1 Structure de groupe Définition 1. Soit G un ensemble non vide, muni d’une loi de composition interne ∗. La loi ∗ définit sur G une structure de groupe si : 1. la loi ∗ est associative ; 2. il existe dans (G, ∗) un élément neutre e ; 3. tout élément de (G, ∗) est symétrisable. Si de plus, ∗ est commutative, le groupe est dit abélien ou commutatif. Définition 2. Un groupe G est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments. Dans ce cas, le cardinal de G s’appelle l’ordre du groupe G ; il est noté o(G) ou |G|. Définition 3. G étant un groupe, une partie non vide H de G est un sous-groupe si 1. (x, y) ∈ H × H ⇒ xy ∈ H ; 2. (x, y) ∈ H ⇒ x−1 ∈ H. Théorème 1. Soit H une partie non vide d’un groupe G, alors H est un sous-groupe de G si et seulement si ∀(x, y) (x, y) ∈ H × H ⇒ xy −1 ∈ H Définition 4. Pour toute partie non vide S d’un groupe G, on note hSi le plus petit sousgroupe de G contenant S. hSi est appellé sous-groupe de G engendré par S. S’il existe x ∈ G tel que hxi = G, le groupe G est monogène. Définition 5. L’ordre d’un élément x ∈ G est le cardinal du sous-groupe hxi. Théorème 2 (Lagrange). Si G est un groupe fini, alors l’ordre de tout sous-groupe H de G divise l’ordre de G. Corollaire : L’ordre de x ∈ G divise l’ordre de G. Définition 6. Étant donné deux groupes (E, .) et (F, ∗) un (homo)morphisme de groupe de E dans F est une application f : E → F telle que, ∀x, y ∈ E f (x.y) = f (x) ∗ f (y) Un morphisme de E dans lui-même est appellé endomorphisme de groupe. Définition 7. Un morphisme de groupe f : E → F est un isomorphisme de groupe s’il existe un morphisme de groupe g : F → E tel que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF Un isomorphisme de E dans lui-même est appellé automorphisme de groupe. Deux groupes E et F sont isomorphes (E w F ) s’il existe un isomorphisme de E dans F . Proposition 1. Un morphisme de groupe f : E → F est un isomorphisme si et seulement si il est bijectif. Théorème 3. Tout groupe fini d’ordre n est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn . 1 2 Groupes monogènes Définition 8. On appellera groupe cyclique tout groupe monogène fini. Proposition 2. Le groupe Z/nZ est cyclique (n > 0). Théorème 4. Si G est un groupe monogène, alors G vérifie l’une des conditions suivantes : 1. G w Z, dans ce cas G est monogène infini ; ou 2. il existe n > 0 tel que G w Z/nZ, alors G est cyclique d’ordre n. Proposition 3. Si G = hxi est un groupe cyclique d’ordre n, donc l’élément neutre est e, alors : (k ∈ Z et xk = e) ⇐⇒ k ∈ nZ Corollaire 1. Soit G un groupe fini d’ordre n. Soit x ∈ G tel que o(x) = m, alors : 1. (k ∈ Z et xk = e) ⇐⇒ k ∈ mZ ; 2. m est dans N∗ , le plus petit entier tel que xm = e 3. xn = e Proposition 4. Tout groupe fini d’ordre premier p est cyclique. Proposition 5. Le nombre de sous-groupes de Z/nZ est égal au nombre des diviseurs de n dans N∗ . Proposition 6. G = hxi étant un groupe cyclique d’ordre n, alors, pour tout diviseur d de n, il existe un et un seul sous-groupe d’ordre d de G et ce sous-groupe est engendré par xn/d . Théorème 5. Soit G un groupe monogène G = hxi. 1. Si G est infini, alors les seuls générateurs de G sont x et x−1 . 