Université de ROUEN Département de Mathématiques L1 M.I.E.E.A.

Université de ROUEN
Département de Mathématiques
L1 M.I.E.E.A.-P.M.S.I.
Algèbre 1
Fiche de Travaux Dirigés No V
Groupes
2016-2017
Exercice 1. Soient (E, T ) et (E 0 , T 0 ) deux ensembles munis d’une loi de composition interne et soit f : E −→ E 0
un morphisme surjectif de (E, T ) dans (E 0 , T 0 ).
1. Montrer les implications suivantes:
T associative ⇒ T 0 associative ;
T admet un élément neutre ⇒ T 0 admet un élément neutre ;
Tout élément de E admet un symétrique pour T ⇒ Tout élément de E 0 admet un symétrique pour T 0 ;
T commutative ⇒ T 0 commutative.
2. Montrer que si (E, T ) est un groupe, alors (E 0 , T 0 ) aussi. Montrer que si de plus (E, T ) est abélien, alors (E 0 , T 0 )
aussi.
Exercice 2. Montrer que la relation ' définie par : G ' H ⇔ G est isomorphe à H, est une relation d’équivalence
sur tout ensemble de groupes.
Exercice 3. Sous-groupes de Z. On rappelle que (Z, +) est un groupe abélien. On s’intéresse dans cet exercice à
la forme de ses sous-groupes.
1. Soit k ∈ Z, on note kZ = {kn; n ∈ Z}. Montrer que kZ est un sous-groupe de Z.
2. Soit G un sous-groupe de Z.
(a) Montrer que si ` ∈ G, alors `Z ⊂ G.
(b) Soit k = min{` ∈ N∗ , ` ∈ G}. Montrer que G = kZ.
3. Conclure sur les sous-groupes de Z, et montrer que tous les sous-groupes de Z sont isomorphes, en dehors du
sous-groupe {0}.
Exercice 4. Soit n ∈ N∗ . On rappelle que (Z, +) est un groupe abélien et que nZ est un sous-groupe de Z.
1. Montrer que xRy ⇔ x − y ∈ nZ définit une relation d’équivalence sur Z, et qu’elle est égale à la relation de
congruence modulo n. On note Z/nZ l’ensemble quotient Z/R. Pour tout k ∈ Z, on note k sa classe.
2. Définir une lci sur Z/nZ, notée aussi +, telle que (Z/nZ, +) soit un groupe (ou telle que k 7→ k soit un
morphisme).
3. Vérifier que (Z/nZ, +) est abélien.
Exercice 5. Morphismes de (Z, +).
1. Montrer que si f est un homomorphisme de (Z, +), alors f (Z) = f (1) Z.
2. Déterminer la forme des homomorphismes du groupe (Z, +). Quels sont ceux qui sont injectifs ? Surjectifs ?
1
Exercice 6.
1. Montrer que (R, +) et (R+∗ , ×) sont isomorphes.
2. Montrer que x2 = 2 n’a pas de solution dans Q.
3. En déduire que (Q, +) et (Q+∗ , ×) ne sont pas isomorphes.
Exercice 7. Sur l’ensemble R \ {1}, on considère la loi: x ∗ y = x + y − xy, ∀ (x, y) ∈ (R\{1})2 . Montrer que ∗ est
une loi de composition interne. (R \ {1}, ∗) est-il un groupe ?
Exercice 8. Soit X un ensemble. On munit l’ensemble P (X) des parties de X de la différence symétrique ∆ définie
par A∆B = (A\B) ∪ (B\A). Montrer que (P (X) , ∆) est un groupe abélien.
Exercice 9. Soit (G, ∗) et (H, ·) deux groupes et f : G → H un morphisme.
1. Montrer que Ker f est un sous-groupe de G et f (G) un sous-groupe de H.
2. Montrer que f est injective si et seulement si Ker f = {e} où e est l’élément neutre de G.
3. Montrer que pour tout x, y ∈ G, f (x) = f (y) ⇔ x ∗ y −1 ∈ Ker f .
4. Montrer que la relation définie par xRy ⇔ f (x) = f (y) est une relation d’équivalence sur G. Pour tout x ∈ G,
on notera x la classe de x.
5. Montrer que f :
G/R → H
−1
est une application bien définie. Que vaut f ({e0 }) où e0 est l’élément
x 7→ f (x)
neutre de H ?
Exercice 10. Pour r ≥ 0, on note Ur l’ensemble des nombres complexes de module r.
1. Vérifier que U1 est un sous-groupe de (C∗ , ·).
2. Etant donné r > 0, Ur est-il un groupe ?
3. Vérifier que f :
R → U1
est un morphisme de groupes surjectif. Quel est son noyau ?
t 7→ e2iπt
Exercice 11. Soit n ∈ N∗ .
1. Montrer que l’ensemble Rn des racines n-ièmes de l’unité dans C forment un sous-groupe de (U1 , ·). Quel est
son ordre ?
2. Vérifier que f :
Z → Rn
est un morphisme de groupes surjectif. Quel est son noyau ?
2iπk
k 7→ e n
Exercice 12. Soit G un groupe et soient G1 et G2 deux sous-groupes de G.
1. Montrer que G1 ∩ G2 est un sous-groupe de G.
2. Montrer que G1 ∪ G2 est un sous-groupe de G si et seulement si G1 ⊂ G2 ou G2 ⊂ G1 .
Exercice 13. Soit (G, ·) un groupe et a ∈ G.
1. Montrer que l’application f : G → G définie par f (x) = axa−1 est un automorphisme de G.
2. Déterminer f −1 .
Exercice 14. Soit G un groupe et e son élément neutre.
1. Montrer que si pour tout x ∈ G, x2 = e, alors G est abélien.
2. Plus généralement, montrer que l’application x 7→ x−1 est un morphisme de G si et seulement si G est abélien.
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