Le Torseur

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T.CHIRLE
●
Le Torseur
Le torseur : un outil mathématique
R
{T}=
M(o)
o
Il représente un champ
de vecteur équiprojectif.
Champ des vitesses d'un solide en rotation
Le Torseur
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●
Le torseur : adapté à la mécanique des solides.
Le torseur est un outil mathématique particulièrement adapté aux calculs de
mécanique du solide indéformable. Il apparaît dans les trois chapitres du
programme de S2I :
∗ Cinématique du solide
∗ Modélisation des actions mécaniques
∗ Dynamique
→
→
→
→
torseur distributeur des vitesses.
torseur des actions mécaniques.
torseur cinétique
torseur dynamique.
Avantages de la notation torsorielle :
elle unifie les notations et permet de définir simplement : le champ des
vitesses d'un solide; une action mécanique; une énergie; une puissance
●
elle permet d'énoncer de manière concise les principes et théorèmes
de la mécanique des solides
●
Le Torseur
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Définition
soit E l’espace affine à 3 dimensions et E l’espace vectoriel associé. On
appelle torseur que l’on note { T } , l’ensemble défini dans ces espaces:

∗ d’un vecteur R appelé résultante du torseur { T }.

MP
. Ce champ
∗ D’un champ vectoriel défini en tous point P de E et noté
vectoriel appelé moment au point P du torseur { T } vérifie la relation
suivante:
∀ ( A, B ):
 


M A = M B + AB ∧ R
Relation de changement de point d’un champ de moment de torseur
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Le Torseur
Notations
Vecteur ne dépendant pas du point
{T}=
O
R
Mo
Point de réduction
Résultante du torseur {T}
Vecteur dépendant du point
Moment en O du torseur {T}
Ces deux vecteurs sont les
éléments de réduction
du torseur { T } au point O
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Notations
Si l'on désire travailler dans une base orthonormée directe B(i,j,k), on notera le torseur:
{ T}
=
A
X

Y
Z

L

M
N  ( B )

avec 





R= X i + Y j+ Z k




MA = L i + M j + N k
Toujours préciser la base de projection
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Torseur distributeur des vitesses:
Vecteur ne dépendant pas du point
{ V ( S R) }

= 

A
 
R = Ω ( S R)


M A = V ( A ∈ S R)
Vecteur vitesse de rotation
Vecteur dépendant du point
Vecteur vitesse de A
On a bien la propriété du champ des moments d'un torseur :


 
V ( B ∈ S R) = V ( A ∈ S R) + BA ∧ Ω ( S R)
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Torseur des actions mécaniques:
Vecteur ne dépendant pas du point

{ T ( S1 → S 2 )} = 

A

R=

MA =

R( S 1 → S 2 )

M A ( S1 → S 2 )
Résultante des actions
mécaniques de S1 sur S2
Vecteur dépendant du point
Moment résultant des actions
mécaniques de S1 sur S2
On a la propriété du champ des moments d'un torseur :


 
M B ( S1 → S2 ) = M A ( S1 → S2 ) + BA ∧ R( S1 → S2 )
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Propriétés
changement de point de réduction
Les représentants d’un même torseur en
deux points de réduction différents
A

 R
 
MA

R

 

et  
M B = M A + BA ∧ R

B
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Propriétés : Equiprojectivité du champ des moments




M A ⋅ AB = M B ⋅ AB
||AB||
Démo évidente
||AB||
Projections des moments sur la droite (AB)
B
MA
MB
A
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Propriétés : invariant d'un torseur
Le produit scalaire des éléments de réduction d'un même torseur ne dépend pas
du point choisi pour le calculer. C'est un invariant du torseur.
 
R ⋅ M AA
=
 
R ⋅ M AB
Quelles que soient A et B
Démo évidente
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Le Torseur
Propriétés
égalité de 2 torseurs : 2 torseurs sont égaux
s’ils ont même éléments de réduction
en un point A quelconque.
 
