II MOMENTS

II
MOMENTS - TORSEURS
Le torseur est l'outil privilégié de la mécanique.
Il sert à représenter le mouvement d'un solide, à caractériser une action mécanique et à
formuler le PFD (principe fondamental de la dynamique), entre autres.
1. Moments
a). Vecteur lié ou glisseur
Définition :
!
On appelle vecteur lié ou glisseur le couple d'un vecteur V de (E) et d'un point P de (ε)
associé à (E).
!
On le note (P,V ).
!
Le glisseur (P,V ) dont PN est un représentant est donc défini par :
!
- un vecteur V de (E)
- un point quelconque P de son support (D)
Exemple :
!
La force F qu'exerce un système matériel sur un point matériel A peut être représenté par un
!
glisseur (A, F)
b). Moment en un point d'un glisseur
Définition :
!
On appelle moment au point A du glisseur (P,V) le vecteur :
! !
!
M A(V) = AP ∧ V
Mécanique - II - 1 / 8
Propriétés :
•
!
Le moment au point A du glisseur (P,V) est indépendant du point P choisi sur son
support (D)
•
•
Relation fondamentale de changement de point du moment d'un glisseur :
! !
! ! !
M B(V) = M A(V) + V ∧ AB
!
! ! !
M A(V) = 0 si V est nul ou si (D) passe par A
Définition :
!
L'ensemble des vecteurs moment du glisseur (P,V) , définit en tout point de l’espace (ε),
!
constitue un champ de vecteurs, appelé champ de moments du glisseur (P,V)
c). Moment d'un glisseur par rapport à un axe
Définition :
!
!
A étant un point d'un axe ∆ de vecteur unitaire e∆ , on appelle moment du glisseur (P,V) par
rapport à l'axe le réel suivant :
! ! ! !
!
!
M ∆(V) = e∆.M A(V) = e∆ , AP,V
! !
(projection de M A(V) sur l’axe de ∆)
(
)
Propriétés :
!
!
!
- Le moment M ∆(V) du glisseur (P,V) par rapport à l'axe ∆(A, e∆ ) est indépendant du point A
choisi sur l'axe
!
!
!
- M ∆(V) = 0 si V est nul, si la droite (D) rencontre l'axe ∆(A, e∆ ) ou encore si (D) est
!
parallèle à ∆(A, e∆ ) .
d). Ensemble de glisseurs
Définition :
!
Soit un ensemble de glisseurs (Pi ,Vi ) i , on peut associer à cet ensemble les deux vecteurs
{
}
suivants :
!
!
- R = ∑ Vi : la résultante de l'ensemble de glisseurs
i
(
)
!
!
- M A = ∑ APi ∧ Vi : le moment au point A de l'ensemble de glisseurs
i
Mécanique - II - 2 / 8
Propriété : Le champ des moments de l'ensemble de glisseurs vérifie la relation suivante :
!
!
!
M B = M A + R ∧ AB
Remarques :
- Le fait de faire "glisser" les vecteurs sur leur support (D) ne modifie ni la résultante, ni le
moment de départ, d'où le concept de vecteur glissant ou glisseur.
- Dans le cas d'un nombre infini de glisseurs (charge répartie par exemple), on a:
!
!
!
!
R = ∫P∈E F(P) dµ
et
M A = ∫P∈E AP ∧ F(P) dµ
(Intégrales de Stieljes)
!
où F(P) est une densité de force (linéique, surfacique ou volumique) définie sur le domaine
(E), relativement à la mesure µ (L, S ou V)
2. Champs de vecteurs
Définition :
On appelle champ de vecteurs l'application qui fait correspondre à tout point A de (ε) un
!
vecteur V de l'espace vectoriel (E) de même dimension que (ε).
!
!
!
Exemples : Champ électrique E , champ magnétique B , champ gravitationnel g ...
Définition :
!
Un champ de vecteurs F est dit affine si il existe une application linéaire L ∈ L(E) telle que
!
!
∀(A, B) ∈ ε2 :
F(A) = F(B) + L( BA )
!
L est la partie linéaire de F .
!
Définition : Un champ de vecteurs F est dit équiprojectif si :
!
!
∀(A, B) ∈ ε2 :
F(A) . AB = F(B) . AB
Propriété :
Si un champ de vecteurs équiprojectif est connu en 3 points A, B et C non alignés, il est connu
en tout point P de ε.
Mécanique - II - 3 / 8
Définition : L'application linéaire L : ε → E est antisymétrique si :
! !
! !
!!
∀(u , v ) ∈ E 2 :
L(u ) . v = − (u . L(v ) )
Théorème
!
Soit F : ε → E un champ de vecteurs, alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
!
(i) F est équiprojectif
!
(ii) F est un champ affine, et sa partie linéaire est antisymétrique.
!
!
Remarque : Le champ des moments M A∈E d'un glisseur (P,V) est équiprojectif.
3. Torseurs
a). Définition
!
Tout champ de vecteurs équiprojectif T : ε → E est appelé torseur.
!
!
Pour tout A ∈ E , la valeur T(A) est le moment du torseur au point A, noté M A .
!
On note le torseur associé à T sous la forme [T ].
Théorème :
!
!
Soit un torseur T : ε → E , il existe un vecteur unique R tel que :
!
!
!
∀(A, B) ∈ ε2 :
T(A) = T(B) + R ∧ BA
!
R est la résultante du torseur [T ]
Propriété :
Dans l'espace vectoriel (E) associé à l'espace affine (ε), un torseur [T ] : ε → E est défini de
!
!
manière unique par sa résultante R et son moment en un point A M A vérifiant :
!
!
!
∀(A, B) ∈ ε2 :
M B = M A + R ∧ AB
!


