Fiche d`exercices n°4 - IMJ-PRG

Arithm´etique LM220, 2014-2015 Universit´e Pierre et Marie Curie
Feuille d’exercices no4
Th´eorie des groupes
Exercice 1. Lesquels de ces ensembles sont des groupes pour les lois de composition?
1. (N,+);
2. (Z,+);
3. (Z,×);
4. (Z\ {0},×);
5. (R\ {0},×).
Exercice 2. Soit (G, ∗) un groupe. Montrer que:
1. Si g∈Gest tel que, pour tout h∈G g ∗h=h, alors g=eG(unicit´e de l’´el´ement
neutre).
2. Si g, h1, h2∈Gsont tels que, pour i= 1,2, hi∗g=g∗hi=eG, alors h1=h2
(unicit´e de l’´el´ement oppos´e).
3. Si g∈G, alors (g−1)−1=g.
Exercice 3. Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une loi ∗de composition, associative, avec
´el´ement unit´e e, et telle que tout ´el´ement de Eposs`ede un inverse `a gauche. Montrer
qu’alors tout ´el´ement de Eposs`ede un inverse `a droite qui co¨ıncide avec son inverse `a
gauche.
Exercice 4. Soit Gun groupe tel que g2:= g∗g=eGpour tout g∈G. Montrer que G
est abelien.
Exercice 5. Soit ABC un triangle ´equilat´eral du plan.
1. D´eterminer l’ensemble des rotations qui laissent invariant {A, B, C}.
2. Montrer que c’est un groupe pour la loi ◦.
3. Faire de mˆeme avec un carr´e.
Exercice 6. Soit Gun groupe et Hune partie de G.
1. Montrer que Hest un sous-groupe de Gsi, et seulement si, eG∈Het, pour tous
h1, h2∈H, on a h−1
2∗h1∈H.
2. Si Hest un sous-groupe de G, est-il aussi un groupe?
Exercice 7. Soit Gun groupe. Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de G
est un sous-groupe de G. Que peut-on dire de la r´eunion de deux sous-groupes de G?
Exercice 8. D´eterminer
1

1. 4Z+ 6Zet
2. 4Z∩6Z.
Exercice 9. Soient Gun groupe et Hun sous-ensemble fini non vide de Gstable pour
la loi de composition du groupe G. Montrer que Hest un sous-groupe de G. Trouver
un exemple d’un groupe Get d’un sous-ensemble non vide de Gstable pour la loi de
composition du groupe Gqui ne soit pas un sous-groupe de G.
Exercice 10. Soient Get Hdeux groupes. Rappeler la d´efinition de morphisme de
groupes. Soit f:G→Hun morphisme de groupes.
1. Montrer que f(eG) = eH.
2. Montrer que, pour tout g∈G,f(g−1) = f(g)−1.
3. Montrer que le noyau ker fest un sous-groupe de Get l’image imfest un sous-
groupe de H.
4. Monter que ker f={eG}si, et seulement si, fest un morphisme injectif.
Compl´ements
Exercice 11. Soit G=Net ∗la loi sur Gd´efinie par
a∗b=
asi b= 0
bsi a= 0
0 si ab 6= 0
V´erifier que 0 est un ´el´ement neutre pour la loi ∗et que tout ´el´ement poss`ede un oppos´e.
Est-ce que la loi ∗est associative? Combien d’´el´ements oppos´es a 2?
Exercice 12. Soit Gun groupe. Montrer que l’application x→x−1est un morphisme si
et seulement si Gest commutatif. On suppose Gfini; soit φun morphisme involutif de
Gdont le seul point fixe est e, montrer que :
∀z∈G, ∃t∈G, z =t(φ(t))−1.
En d´eduire φpuis que Gest commutatif.
Exercice 13.
1. Soit E=N×N, on d´efinit Rpar: (a, b)R(a0, b0)⇔a+b0=b+a0. Montrer que R
est une relation d’´equivalence. Identifier E/R.
2. Mˆemes questions avec E=Z×N×et (p, q)R(p0, q0)⇔pq0=p0q.
3. Mˆemes questions avec E=R2et (x, y)R(x0, y0)⇔y=y0.
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