 R = R'

{ T} = { T '} ⇔  
 MA = MA '
Egalité des moments au même point
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Propriétés
somme de 2 torseurs: soient 2 torseurs
exprimés au même point de réduction A:

{ T1} = 

A

R1
 ;
M 1A
{ T2 }

= 

A

R2

M2A
La somme des 2 torseurs au point A est un torseur
et l’on note:
{ T} = { T1} + { T2 }

= 

A
Somme des moments au même point

R1 +

M 1A +

R2

M2A
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Le Torseur
Nouvelle écriture de la composition de
mouvement :
La composition des mouvements s'écrit :



ω (2/0) = ω (2/1) + ω (1/0)



V(P,2/0) = V(P,2/1) + V(P,1/0)
Ce qui s'écrit en condensé :
{V(2/0)}
= { V(2/1)} + { V(1/0)}
Formule de composition des torseurs cinématiques
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Le Torseur
Axe centrale d'un torseur
Définition : on appelle axe centrale (∆) d'un torseur,
l'ensemble des points de réduction où résultante et
moment sont colinéaires
Traduisons cette propriété: Soient (A,B) deux points de ∆ .




On a alors M A = aR et M B = bR


 


 
or
M B = M A + BA ∧ R ⇒ bR = aR + BA ∧ R
 

d’où
( a − b) R = AB ∧ R
Vecteurs:
↑ 
// à R
↑ 
; ⊥ à R
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Axe centrale d'un torseur
d’où
 

( a − b) R = AB ∧ R
Vecteurs:
↑ 
// à R
↑ 
; ⊥ à R
√ les 2 membres de l’égalité sont nécessairement nuls.
 
Comme R ≠ 0 ; on a a=b,
le moment
  est constant sur l’axe central,

et AB / / R donc l’axe central ∆ est la droite (A, R ).
L’axe central est une droite passant par un point où résultante et moment
sont colinéaires et de même direction que la résultante. Le moment est
constant et minimum sur l’axe central.
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Résultantes et moments sur l' axe centrale (∆)
R
Comment est le champ de
moment autour de l'axe ?
B
C
MB
R
A
(∆)
MA
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Le Torseur
Représentation du champ des moments d'un
torseur
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Détermination de l'axe centrale
On connait le torseur au point O

Soit Q le plan ⊥ à R et
passant par O. Ce
plan coupe
nécessairement ∆ en
un point que nous
noterons A.
Q


 
M O = M A + OA ∧ R
 
OA ∧ R

R

R
O

MA
A
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Détermination analytique de l'axe centrale
 




M A = α R et aussi M A = M O + AO ∧ R




d' où M O + R ∧ OA = α R

↓ R∧ ( )



 
⇒ R ∧ M O + R ∧ OA = 0
  
 

⇒ R ∧ M O + R ∧ AO ∧ R = 0
 

     
comme R ∧ AO ∧ R = R ⋅ R AO − R ⋅ AO R
   
et R ⋅ AO R = 0
 
   
⇒ R ∧ M O + R ⋅ R AO = 0
(
(
)
(
(
)
(
)
)
) (
)
 
 R ∧ MO
d ' où OA =  
R⋅ R
(
)
On connait le torseur au point O
Q


 
M O = M A + OA ∧ R
 
OA ∧ R

R

R
O

MA
A
Grâce à cette formule on connaît un point de l’axe central ∆ , on connaît

donc entièrement ∆ =(A, R ).
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Torseurs particuliers: le glisseur
Une torseur est un glisseur si et seulement si il existe un
point où son moment est nul.
Il existe A /

 R 
{ T} =    
M A = 0

A
Le glisseur est dit passant par A.
En A, moment et résultante sont colinéaires donc l’axe central passe par A et
en tous points de cet axe le moment est aussi nul.
On appelle souvent support du glisseur, son axe central.
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Le Torseur
Le glisseur en cinématique: il représente un
mouvement de ROTATION autour de l'axe centrale

