1 Structure de groupe

1 Structure de groupe
D´efinition 1. Soit Gun ensemble non vide, muni d’une loi de composition interne ∗. La loi ∗
d´efinit sur Gune structure de groupe si :
1. la loi ∗est associative ;
2. il existe dans (G, ∗) un ´el´ement neutre e;
3. tout ´el´ement de (G, ∗) est sym´etrisable.
Si de plus, ∗est commutative, le groupe est dit ab´elien ou commutatif.
D´efinition 2. Un groupe Gest dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’´el´ements. Dans ce cas, le
cardinal de Gs’appelle l’ordre du groupe G; il est not´e o(G) ou |G|.
D´efinition 3. G´etant un groupe, une partie non vide Hde Gest un sous-groupe si
1. (x, y)∈H×H⇒xy ∈H;
2. (x, y)∈H⇒x−1∈H.
Th´eor`eme 1. Soit Hune partie non vide d’un groupe G, alors Hest un sous-groupe de G
si et seulement si
∀(x, y) (x, y)∈H×H⇒xy−1∈H
D´efinition 4. Pour toute partie non vide Sd’un groupe G, on note hSile plus petit sous-
groupe de Gcontenant S.hSiest appell´e sous-groupe de Gengendr´e par S.
S’il existe x∈Gtel que hxi=G, le groupe Gest monog`ene.
D´efinition 5. L’ordre d’un ´el´ement x∈Gest le cardinal du sous-groupe hxi.
Th´eor`eme 2 (Lagrange). Si Gest un groupe fini, alors l’ordre de tout sous-groupe Hde
Gdivise l’ordre de G.
Corollaire : L’ordre de x∈Gdivise l’ordre de G.
D´efinition 6. ´ Etant donn´e deux groupes (E, .) et (F, ∗) un (homo)morphisme de groupe de
Edans Fest une application f:E→Ftelle que,
∀x, y ∈E f(x.y) = f(x)∗f(y)
Un morphisme de Edans lui-mˆeme est appell´e endomorphisme de groupe.
D´efinition 7. Un morphisme de groupe f:E→Fest un isomorphisme de groupe s’il existe
un morphisme de groupe g:F→Etel que
g◦f=IdEet f◦g=IdF
Un isomorphisme de Edans lui-mˆeme est appell´e automorphisme de groupe.
Deux groupes Eet Fsont isomorphes (EwF) s’il existe un isomorphisme de Edans F.
Proposition 1. Un morphisme de groupe f:E→Fest un isomorphisme si et seulement si
il est bijectif.
Th´eor`eme 3. Tout groupe fini d’ordre nest isomorphe `a un sous-groupe du groupe sym´etrique Sn.
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2 Groupes monog`enes
D´efinition 8. On appellera groupe cyclique tout groupe monog`ene fini.
Proposition 2. Le groupe Z/nZest cyclique (n > 0).
Th´eor`eme 4. Si Gest un groupe monog`ene, alors Gv´erifie l’une des conditions suivantes :
1. GwZ, dans ce cas Gest monog`ene infini ; ou
2. il existe n > 0 tel que GwZ/nZ, alors Gest cyclique d’ordre n.
Proposition 3. Si G=hxiest un groupe cyclique d’ordre n, donc l’´el´ement neutre est e,
alors :
(k∈Zet xk=e)⇐⇒ k∈nZ
Corollaire 1. Soit Gun groupe fini d’ordre n. Soit x∈Gtel que o(x) = m, alors :
1. (k∈Zet xk=e)⇐⇒ k∈mZ;
2. mest dans N∗, le plus petit entier tel que xm=e
3. xn=e
Proposition 4. Tout groupe fini d’ordre premier pest cyclique.
Proposition 5. Le nombre de sous-groupes de Z/nZest ´egal au nombre des diviseurs de n
dans N∗.
Proposition 6. G=hxi´etant un groupe cyclique d’ordre n, alors, pour tout diviseur dde
n, il existe un et un seul sous-groupe d’ordre dde Get ce sous-groupe est engendr´e par xn/d.
Th´eor`eme 5. Soit Gun groupe monog`ene G=hxi.
1. Si Gest infini, alors les seuls g´en´erateurs de Gsont xet x−1.
2. Si Gest cyclique d’ordre n > 1, alors l’ensemble des g´en´erateurs de Gest form´e des xk,
tels que (k, n) = 1.