2. Si G est cyclique d’ordre n > 1, alors l’ensemble des générateurs de G est formé des xk , tels que (k, n) = 1. Proposition 7. Le nombre de générateurs d’un groupe cyclique d’ordre n est égal à ϕ(n). 3 Groupes symétriques Définition 9. Soit E un ensemble non vide. Notons SE l’ensemble des permutations de E (c’est à dire des bijections de E dans lui-même). Alors (SE , ◦) est un groupe, appellé groupe symétrique de E. Si E = {1, 2, . . . , n} = Nn , le groupe symétrique SE est noté Sn Sn est un groupe fini d’ordre n!. Définition 10. Un élément σ ∈ Sn est appellé permutation. On notera : 1 2 ··· n σ= σ(1) σ(2) · · · σ(n) 2 Pour tout n > 3, le groupe Sn est non abélien. Définition 11. Soit σ ∈ Sn , le support de σ est l’ensemble : {i ∈ Nn ; σ(i) 6= i} Proposition 8. Dans tout groupe Sn , deux permutations dont les supports sont disjoints commutent. Définition 12. À toute permutation σ ∈ Sn , on associe la relation d’équivalence Rσ définie dans Nn par i Rσ k ⇐⇒ ∃r ∈ Z, σ r (i) = k La classe d’équivalence modulo Rσ d’un élément i ∈ Nn est : Oσ (i) = {σ r (i) ; r ∈ Z} Oσ (i) s’appelle la σ-orbite de i (ou orbite de i suivant σ). Définition 13. Une permutation c ∈ Sn dont l’une seulement des orbites Oc (a) n’est pas triviale, est appellée cycle. Le cardinal de Oc (a) est la longueur du cycle. Définition 14. Un cycle de longueur 2 dans Sn (n > 2) est appellé transposition. Le nombre de transpositions dans Sn est égal à Cn2 = n(n − 1) . 2 Proposition 9. Tout cycle c ∈ Sn de longueur r est un élément d’ordre r. Théorème 6. Toute permutation σ 6= e dans Sn s’écrit sous la forme : σ = γ1 ◦ · · · ◦ γs où s ∈ N∗ , et γ1 , . . . , γs sont des cycles deux à deux disjoints, tous différents de e. La décomposition est unique à l’ordre des facteurs près. Proposition 10. Soit σ 6= e ; si σ = γ1 ◦ · · · ◦ γs est la décomposition canonique de σ, alors l’ordre de σ est égal au ppcm des longueurs des cycles γi . Théorème 7. Pour tout n > 2, tout permutation σ ∈ Sn se décompose, de manière non unique, en un produit de transpositions. Théorème 8. Tout groupe symétrique Sn (n > 2) est engendré par l’ensemble des n − 1 transpositions de la forme (1, i), telles que 2 6 i 6 n. Remarque : (j, k) = (1, j)(1, k)(1, j) Définition 15. Soit σ ∈ Sn ; si t est le nombre des σ-orbites distinctes, on pose ε(σ) = (−1)n−t et ε(σ) est appellée signature de la permutation σ. 3 Lemme 1. Soit σ ∈ Sn ; alors quelquesoit la transposition τ ∈ Sn , on a : ε(σ ◦ τ ) = −ε(σ) Théorème 9. Si σ est un produit de k transpositions, alors ε(σ) = (−1)k Théorème 10. Pour n > 2, l’application ε : Sn −→ {−1, 1} σ 7→ ε(σ) est un épimorphisme (morphisme surjectif) de groupes. Définition 16. L’ensemble des permutations paires de Sn est noté An . Pour n = 1, on a A1 = S1 = (e). Pour n > 2, An est le noyau de ε. On appelle An groupe alterné. Proposition 11. Pour tout n > 1, le groupe alterné An est un sous-groupe normal de Sn , d’ordre n!/2. 4 Sous-groupes normaux Théorème 11. H est un sous-groupe normal d’un groupe G si et seulement si il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes : Hx = xH, ∀x ∈ G xHx−1 = H, −1 x Hx = H, xhx−1 = h, −1 x hx = h, ∀x ∈ G ∀x ∈ G ∀x ∈ G, ∀h ∈ H ∀x ∈ G, ∀h ∈ H 4