Ω (S/ R)
 P,S/ R
V(
)
P
A

  Ω (S/ R)  
{ V(S/ R)} = 

A  V(A,S/ R) = 0


V(P,S/ R) = Ω (S/ R) ∧ AP
Axe instantané de rotation
= ensemble des points de vitesse nulle
Le Torseur
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Le glisseur en cinématique
Attention Ω doit être exprimé en Rad.s-1
V(P,S/R)=r.Ω(S/R)
A

Ω (S/ R)
Vue suivant l'axe
P
La vitesse est proportionnelle à la distance r
à l'axe de rotation et à la vitesse angulaire.
Sa direction est orthoradiale. Le sens est
donné par le sens de rotation.
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Torseurs particuliers: le couple
Une torseur est un couple si et seulement si sa résultante
est le vecteur nul.
En tout point A :


M A = MB
Le moment est invariant:
∀ ( A, B) :

 0 
{ T} =   
MA

A
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Le Torseur
le couple en cinématique : il représente un
mouvement de translation
Pas de rotation
=
pas de changement d'orientation
=
Translation


 Ω (S/ R) = 0
{ V(S/ R)} = 

V
(
A
,
S
/
R
)


A
Pince de robot (mouvements/poignet):
➔L'écrou est en translation rectiligne
➔Les doigts sont en translation
circulaire
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E
le mouvement de translation

V(E
,doig
t
 / poignet
)
V
(F,d
doig
o
t
igt / p
F
oign
et )
Poignet
H

V(H
,doig
t / po
igne
t)
Trajectoire du point E dans le poignet.
Les trajectoires sont des courbes
parallèles.
Le champ des vitesses est uniforme



V(E,doigt / poignet )= V(F,doigt / poignet ) = V(H,doigt / poignet )
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●
Mouvement quelconque
Dans le cas générale , le
mouvement d'un solide
peut se décomposer en:
un mouvement de
translation dans la
direction de (∆)
●
et un mouvement de
rotation autour de (∆).
●
Mouvement de
« VISSAGE »
Le Torseur
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Comment reconnaître un glisseur:
Théorème
 
R ⋅ M A = 0 ⇔ le torseur

 R
 
MA

A
est un glisseur ou un couple.
Invariant du torseur = 0
Résultante et moment sont ORTHOGONAUX
Ce théorème n'a d'intérêt que pour le glisseur, car un couple à la même forme en
tout point contrairement au glisseur
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Le Torseur
Exemple du mouvement plan sur plan
P1
P0
y
A
O
x


  Ω (P1/P0)= Ω .z
{V(P1/P0)}= 


A V(A,P1/P0)= U.x+ V.y
Conséquence : il existe un point appelé Centre Instantané de Rotation (CIR) qui a une
vitesse nulle dans le mouvement de P1/ à P0.
V(CIR, P1/P0) = 0
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●
Détermination du CIR(2/0) = I
1 en mouvement de rotation
/ à 0, d'où la direction
de la vitesse absolue de A
2
3
1
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●
Détermination du CIR(2/0) = I
3 en mouvement de translation
/ à 0 d'où la direction
de la vitesse absolue de B
2
3
1
Le Torseur
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●
Détermination du CIR(2/0) = I




V(A,2/0)= V(I,2/0)+ ω (2/0)∧ IA= ω (2/0)∧ IA
I=CIR(2/0)
Ces trois vecteurs sont orthogonaux.
Donc (IA) est dans le plan et orthogonale
à la vitesse V(A,2/0)


