Topologie des espaces vectoriels normés

Chapitre II
Topologie des espaces vectoriels normés
Table des matières
Partie A : Normes et espaces vectoriels normés 3
1. Dénitions de base et premières propriétés ............................ 3
2. Premiers exemples d’espaces vectoriels normés .......................... 6
3. Distance associée à une norme ................................... 11
4. Boules et sphères associées à une distance ............................. 14
5. Parties bornées, applications bornées ............................... 15
6. Constructions d’espaces vectoriels normés ............................. 18
Partie B : Suites dans un espace vectoriel normé 23
1. Suites convergentes ......................................... 23
2. Opérations algébriques sur les suites convergentes ........................ 25
3. Suites extraites et valeurs d’adhérence ............................... 30
Partie C : Topologie d’un espace vectoriel normé 34
1. Ouverts ................................................ 34
2. Fermés ................................................ 37
3. Voisinages .............................................. 40
4. Topologie d’un espace produit ................................... 42
5. Intérieur ............................................... 43
6. Adhérence .............................................. 44
7. Frontière ............................................... 46
8. Caractérisation séquentielle des fermés .............................. 47
9. Densité ................................................ 48
10. Ouverts, fermés et voisinages relatifs ............................... 50
Partie D : Comparaison de normes 52
1. Domination de normes ....................................... 52
2. Normes équivalentes ......................................... 56
Partie E : Limites et continuité 60
1. Limite d’une application ...................................... 60
2. Propriétés des limites ........................................ 63
3. Applications continues ....................................... 66
4. Applications lipschitziennes ..................................... 68
5. Continuité et topologie ....................................... 70
6. Continuité uniforme ......................................... 71
7. Continuité et applications linéaires ................................. 73
1

Partie F : Compacité 76
1. Dénition ............................................... 76
2. Propriétés .............................................. 76
3. Applications continues sur un compact .............................. 79
Partie G : Connexité par arcs 82
1. Chemins ............................................... 82
2. Connexité par arcs et composantes connexes par arcs ...................... 82
3. Parties étoilées ............................................ 86
4. Parties connexes par arcs de R................................... 87
5. Image continue d’une partie connexe par arcs ........................... 88
Partie H : Espaces vectoriels normés de dimension nie 90
1. Équivalence des normes en dimension nie ............................ 90
2. Conséquences topologiques ..................................... 91
3. Compacité en dimension nie .................................... 93
4. Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales .............. 95
2

Normes et espaces vectoriels normés
Partie A
Partie A
Dans cette partie, Edésigne un espace vectoriel sur K=Rou C.
1. Dénitions de base et premières propriétés
Dénition 1.
Dénition 1. gNormeNorme
On appelle norme sur l’espace vectoriel, une application N:E→Rqui vérie les axiomes
suivants :
i) (Positivité) pour tout x∈E,
N(x)≥0;
ii) (Séparation) pour tout x∈E,
N(x) = 0 implique x= 0E;
iii) (Homogénéité) pour tous x∈E,λ∈K,
N(λx) = |λ|N(x);
iv) (Inégalité triangulaire) pour tous x, y ∈E,
N(x+y)≤N(x) + N(y).
Si Nest une norme sur E, le couple (E, N)est appelé espace vectoriel normé.
Il est souvent d’usage de noter ∥·∥d’un espace vectoriel normé et donc ∥x∥la norme d’un vecteur x
de E.
Proposition 1.
Proposition 1.
Soit Nune norme sur E. Alors N(0E) = 0 et que pour tout x∈E,N(−x) = N(x).
Démonstration.
D’après l’axiome iii) appliqué à λ= 0,ona:
N(0E) = N(0.0E) = 0N(0E) = 0.
De plus, pour tout x∈E,N(−x) = N((−1).x) = | − 1|N(x) = N(x).
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Exercice 1.
Exercice 1.
Soit Nune norme sur E. Montrer que l’axiome d’homogénéité est équivalent à :
∀x∈E, ∀λ∈K, N(λx)≤ |λ|N(x).
Correction.
La condition est clairement nécessaire. Montrons qu’elle est susante :
1er cas : λ= 0. Pour tout x∈E, on a N(0.x)≤0N(x) = 0. Or Nest positive, donc N(0.x) =
0 = 0N(x).
2eme cas : λ̸= 0. Pour tout x∈E,
N(x) = N(1
λλx)≤1 |λ|N(λx).
Par suite, N(λx)≥ |λ|N(x). D’où le résultat.
Exemple 1.
Exemple 1.
Soit <·,·>un produit scalaire sur Eet ∥ · ∥ sa norme associée (i.e. x7→ ∥x∥=√< x, x >).
La terminologie utilisée est bien justiée : en eet, ∥·∥est bien une norme sur Eau sens de la
dénition 1.
Exercice 2.
Exercice 2.
Démontrer cette armation
Correction.
On rappelle qu’un produit scalaire sur Eest une forme bilinéaire symétrique dénie positive sur
E. On utilise donc ces propriétés. Soit x, y ∈Eet λ∈K.
i) (Positivité) Immédiat.
ii) (Séparation) Cela découle du fait que < x, x >= 0 implique x= 0E.
iii) (Homogénéité) On a
∥λx∥=< λx, λx > =λ2< x, x > =|λ|∥x∥.
iv) (Inégalité triangulaire) On a, en utilisant le théorème de Cauchy-Schwarz
∥x+y∥2=∥x∥2+ 2 < x, y > +∥y∥2≤ ∥x∥2+ 2∥x∥.∥y∥+∥y∥2= (∥x∥+∥y∥)2.
D’où le résultat.
Proposition 2.
Proposition 2. gSeconde Inégalité triangulaireSeconde Inégalité triangulaire
Soit Nune norme sur E. Pour tous x, y ∈Eon a :
|N(x)−N(y)| ≤ N(x−y)≤N(x) + N(y).
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Démonstration.
Soit x, y ∈E. On a N(x) = N(x−y+y)≤N(x−y) + N(y). Par suite, N(x)−N(y)≤N(x−y).
On a de même N(y)−N(x)≤N(x−y)en remarquant que N(y−x).
Dénition 2.
Dénition 2. gVecteur unitaireVecteur unitaire
Soit Nune norme sur E.
On dit qu’un vecteur xde Eest unitaire si N(x) = 1.
Notation 1.
Notation 1. gBoule et sphère unitéBoule et sphère unité
Soit Nune norme sur E. On note :
—S(0E,1) = {x∈E|N(x) = 1}; on appelle cet ensemble sphère unité de E;
—Bf(0E,1) = {x∈E|N(x)≤1}; on appelle cet ensemble boule unité fermée de E;
—B(0E,1) = {x∈E|N(x)<1}; on appelle cet ensemble boule unité ouverte de E;
Dénition 3.
Dénition 3.
Soit Nune norme sur Eet x∈Eun vecteur non nul.
On appelle vecteur unitaire associé à xle vecteur unitaire 1
N(x)x.
Remarque 1.
Remarque 1.
Pour x̸= 0E, le vecteur unitaire associé à xest clairement colinéaire à x.
Si K=R, il n’existe que deux vecteurs unitaires colinéaires à x:
1
N(x)xet −1 N(x)x.
Dans le cas où K=C, il en a une innité : ce sont exactement les
eit
N(x)xpour t∈[0,2π[.
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