-
supplémentaire de α
Une amplitude de l'opposé de α est 180°-α.
Une amplitude du supplémentaire de (180°-α) = -180°+α
Une autre amplitude de -180°+α est 180°+α (en ajoutant 360°)
180°+α est bien l'antisupplémentaire de α.
11. Vrai ou faux ?
a) Quelle que soit l'amplitude α, sin(-α) = -sin(α)
b) Quelle que soit l'amplitude α, cos(-α) = -cos(α)
c) Quelle que soit l'amplitude α, sin(2α) = 2.sin(α)
d) Quels que soient a et b, sin(a+b) = sin(a)+sin(b)
e) Quel que soit a, tan a = sin(a)/cos(a)
f) sin 80° > sin 50°
g) sin 130° > sin 100°
h) Si a > b alors sin a > sin b
i) cos 80° > cos 50°
j) cos 130° > cos 100°
k) cos 280° < cos 300°
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