V(B,2/0)= ω (2/0)∧ IB
De même:
(IA) est dans le plan et orthogonale
à la vitesse V(B,2/0)
3
2
1
Le Torseur
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●
Mouvement autour du CIR(2/0)
A cet instant la bielle 2 est en
mouvement de rotation / à 0
autour de l'axe (I,z).
I=CIR(2/0)
2
3
CIR : Utilisé en
cinématique
graphique
1
Le Torseur
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●
Détermination d'une vitesse graphiquement
Connaissant V(A,2/0) déterminons
V(B,2/0)
I=CIR(2/0)
2
3
1
Le Torseur
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●
Détermination d'une vitesse graphiquement
Connaissant V(A,2/0) déterminons
V(B,2/0)
I=CIR(2/0)
2
3
1
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●
Le Torseur
Base et roulante
Base
Attention : le CIR n'est fixe
dans aucune pièce.
La trajectoire de I dans 0 est
appelé la base
La trajectoire de I dans 2 est
appelé la roulante
Propriété : base et roulantes
sont tangentes en I et roulent
sans glisser l'une sur l'autre
Roulante
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Propriétés : Equiprojectivité du champ des vitesses


V(A,1/0). AB = V(B,1/0).. AB
AB
AB
Utilisé en cinématique
graphique
Projections des vitesse sur la droite (AB)
B
V(A,S/R)
A
Physiquement : le solide
ne se déforme pas selon
la direction (AB)
V(B,S/R)
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Torseurs cinématiques des liaisons normalisées:
exemple de la ponctuelle
En cinématique du contact, nous avons vu que :
z
Quelconque

Ω
x Vx 


 Ω (2/1) 
{V(2/1)}= 
=  Ω y Vy    
I  V(I,2/1) I  Ω z 0  ( x,y,z)
V(I,2/1)
Ω(2/1)
I
x
Particularité
y
Vitesse de glissement
perpendiculaire
àz
R=(I,x,y,z) est un repère local de la
liaison dans lequel le torseur a la forme
la plus simple (le plus de particularités)
QUESTION : dans quelle autre base ce torseur garde-t-il sa particularité?
Le Torseur
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la ponctuelle
Il est possible de choisir toute base orthonormée directe
contenant la normale Z
z
P
Ω(2/1)
I
x
x*
 Ω x Vx 
 Ω *x V*x 
{ V(2/1)} =  Ω y Vy     =  Ω *y V*y    
I  Ω z 0  ( x,y,z) I  Ω *z 0  ( x*,y*,z)
y* V(I,2/1)
y
La particularité
est toujours là
C'est le vecteur
normale qui compte
QUESTION : en quel autre point ce torseur garde-t-il sa particularité?
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●
P
la ponctuelle
z
Le Torseur
On a :


V(P,2/1)= V(I,2/1)+ Ω (2/1)∧ IP
  
Posons : IP= ax+ by+ cz





  
V(P,2/1)= V(I,2/1)+ (Ω x x+ Ω yy+ Ω zz)∧ (ax+ by+ cz)
Ω(2/1)




= V(I,2/1)+ (cΩ y− bΩ z)x+ (aΩ z − cΩ x)y+ (bΩ x − aΩ y)z
I
x
V(I,2/1)
y
 Ω x Vx + cΩ y − bΩ z 
 Ω x Vx 
{V(2/1)}=  Ω y Vy     =  Ω y Vy + aΩ z − cΩ x    
I  Ω z 0  ( x,y,z) P Ω z bΩ x − aΩ y  ( x,y,z)
On garde Ωz = 0 quelque soit le mouvement si a=b=0, c'est à dire
P est sur l'axe normale (I,Z)
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Le Torseur
Repère locale d'une liaison ponctuelle
z
Conclusion
Le repère locale d'une ponctuel est le repère
P
Ω(2/1)
R=(P,*,*,z)
tel que P appartient à la normale (I,Z)
La base contient la normale Z
I
V(I,2/1)
EN PRATIQUE: on a une grande
liberté de choix pour les repères
locaux , il faut s'en servir pour
simplifier les calculs.
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Le Torseur
Torseurs cinématiques des liaisons
Le repère locale est donné dans la
normalisées:
caractéristique de la liaison
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Le Torseur
Torseurs cinématiques des liaisons
normalisées: