Ch2: Groupes - IMJ-PRG

Chapitre 2
Groupes
Introduction :lois de composition
Une loi de composition interne sur un ensemble Eest une application E×E→E.
L’image du couple (x, y)est not´eavec un symbole :suivantle contextex+y,x×y,
x⋆y...
Associativit´e,commutativit´e.
Neutre, unicit´e;´el´ementsym´etrique, unicit´e.
2.1 Structure de groupe
D´efinition.
Exemples :(Z,+) est un groupe;
groupedes bijections de Xnot´e(B(X),◦), cas du groupesym´etrique Sn=B({1,...,n}.
2.2 Sous-groupe
D´efinition 2.2.1. Une partie Hd’un groupe(G, ∗)est une groupesi et seulementsi
elle est non vide et stable pour l’op´eration ∗et la sym´etrisation.
On peut reformuler la d´efinition :
a) Le neutre eest dans H;
b) pour tous xet ydans H,x∗yest dans H;
c) pourtout xdans H,le sym´etrique x′est dans H.
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2.3 Ordre d’un ´el´ement
D´efinition 2.3.1. Soit xun ´el´ementd’un groupeG.Le sous-groupeengendr´epar x,
not´e<x>est le plus petit sous-groupequi contientx.On dit que xest d’ordre fini
si et seulementsi le sous-groupe<x>est fini. Dans ce cas l’ordre de xest lenombre
d’´el´ements du sous-groupe<x>.
Proposition 2.3.2. Un ´el´ement xd’un groupeGest fini si et seulement s’il existe un
entier n>0tel qu’en composant nexemplaires de xon retrouve le neutre, et l’ordrede
xest le plus petit parmi ces entiers n.
En notation additive, la composition de nfois xs’´ecrit nx,et pour n=−m<0, nx
est l’´el´ementsym´etrique de mx (l’oppos´e).
En notation multiplicative, la composition de nfois xs’´ecrit xn,et pour n=−m<0,
xnest l’´el´ementsym´etrique de xm.
Lemme 2.3.3. Soit Gun groupenot´emultiplicativement. Lesous-groupeengendr´epar
xest l’ensemble des xn,n∈Z.
Exemple 2.3.4.Ordre des ´el´ements dans le groupesym´etrique S3.
2.4 Morphisme de groupe
D´efinition 2.4.1. Soient (G, ∗)et (G′,⊤)deux groupes. Une application f:G→G′
est un morphisme de groupesi et seulementsi :
∀x∈G,∀y∈G, , f(x∗y)=f(x)⊤f(y).
Exemple 2.4.2.L’application logarithme est un morphisme du groupe(]0,+∞[,×)vers
le groupe(R,+).
Exemple 2.4.3.Soit xun ´el´ementdans un groupeGnot´emulticativement. L’application
gx:Z→Gqui `a nassocie xnest un morphisme de groupe.
D´efinition 2.4.4. Le noyau d’un morphisme de groupef:G→G′est l’ensemble des
´el´ements dontl’image est le neutre e′de G′.
Proposition 2.4.5. Soit f:G→G′un morphisme de groupe.
a) Lenoyau de fest un sous-groupede G.
b) fest injective si et seulement si son noyau ne contient que le neutreede G.
D´efinition 2.4.6. L’image d’un morphisme de groupef:G→G′est l’ensemble :
Im(f)=f(G)={f(x),x∈G}.
Proposition 2.4.7. Soit f:G→G′un morphisme de groupe.
a) L’image de fest un sous-groupede G′.
b) fest surjective si et seulement si son image est ´egale `a G′.
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2.5 Groupequotient
2.5.1 Cas de Z
D´efinition 2.5.1. Soit nun entier. On dit que deux entiers xet ysontcongrus modulo
n,et on ´ecrit :
x≡y(modn)
si et seulementsi x−yest multiple de n.
La relation de congruence modulo nest une relationd’´equivalence. Pour x∈Z,la
classe d’´equivalence de xest :x+nZ.
D´efinition 2.5.2. On appelle ensemble quotientde Zpar le sous-groupenZl’ensemble
des classes d’´equivalence ;on note ce quotientZ/nZ.
Remarque 2.5.3.La classe de x,qui est un sous-ensemble de Zet un ´el´ementde Z/nZ
est habituellementnot´ex.
On d´efinit une addition desclasses en additionnantlesrepr´esentants :
x+y=x+y.
Proposition 2.5.4. L’addition des classes est bien d´efinie et (Z/nZ,+) est un groupe.
Ce groupeest engendr´epar la classe 1qui est d’ordren.
2.5.2 Cas ab´elien
Soit (G, +) un groupecommutatif et Hun sous-groupe. Les classes modulo Hsont
les x+H={x+h, h∈H};la classe dexest habituellementnot´ee x.On note
G/H l’ensemble des classes, et on d´efinit une addition des classes en additionnantles
repr´esentants :
x+y=x+y.
Proposition 2.5.5. L’addition des classes est bien d´efinie et (G/H,+) est un groupe.
2.5.3 Cas g´en´eral
Soit Gun groupedontla loi de groupeest not´ee comme un produit, et Hun sous-
groupe. Pour x∈G,on aune classe `a droite :
xH ={xh, h∈G},
et une classe `a gauche :
Hx={hx, h∈G}.
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D´efinition 2.5.6. Le sous-groupeHest distingu´e(ou normal) si et seulementsi pour
tout xdans G,on a:Hx=xH.
Remarque 2.5.7.La d´efinition est ´equivalente `a :
∀x∈G,∀h∈H,xhx−1∈H.
Si Hest un sous-groupedistingu´e, on note G/H l’ensemble des classes, et on d´efinit
une op´eration sur les classes en composantles repr´esentants :
xy=xy .
Proposition 2.5.8. Si Hest un sous-groupedistingu´e, alors l’op´eration sur les classes
est bien d´efinie et G/H est un groupe.
2.6 Le th´eor`eme de lagrange
Soit Hun sous-grouped’un groupefini G.
Th´eor`eme 2.6.1. Le cardinal du sous-groupeHdivise le cardinal de G.En particulier,
l’ordrede tout ´el´ement de Gdivise le cardinal de G.
La preuverepose sur le fait que toutes les classes `a droite ontle mˆeme nombre
d’´el´ements.
D´efinition 2.6.2. On appelle indice de Hdans G,et on note [G:H]le nombre de
classes `a droite modulo H,aussi ´egal au quotientdu cardinal de Gpar le cardinal de H.
Exercice2.6.3.D´emontrer que tout groupeGdontle cardinal est un nombre premier p
est isomorphe `a Z/pZ.
2.7 Groupedes permutations
On note Snle groupedes permutations de {1,2,...,n}
D´efinition 2.7.1. La transposition (ij)est la permutation qui ´echange iet jet ne
change pas les autres ´el´ements.
D´efinition 2.7.2. Le cycle d’ordre 3:(ijk)est la permutation σd´efinie par :
σ(i)=j,σ(j)=kσ(k)=i,∀x/∈{i, j,k},σ(x)=x.
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D´efinition 2.7.3. Le cycle d’ordre p:(i1,...,ip)est la permutation σd´efinie par :
σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,...,σ(ip)=i1,∀x/∈{i1,...,ip},σ(x)=x.
L’ensemble {i1,...,ip}s’appelle le support du cycle.
Th´eor`eme 2.7.4. Toute permutation se d´ecompose en cycles `a supports disjoints. Cette
d´ecomposition commute et est unique `a l’ordrepr`es.
Remarque 2.7.5.On peut d´eduire l’ordre de la permutation.
Th´eor`eme 2.7.6. Toute permutation peut s’´ecrire comme compos´ee de transpositions.
D´efinition 2.7.7. Soit σ∈Sn.On appelle inversion pour la permutation σtout couple
(i, j)tel que :1≤i<j≤net σ(i)>σ(j).
On note Iσl’ensemble des inversions pour σ,et on pose :
ǫσ=(−1)card(Iσ).
Proposition 2.7.8.
ǫσ=Y
1≤i<j≤n
σ(j)−σ(i)
j−i.
Th´eor`eme 2.7.9. L’application qui `a σassocie ǫσest l’unique morphisme de groupede
Snvers {±1}qui vaut −1sur les transpositions.
2.8 Compl´ements
2.8.1 Groupes de matrices
On note GL(n, K)ou GLn(K)les matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans K
qui sontinversibles. Avec la multiplication ces matrices formentun groupe.
Dans le cas o`uKest un corps :R,Cou Q,ce sontles matrices de d´eterminantnon
nul.
Dans le cas K=Z, il s’agit des matrices de d´eterminant±1.
Fin du cours du 13/02
2.8.2 Le produit direct
Soit (G1,)et (G2,⋄)deux groupes, on d´efinit sur le produit cart´esien G1×G2une
loi de composition ∗:
(x1,x2)∗(y1,y2)=(x1y1,x2⋄y2)
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