Fiche d`exercices n°4 - IMJ-PRG

Arithmétique LM220, 2014-2015
Université Pierre et Marie Curie
Feuille d’exercices no 4
Théorie des groupes
Exercice 1. Lesquels de ces ensembles sont des groupes pour les lois de composition?
1. (N, +);
2. (Z, +);
3. (Z, ×);
4. (Z \ {0}, ×);
5. (R \ {0}, ×).
Exercice 2. Soit (G, ∗) un groupe. Montrer que:
1. Si g ∈ G est tel que, pour tout h ∈ G g ∗ h = h, alors g = eG (unicité de l’élément
neutre).
2. Si g, h1 , h2 ∈ G sont tels que, pour i = 1, 2, hi ∗ g = g ∗ hi = eG , alors h1 = h2
(unicité de l’élément opposé).
3. Si g ∈ G, alors (g −1 )−1 = g.
Exercice 3. Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une loi ∗ de composition, associative, avec
élément unité e, et telle que tout élément de E possède un inverse à gauche. Montrer
qu’alors tout élément de E possède un inverse à droite qui coı̈ncide avec son inverse à
gauche.
Exercice 4. Soit G un groupe tel que g 2 := g ∗ g = eG pour tout g ∈ G. Montrer que G
est abelien.
Exercice 5. Soit ABC un triangle équilatéral du plan.
1. Déterminer l’ensemble des rotations qui laissent invariant {A, B, C}.
2. Montrer que c’est un groupe pour la loi ◦.
3. Faire de même avec un carré.
Exercice 6. Soit G un groupe et H une partie de G.
1. Montrer que H est un sous-groupe de G si, et seulement si, eG ∈ H et, pour tous
h1 , h2 ∈ H, on a h−1
2 ∗ h1 ∈ H.
2. Si H est un sous-groupe de G, est-il aussi un groupe?
Exercice 7. Soit G un groupe. Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de G
est un sous-groupe de G. Que peut-on dire de la réunion de deux sous-groupes de G?
Exercice 8. Déterminer
1
1. 4Z + 6Z et
2. 4Z ∩ 6Z.
Exercice 9. Soient G un groupe et H un sous-ensemble fini non vide de G stable pour
la loi de composition du groupe G. Montrer que H est un sous-groupe de G. Trouver
un exemple d’un groupe G et d’un sous-ensemble non vide de G stable pour la loi de
composition du groupe G qui ne soit pas un sous-groupe de G.
Exercice 10. Soient G et H deux groupes. Rappeler la définition de morphisme de
groupes. Soit f : G → H un morphisme de groupes.
1. Montrer que f (eG ) = eH .
2. Montrer que, pour tout g ∈ G, f (g −1 ) = f (g)−1 .
3. Montrer que le noyau ker f est un sous-groupe de G et l’image imf est un sousgroupe de H.
4. Monter que ker f = {eG } si, et seulement si, f est un morphisme injectif.
Compléments
Exercice 11. Soit G = N et ∗ la loi sur G définie par


a si b = 0
a ∗ b = b si a = 0


0 si ab 6= 0
Vérifier que 0 est un élément neutre pour la loi ∗ et que tout élément possède un opposé.
Est-ce que la loi ∗ est associative? Combien d’éléments opposés a 2?
Exercice 12. Soit G un groupe. Montrer que l’application x → x−1 est un morphisme si
et seulement si G est commutatif. On suppose G fini; soit φ un morphisme involutif de
G dont le seul point fixe est e, montrer que :
∀z ∈ G, ∃t ∈ G, z = t(φ(t))−1 .
En déduire φ puis que G est commutatif.
Exercice 13.
1. Soit E = N × N, on définit R par: (a, b)R(a0 , b0 ) ⇔ a + b0 = b + a0 . Montrer que R
est une relation d’équivalence. Identifier E/R.
2. Mêmes questions avec E = Z × N× et (p, q)R(p0 , q 0 ) ⇔ pq 0 = p0 q.
3. Mêmes questions avec E = R2 et (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇔ y = y 0 .
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