R
!
le torseur [T ] se note au point A : [T ]= 
M A 
A
!
!
R et M A sont appelés éléments de réduction (ou coordonnées vectorielles) de [T ]
Mécanique - II - 4 / 8
Exemples :
Dans le cadre de l'étude des solides rigides :
- Champs des vitesses
→ Torseur cinématique
- Champs de quantités de mouvement
→ Torseur cinétique
- Champs de forces
→ Torseur force
- Champs de quantités d'accélération
→ Torseur dynamique
b). Propriétés d'un torseur
(i) Opérations
•
Égalité :
Deux torseurs [T1 ] et [T2 ] sont égaux si et seulement si leurs éléments de réduction sont égaux
!
!
!
!
R1 = R2
et
M 1,A = M 2,A
•
Somme :
La somme de deux torseurs [T1 ] et [T2 ] est le torseur dont les éléments de réduction sont la
somme des éléments de réduction de chacun des deux torseurs :
!
!
!
! ! !
R = R1 + R2 et
M A = M 1,A + M 2,A
Remarque : Pour additionner deux torseurs, il faut d'abord les écrire au même point.
Ceci est valable pour toutes les opérations entre torseurs.
•
Multiplication par un scalaire :
!
!
Soit λ ∈ R , λ [T ] = [λ T ]= A λR, λ M A
•
{
}
Torseur nul : [0 ]= A{0 ,0}
C'est l'élément neutre pour la somme.
! !
!
!
→ un torseur est nul si ses éléments de réduction sont nuls : R = 0 et M A = 0
Mécanique - II - 5 / 8
(ii) In variants d'un torseur
Définition : Soit [T ] un torseur, les invariants d'un torseur sont les grandeurs qui sont
conservées entre deux points A et B de l'espace (ε).
!
! La résultante R du torseur
!
!
L'invariant scalaire : projection du moment du torseur sur sa résultante
! !
! !
∀(A, B) ∈ ε2 : R . M A = R . M B
!
!
Relation d'équiprojectivité : AB . M A = AB . M B
c). Axe central d'un torseur
Définition : Un point central est un point où le moment d'un torseur [T ] a même direction
que la résultante.
A point central
⇔
!
! !
MA ∧ R = 0
!
!
(ou M A = λ R )
Définition : L'ensemble ∆[T ] des points centraux de [T ] est appelé axe central.
Propriétés :
!
- L'axe central ∆[T ] d'un torseur [T ] est une droite, qui admet R comme vecteur directeur
- Le moment d'un torseur est le même en tout point de l'axe central
- La norme du moment d'un torseur est minimum pour les points centraux :
!
!
M A = 0 ⇔ A ∈ ∆[T ]
d). Produit (ou comoment) de deux torseurs
!
!
 !R1 
 !R2 
Soient deux torseurs [T1 ] et [T1 ] définis au même point : [T1 ] = 
 et [T2 ] =  M 
 M 1, A 
 2,A 
Définition : Le produit ou comoment des deux torseurs [T1 ] et [T1 ] est le réel suivant :
! !
! !
[T1 ].[T2 ] = R1 . M 2,A + R2 . M 1,A
Mécanique - II - 6 / 8
Remarque : Cette notion sert par exemple à exprimer la puissance d'une action mécanique
extérieure à un solide.
Propriétés :
- Le produit de 2 torseurs est commutatif
- Le produit de deux torseurs est indépendant du point A choisi → c'est un invariant
4. 4 - Torseurs particuliers
a). Torseur couple
Définition :
On appelle couple ou torseur couple tout torseur [T ] qui est constant, donc tout torseur, noté
[C ], dont la résultante est nulle : :
[C ]=
!
 !0  , avec M! ≠ 0!
M 
A
A
A
Remarques :
- Le moment d'un torseur couple est e même en tout point de l'espace :
∀(A, B) ∈ ε2 : M! = M!
A
B
- Un couple n'admet pas d'axe central
b). Glisseur
Définition :
On appelle glisseur ou torseur à résultante un torseur [G ] dont le moment est nul en au moins
un point.
L'ensemble des points où le moment est nul n'est autre que l'axe central, aussi appelé dans ce
cas support du glisseur :
!
! !