Proposition 7. Le nombre de g´en´erateurs d’un groupe cyclique d’ordre nest ´egal `a ϕ(n).
3 Groupes sym´etriques
D´efinition 9. Soit Eun ensemble non vide. Notons SEl’ensemble des permutations de E
(c’est `a dire des bijections de Edans lui-mˆeme). Alors (SE,◦) est un groupe, appell´e groupe
sym´etrique de E.
Si E={1,2, . . . , n}=Nn, le groupe sym´etrique SEest not´e Sn
Snest un groupe fini d’ordre n!.
D´efinition 10. Un ´el´ement σ∈Snest appell´e permutation. On notera :
σ=1 2 · · · n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
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Pour tout n>3, le groupe Snest non ab´elien.
D´efinition 11. Soit σ∈Sn, le support de σest l’ensemble :
{i∈Nn;σ(i)6=i}
Proposition 8. Dans tout groupe Sn, deux permutations dont les supports sont disjoints
commutent.
D´efinition 12. ` A toute permutation σ∈Sn, on associe la relation d’´equivalence Rσd´efinie
dans Nnpar
iRσk⇐⇒ ∃r∈Z, σr(i) = k
La classe d’´equivalence modulo Rσd’un ´el´ement i∈Nnest :
Oσ(i) = {σr(i) ; r∈Z}
Oσ(i) s’appelle la σ-orbite de i(ou orbite de isuivant σ).
D´efinition 13. Une permutation c∈Sndont l’une seulement des orbites Oc(a) n’est pas
triviale, est appell´ee cycle. Le cardinal de Oc(a) est la longueur du cycle.
D´efinition 14. Un cycle de longueur 2 dans Sn(n>2) est appell´e transposition.
Le nombre de transpositions dans Snest ´egal `a C2
n=n(n−1)
2.
Proposition 9. Tout cycle c∈Snde longueur rest un ´el´ement d’ordre r.
Th´eor`eme 6. Toute permutation σ6=edans Sns’´ecrit sous la forme :
σ=γ1◦ · · · ◦ γs
o`u s∈N∗, et γ1, . . . , γssont des cycles deux `a deux disjoints, tous diff´erents de e. La
d´ecomposition est unique `a l’ordre des facteurs pr`es.
Proposition 10. Soit σ6=e; si σ=γ1◦ · · · ◦ γsest la d´ecomposition canonique de σ, alors
l’ordre de σest ´egal au ppcm des longueurs des cycles γi.
Th´eor`eme 7. Pour tout n>2, tout permutation σ∈Snse d´ecompose, de mani`ere non
unique, en un produit de transpositions.
Th´eor`eme 8. Tout groupe sym´etrique Sn(n>2) est engendr´e par l’ensemble des n−1
transpositions de la forme (1, i), telles que 2 6i6n.
Remarque : (j, k) = (1, j)(1, k)(1, j)
D´efinition 15. Soit σ∈Sn; si test le nombre des σ-orbites distinctes, on pose
ε(σ) = (−1)n−t
et ε(σ) est appell´ee signature de la permutation σ.
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Lemme 1. Soit σ∈Sn; alors quelquesoit la transposition τ∈Sn,ona:
ε(σ◦τ) = −ε(σ)
Th´eor`eme 9. Si σest un produit de ktranspositions, alors
ε(σ) = (−1)k
Th´eor`eme 10. Pour n>2, l’application
ε:Sn−→ {−1,1}
σ7→ ε(σ)
est un ´epimorphisme (morphisme surjectif) de groupes.
D´efinition 16. L’ensemble des permutations paires de Snest not´e An. Pour n= 1, on a
A1=S1= (e). Pour n>2, Anest le noyau de ε. On appelle Angroupe altern´e.
Proposition 11. Pour tout n>1, le groupe altern´e Anest un sous-groupe normal de Sn,
d’ordre n!/2.
4 Sous-groupes normaux
Th´eor`eme 11. Hest un sous-groupe normal d’un groupe Gsi et seulement si il v´erifie l’une
des conditions ´equivalentes suivantes :
Hx =xH, ∀x∈G
xHx−1=H, ∀x∈G
x−1Hx =H, ∀x∈G
xhx−1=h, ∀x∈G, ∀h∈H
x−1hx =h, ∀x∈G, ∀h∈H
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