II MOMENTS

Mécanique - II - 1 / 8
II
MOMENTS - TORSEURS
Le torseur est l'outil privilégié de la mécanique.
Il sert à représenter le mouvement d'un solide, à caractériser une action mécanique et à
formuler le PFD (principe fondamental de la dynamique), entre autres.
1. Moments
a). Vecteur lié ou glisseur
Définition :
On appelle vecteur lié ou glisseur le couple d'un vecteur V
! de (E) et d'un point P de (
ε )
associé à (E).
On le note (P,V
!).
Le glisseur (P,V
!) dont PN est un représentant est donc défini par :
- un vecteur V
! de (E)
- un point quelconque P de son support (D)
Exemple :
La force F
!qu'exerce un système matériel sur un point matériel A peut être représenté par un
glisseur )F,A( !
b). Moment en un point d'un glisseur
Définition :
On appelle moment au point A du glisseur )V,P( ! le vecteur :
VAP)V(MA
!!! ∧=

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Propriétés :
• Le moment au point A du glisseur ),( VP ! est indépendant du point P choisi sur son
support (D)
• Relation fondamentale de changement de point du moment d'un glisseur :
ABV)V(M)V(M AB ∧+= !!!!!
• 0
!
!! =)V(MA si V
! est nul ou si (D) passe par A
Définition :
L'ensemble des vecteurs moment du glisseur )V,P( !, définit en tout point de l’espace (ε),
constitue un champ de vecteurs, appelé champ de moments du glisseur )V,P( !
c). Moment d'un glisseur par rapport à un axe
Définition :
A étant un point d'un axe ∆ de vecteur unitaire ∆e
!, on appelle moment du glisseur ),( VP ! par
rapport à l'axe le réel suivant :
(
)
V,AP,e)V(M.e)V(M A
!
!
!!
!
!
∆∆∆ ==
(projection de )V(MA
!! sur l’axe de
∆ )
Propriétés :
- Le moment )V(M !
∆ du glisseur )V,P( ! par rapport à l'axe )e,A( ∆
∆! est indépendant du point A
choisi sur l'axe
- 0=
∆)V(M ! si V
! est nul, si la droite (D) rencontre l'axe )e,A( ∆
∆! ou encore si (D) est
parallèle à )e,A( ∆ ∆!.
d). Ensemble de glisseurs
Définition :
Soit un ensemble de glisseurs
{}
i
ii )V,P( !, on peut associer à cet ensemble les deux vecteurs
suivants :
-
∑
=ii VR !! : la résultante de l'ensemble de glisseurs
-
(
)
∑∧= iiiA VAPM !! : le moment au point A de l'ensemble de glisseurs

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Propriété : Le champ des moments de l'ensemble de glisseurs vérifie la relation suivante :
ABRMM AB ∧+= !!!
Remarques :
- Le fait de faire "glisser" les vecteurs sur leur support (D) ne modifie ni la résultante, ni le
moment de départ, d'où le concept de vecteur glissant ou glisseur.
- Dans le cas d'un nombre infini de glisseurs (charge répartie par exemple), on a:
∫∈µ= EP d)P(FR !! et ∫∈µ∧= EP
Ad)P(FAPM !! (Intégrales de Stieljes)
où )P(F
! est une densité de force (linéique, surfacique ou volumique) définie sur le domaine
(E), relativement à la mesure µ (L, S ou V)
2. Champs de vecteurs
Définition :
On appelle champ de vecteurs l'application qui fait correspondre à tout point A de (ε) un
vecteur V
! de l'espace vectoriel (E) de même dimension que (
ε ).
Exemples : Champ électrique E
!, champ magnétique B !, champ gravitationnel g
! ...
Définition :
Un champ de vecteurs F
! est dit affine si il existe une application linéaire )E(L L∈ telle que
2
ε∈∀ )B,A( : )BA(L)B(F)A(F += !!
L est la partie linéaire de F
!.
Définition : Un champ de vecteurs F
! est dit équiprojectif si :
2
ε∈∀ )B,A( : AB.)B(FAB.)A(F !! =
Propriété :
Si un champ de vecteurs équiprojectif est connu en 3 points A, B et C non alignés, il est connu
en tout point P de ε.

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Définition : L'application linéaire E:L →ε est antisymétrique si :
2
E)v,u( ∈∀ !! : () )v(L.uv.)u(L !!!! −=
Théorème
Soit E:F →ε
! un champ de vecteurs, alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) F
! est équiprojectif
(ii) F
! est un champ affine, et sa partie linéaire est antisymétrique.
Remarque : Le champ des moments EA M∈
!d'un glisseur )V,P( ! est équiprojectif.
3. Torseurs
a). Définition
Tout champ de vecteurs équiprojectif E:T →ε
! est appelé torseur.
Pour tout EA∈, la valeur )A(T
!est le moment du torseur au point A, noté A
M
!.
On note le torseur associé à T
! sous la forme
[] T.
Théorème :
Soit un torseur E:T →ε
!, il existe un vecteur unique R
! tel que :
2
ε∈∀ )B,A( : BAR)B(T)A(T ∧+= !!!
R
! est la résultante du torseur
[] T
Propriété :
Dans l'espace vectoriel (E) associé à l'espace affine (ε), un torseur [] E:T →ε est défini de
manière unique par sa résultante R
! et son moment en un point A A
M
! vérifiant :
2
ε∈∀ )B,A( : ABRMM AB ∧+= !!!
le torseur [] T se note au point A : [] =A
AM
R
T!
!
R
! et A
M
! sont appelés éléments de réduction (ou coordonnées vectorielles) de
[] T

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Exemples :
Dans le cadre de l'étude des solides rigides :
- Champs des vitesses → Torseur cinématique
- Champs de quantités de mouvement → Torseur cinétique
- Champs de forces → Torseur force
- Champs de quantités d'accélération → Torseur dynamique
b). Propriétés d'un torseur
(i) Opérations
• Égalité :
Deux torseurs []
1
T et []
2
T sont égaux si et seulement si leurs éléments de réduction sont égaux
21 RR !! = et A,A, MM 21
!! =
• Somme :
La somme de deux torseurs []
1
T et []
2
T est le torseur dont les éléments de réduction sont la
somme des éléments de réduction de chacun des deux torseurs :
21 RRR !!! += et A,A,A MMM 21
!!! +=
Remarque : Pour additionner deux torseurs, il faut d'abord les écrire au même point.
Ceci est valable pour toutes les opérations entre torseurs.
• Multiplication par un scalaire :
Soit R∈λ , [] [ ]
{
}
A
AM,RTT !! λλ=λ=λ
• Torseur nul : []
{}
000 ,
A
=
C'est l'élément neutre pour la somme.
→ un torseur est nul si ses éléments de réduction sont nuls : 0
!
!=R et 0
!
!=
A
M