R
!
[G ]=  M  , avec B ∈ ∆G , R ≠ 0
A
A
Mécanique - II - 7 / 8
Remarques :
! !
!
!
- Le torseur [T ] avec R ≠ 0 et M A ≠ 0 est un glisseur si ses deux éléments de réduction sont
orthogonaux
- La somme de deux glisseurs dont les axes centraux sont quelconques n'est en général pas un
glisseur
- Pour qu'un torseur non nul soit un glisseur il faut et il suffit que son invariant scalaire soit
nul
c).
Décomposition d'un torseur
Théorème : Tout torseur [T ] peut être décomposé de façon unique en la somme d'un couple
[C ] et d'un glisseur [G ] :
[T ]=
!
!
!
 !R =  !0 +  R

!
 M   M   0  = [C ] + [G ]
A  A 
A  A
A
!
[G ] est le glisseur de vecteur R
valeur le moment central de [T ]
et de support l'axe central de [T ] et [C ] est le couple de
!
!
On appelle cette opération décomposition centrale, ∆[T ] , R et M ∆[T ] sont les éléments centraux
de [T ].
5. Torseur associé à un ensemble de glisseurs
!
Les ensembles de glisseurs ou vecteurs liés (Ai ,V)i i répondent à la définition d'un torseur
{
}
(équiprojectivité des moments).
On peut donc leur associer un torseur, qui s'écrit au point A :
!


Vi
∑
!

i
! 
T(Vi ) = 
 ∑ APi ∧ Vi 
A i
[
]
(
)
Définition :
On appelle torseur à structure un torseur dont les éléments de réduction sont les deux
intégrales de Stieljes :
!
 ∫ F(P) dµ 
!
P∈E
!
T F(P) = 

AP
∧
F
(P) dµ 

∫

∈
P
E
A
[(
)]
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